数学物理方法概论 之——（线性空间） 主讲教师：白璐 联系电话：15291456996 blu@xidian.edu.cn.

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1 数学物理方法概论 之——（线性空间） 主讲教师：白璐 联系电话：

2 第二章 线性空间 线性空间理论是线性泛函分析的重要组成部分。应用线性泛函分析的方法可以把对许多数学问题的处理方法加以系统化，在更抽象的意义上理解初看来毫无关系的数学概念之间的本质联系。

3 第二章 线性空间 1、 线性空间； 2、 线性变换； 3、 线性变换的本征值与本征向量； 4、 内积空间； 5、 正交化法；
1、 线性空间； 2、 线性变换； 3、 线性变换的本征值与本征向量； 4、 内积空间； 5、 正交化法； 6、 自伴算子； 7、 等距变换； 8、 正规变换的本征值与本征向量； 9、 平方可积函数空间； 10、完备正交归一函数集； 11 、多项式逼近 12 、完备正交归一集的例子； 13、 正交多项式

4 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 一、群 设G是一元素集，“.”是某种定义在G上的运算，对任意 有 这种运算称为封闭运算。
它满足以下三个公理： （1）运算满足结合律： （2） 存在单位元素e，有 （3）对任意的 存在逆元素 满足 注意：当群满足运算的交换率： 则称为Abel群或交换群。

5 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 例：（1）整数的集合，以普通的加法做运算，构成Abel群。 此时0是单位元素，n 和－n互为逆元素。
（2）二维旋转矩阵 相对矩阵乘法也是一个Abel群。 是单位元。 和 互为逆元素。 二、域 域是满足以下三条公理的系统，记为 （1）系统 是一个具有单位元素0的Abel群； （2）设 是除 以外的所有 的集合， 则系统 是一个具有单位元素e的Abel群； （3）相对于＋，满足分配率，即

6 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 例：所有有理数集合、实数集合、复数集合，相对于普通的加法和乘法都构成了域。
有了域的概念我们可以定义线性空间 三、线性空间 （1）在非空集合V内的任一对元素间定义加法运算（＋），使 构成Abel群。(单位元素用0表示，x的逆元素用－x表示) 满足： 结合律 零元素 负元素 交换律

7 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 （2）在数域F中的数与V中的元素之间定义一个纯量乘法运算，对F中任意数 与V中任一元素 ,都可由该运算唯一决定V中的一个元素y, 记为 ,数乘满足： 数1的数乘 结合律 左分配律 右分配律 则称V是数域F上的线性空间（向量空间），记为V(F)。 （以上8个公式为线性空间的8个公理）

8 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 例：n维向量空间的定义：是一个以n重有序数 为元素构成的集合，其中 ，定义向量加法 其中：
为元素构成的集合，其中 ，定义向量加法 其中： 向量数乘： 零向量： 的逆元： 可以证明，这个n维向量空间是一个线性空间，记为 例：所有的复数的集合也是一个复线性空间。

9 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间

10 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间

11 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 对于线性空间 有以下定理存在： 定理1：（1）当y和z已知时，方程 有唯一解x （2）如果 ，则
对于线性空间 有以下定理存在： 定理1：（1）当y和z已知时，方程 有唯一解x （2）如果 ，则 （3）对每一个 （4）对每一个 （5）如果 ，则 或 定理2：若把 定义为x和y之差，则有

12 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 四、线性子空间 设V是F上的线性空间，如果 （即 是V中的某些向量的集合），且满足： （1）对任意的
（2）对任意的 则称 是V的线性子空间。 定理：在V(F)中任取一组向量 ，这组向量 的所有线性组合的集合 是V的一个子空间。并称这个子空间是由向量集合 所张成 （生成）的子空间。

13 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间

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16 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 五、线性空间的基与维数
基：指线性空间V中的最大线性无关的子集。V中的任一向量均可由这个子集中的向量的线性组合表示。 维数：基中所含的向量的数目，称为空间的维数。 例：实三维空间中的三个向量组成一组基 因为它们是线性无关的且任意向量x均可表示成这三个向量的线性组合

17 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 例： 写出实数域R上矩阵空间 的一组基，求 ， 并求 在此基下的坐标。
解：在 中设有 阶矩阵 ，其中位于 的元素为1，其他元素为0。如 ，容易证明 是 的一组基，且线性无关，任何矩阵 均可由它们线性表示。 所以 又由于 ，所以A在该基下的坐标为：

18 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 六、线性空间的同构 （A）映射的定义：设S1和S2是两个非空集合，如果按照一定的法则f ，对于S1中的每个元素x，都存在S2中的一个确定的元素y与之对应，则称f为定义在S1上取值于S2中的一个映射，记为 ，y称为x在映射 f 下的像。 S1： S2 f x y 集S1称为映射f的定义域 集S2称为映射f 的值域 映射的种类： 满射、单射、双射

19 若a*b=c 则 f（a）· f（b）=f（c）
§ 2 线性空间 § 2.1 线性空间 （B）线性空间的同构 设S=｛E, *｝和S′= ｛E′ , ·｝是分别具有封闭运算*和·的代数系统，假设f是一个从E到E′ 的双射，即一一映射，它给每个属于E的元a，b，c， … ∈ E，都有指定的属于E′ 的元，f（a）， f（b）， f（c） ， … ∈ E ′ ，与之对应 E： E′ a f(a) f b f(b) f 设a*b=c，则c f（c）=f（a*b）同构即要求 若a*b=c 则 f（a）· f（b）=f（c）

20 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 线性空间同构的判定方法： 设U和V是同一数域F上的两个线性空间，f是从U到V的一个映射，如果:
则称f是U到V的同构映射，并说U与V同构。 定理：域F上每一个n维线性空间都和空间 同构。 （即同一域上的同维数的任何两个线性空间是同构的。）

21 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 同构的意义：　　 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质。从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数。 同构映射不仅能使两系统中的元素保持一一对应的关系，而且还要求这种对应关系在各自的运算下仍保持着，即x*y=z f（x）· f（y）=f（z）

22 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 例：两个同构系统初看起来可能会很不相同。例如前面讨论的三元素置换群与下述6个2X2矩阵相对矩阵乘法构成的群是同构的。　　 例如AXB=F， 从右向左：把1换为3，再把3换为3， , ，所以 对应刚好是置换F。

23 § 2 线性空间 § 2.1 线性空间 而A ′ XB ′ =F ′ ， 刚好是置换F ′ 。
一般来说，如果两个系统具有相同的乘法表，这两个 系统便是同构的，或结构等同的。

24 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 一、线性变换的定义 定义：指在线性空间V(F)中变换A, 对每一个 有确定的向量 ，且对任意的 有
§ 2.2 线性变换 一、线性变换的定义 定义：指在线性空间V(F)中变换A, 对每一个 有确定的向量 ，且对任意的 有 则称A为线性变换也称线性算子。式中a，b为标量 线性变换举例：零变换和单位变换是特殊的线性变换。 即零变换把空间的任意向量变换成空间的零向量，而单位变 换是把任意向量变换成自身的线性变换。

25 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 例： 设 是 空间的一个给定的单位向量，对于空间任一向量 ，若变换 的定义为 则 是一个线性变换。
§ 2.2 线性变换 例： 设 是 空间的一个给定的单位向量，对于空间任一向量 ，若变换 的定义为 则 是一个线性变换。 证明： 满足线性变换定义，得证。

26 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换

27 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换

28 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 二、基本运算： （1）变换加法： （2）变换数乘： （3）变换乘法：
§ 2.2 线性变换 二、基本运算： （1）变换加法： （2）变换数乘： （3）变换乘法： 其中 是线性变换， 是线性空间V中的向量。 说明：（1）线性变换相乘一般不服从交换律。 （2）满足下述运算性质

29 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 三、线性变换的逆变换： 如果线性变换A满足： （1） （2）
§ 2.2 线性变换 三、线性变换的逆变换： 如果线性变换A满足： （1） （2） 则存在A的逆变换，记为 ，称A是可逆的。且 可逆性的判定定理：

30 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 四、线性变换的矩阵表示： 定理1：设 是线性空间 的一组基，A是
§ 2.2 线性变换 四、线性变换的矩阵表示： 定理1：设 是线性空间 的一组基，A是 上的一个线性变换，只要给出 的像向量 ，则A完全确定。 证明：只要证明对 中任一向量 ，其像向量 唯一确定即可。由于 是基，对 有 于是，当 已知时 即可完全确定。

31 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 定理2：设 是 的一组基， 是 中的任意n个向量，则存在唯一的线性变换A，使
§ 2.2 线性变换 定理2：设 是 的一组基， 是 中的任意n个向量，则存在唯一的线性变换A，使 定理3：有限维空间上的线性变换（称此空间可分的），当选择一组基后，便与一个确定的矩阵相对应。反之，在固定基下，每一个矩阵对应一个确定的线性变换。 即线性变换与相应矩阵同构，使得线性变换的运算与矩阵的相关运算法则对应

32 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 例：求F[x]n的求导变换，在基1，x，x2，…,xn-1下的矩阵。 解：因为 所以
§ 2.2 线性变换 例：求F[x]n的求导变换，在基1，x，x2，…,xn-1下的矩阵。 解：因为 所以 即所求矩阵。在取定一组基后，线性变换与相应矩阵是一一对应的关系。

33 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 定理4：同一线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。 即：若存在可逆矩阵A，使矩阵B和C满足
§ 2.2 线性变换 定理4：同一线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的。 即：若存在可逆矩阵A，使矩阵B和C满足 则称B和C是相似矩阵。记 矩阵的相似是一种等价关系，具有：

34 § 2 线性空间 § 2.2 线性变换 例： 设A是一个实三维空间上的旋转变换，它把空间任一矢量 绕 轴右旋一个角度 ,求此变换在Cartesian基下的矩阵。 解：这里我们用 表示直角坐标系中的三个单位矢量，即实三维空间的一组基。 根据A的定义： 因此变换A在基 下的矩阵表示为

35 § 2 线性空间 § 2.3 线性变换的本征值与本征向量 定义：设A是V(F)上的线性变换，如果
§ 2.3 线性变换的本征值与本征向量 定义：设A是V(F)上的线性变换，如果 则称 为A的本征值， 为A的属于 的本征向量。 上述条件也可以表示为： 不妨设有限维空间的基 , x可表示为： 又设A在此基下的矩阵为 ，则有

36 § 2 线性空间 § 2.3 线性变换的本征值与本征向量 即： 有非零解的条件是：
§ 2.3 线性变换的本征值与本征向量 即： 有非零解的条件是： 上式左边的行列式是 的n次多项式。在复数域上有n个零点，即n维空间上的任何线性变换在复数域上必有n个本征值。另外，由于 ， 的秩必然小于n，所以每个本征值至少对应一个本征向量。注意，本征值和本征向量与基的选择无关。

37 § 2 线性空间 § 2.3 线性变换的本征值与本征向量 说明：
§ 2.3 线性变换的本征值与本征向量 说明： (1)线性变换A的本征值的集合称为A的谱，其中本征值的模的最大值称为谱半径。 (2)若 是A的本征多项式的k级零点，则说该本征值 的代数重数为k。当 时称A的谱是简并的。 (3)如果变换A有n个线性无关的本征向量（n为空间维数），则它的矩阵一定可以通过相似变换对角化，且对角元素为A的本征值。 定理：设 是线性变换A的两两相异的本征值，则相应地本征向量 线性无关。 注意：定理给出A的本征值不同是相应的本征向量线性无关的充分条件，并非必要条件。

38 § 2 线性空间 § 2.3 线性变换的本征值与本征向量 例： 下列矩阵是否与对角矩阵相似 解： （1）
§ 2.3 线性变换的本征值与本征向量 例： 下列矩阵是否与对角矩阵相似 解： （1） 属于特征值 的与线性无关的特征向量有两个，因为此时 秩： ，与线性无关的特征向量有3－1＝2个 因此A一定可以与对角阵 相似。

39 § 2 线性空间 § 2.3 线性变换的本征值与本征向量 （2） 特征值分别为：
§ 2.3 线性变换的本征值与本征向量 （2） 特征值分别为： 具有三不同的特征值即3个不同的本征向量，必有相似的对角矩阵。 （3） 三个特征值 对 有 秩： ，因此属于 的线性无关的特征向量只有 从而A一定不能与对角阵相似。

40 § 2 线性空间 § 2.4 内积空间 在实三维空间，普通向量的长度和两向量的夹角是通过标积定义的，如果 则： 两个向量的标积 x 的长度
§ 2.4 内积空间 在实三维空间，普通向量的长度和两向量的夹角是通过标积定义的，如果 则： 两个向量的标积 x 的长度 的夹角 作为标积的推广，可以引入内积的概念。

41 § 2 线性空间 § 2.4 内积空间 一、内积的定义 对于线性空间V(F)内任一对有序向量 都有域F内的一个确定的数与之对应，记为 ，其对应规则满足以下三个条件： 内积公理 定义了内积的线性空间称为内积空间。F 是实数域为实内积空间（欧几里得空间），复数域为酉空间。 说明: 1、对实内积空间， 不起作用，可以略去。不论实内积空间还是复内积空间，条件(1)意味着任何向量与自身的内积总是实数，从而保证了条件(3)不等式有意义。 2、在同一线性空间，可以按照多种形式定义内积空间，只要满足内积公理。

42 § 2 线性空间 § 2.4 内积空间 二、向量范数、内积和范数的性质： （1）范数定义：即向量的长度，记为 （2）内积和范数的性质
§ 2.4 内积空间 二、向量范数、内积和范数的性质： （1）范数定义：即向量的长度，记为 （2）内积和范数的性质 定理1：在任何内积空间，有

43 § 2 线性空间 § 2.4 内积空间 证明: (1) 由内积公理第一条知 (由第二条) (由第一条)
§ 2.4 内积空间 证明: (1) 由内积公理第一条知 (由第二条) (由第一条) (2) 如对任意的z，(x, z)＝(y, z)成立，则 (x－ y, z)＝0 (对所有的z) 取z＝x－y (由于z的任意性)得 (x－ y, x－ y)＝0 由内积公理的第三条得x－y＝0，即x＝y。其他证明类似。

44 § 2 线性空间 § 2.4 内积空间 定理2：（施瓦兹Schwartz不等式）若x,y是复内积空间中的任一对向量，则 柯西－许瓦兹不等式
§ 2.4 内积空间 定理2：（施瓦兹Schwartz不等式）若x,y是复内积空间中的任一对向量，则 柯西－许瓦兹不等式 定理3： （三角不等式）在任何内积空间，对任意向量x,y均有 注意：上等化为等式当且仅当 时成立。 这等价于x, y中有一个零向量，或者y＝kx ，k >0 证明略。

45 § 2 线性空间 § 2.4 内积空间 三、正交性和完备性 定义：（1）当且仅当 时，称x与y正交。
§ 2.4 内积空间 三、正交性和完备性 定义：（1）当且仅当 时，称x与y正交。 （2）设 是一个向量集合，如果对所有的 满足 则称该集合是正交归一集。 （3）在有限维空间中，如果一个正交归一集不含于任何一个更大的正交归一集中，则该正交归一集被说成是完备的正交归一集。

46 § 2 线性空间 § 2.4 内积空间 定理1：正交归一集是线性无关集。（即在n维空间中的任何n个向量的正交归一集都可以作为该空间的基）
§ 2.4 内积空间 定理1：正交归一集是线性无关集。（即在n维空间中的任何n个向量的正交归一集都可以作为该空间的基） 定理2：（Bessel不等式）设 是内积空间任一有限正交归一集，x为空间任一向量，则 其中， 。且 与每一个 正交。

47 § 2 线性空间 § 2.4 内积空间 以下几种有关有限维内积空间的正交归一集完备性的说法等价：
§ 2.4 内积空间 以下几种有关有限维内积空间的正交归一集完备性的说法等价： 定理3： 设 是内积空间V的m个向量组成的正交归一集，则下述关于X的说法彼此等价： Parseval 等式

48 § 2 线性空间 § 2.5 正交法化 一、度量矩阵 对一个n维空间Vn，要定义内积（x, y），只要确定一组基间的内积就可以了。设 是一组基，则 上式中的矩阵 由各基向量间的内积决定，称为在 基 下的度量矩阵。

49 § 2 线性空间 § 2.5 正交法化 说明： （1）度量矩阵是厄米正定矩阵。因为满足 （2）度量矩阵在实空间是个正定矩阵。 （厄米）
（3）度量矩阵与基的选择有关。最简单的度量矩阵就是单位矩阵，对应的基就是正交归一基。即度量矩阵可以通过选择一组正交归一基转化为单位矩阵。 （4）定义正交归一基的方法：葛兰姆－施密特正交化方法。 （厄米） （正定），在实空间是对称矩阵。

50 § 2 线性空间 § 2.5 正交法化 二、葛兰姆－施密特(G-S)正交化方法
设 是Vn中的任一组基，利用G-S方法建立正交归一基 的方法是： （1）因为 ，否则X不会是线性无关集，故可命： 则 是一个归一向量。 （2）令 即 是 的线性组合则 故： 故令 得 ，类似地，我们可以得到

51 § 2 线性空间 § 2.5 正交法化 例：设 空间中的一组基： 求：由此基确定的一组正交归一基。 解： 因为：

52 § 2 线性空间 § 2.5 正交法化 类似地， 可见 正交，即所求。

53 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 一、 伴随算子 定义： 已知A是内积空间上的线性变换，如果对任意的 ，变换 满足
，变换 满足 则称 为A的伴随算子。 几点说明： （1）对给定的线性算子，其相应的伴随算子是唯一的，且是线性的。 是A的转置共轭矩阵。

54 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 （2） A和 在同一基下的矩阵间的关系
设 是内积空间 的基，A在该基下的矩阵为 ， 是内积空间在该基下的度量矩阵。A的伴随变换在该基下对应矩阵为 ，则有 注意到度量矩阵的厄米性，有 ，它还是正定矩阵，其逆矩阵存在，因此

55 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 （3）在正交基下，G是单位矩阵，则有
即伴随变换在任意正交归一基下相应的矩阵是变换在此基下的矩阵的共轭转置矩阵。 （4）关于伴随矩阵的运算性质

56 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 二、 自伴算子 1、定义：若 ，则称A是自伴的。 若 ，则称A是反自伴的。
在实内积空间中自伴算子称对称算子，在复内积空间中自伴算子称为厄米算子。在正交归一基下，对称算子对应的矩阵是对称矩阵，厄米算子对应矩阵是厄米矩阵。 2、性质： （1）设A、B是自伴算子，则A＋B也是自伴算子。 （2）A、B自伴，一般不能保证AB自伴，当且仅当AB=BA时， A、B的自伴保证AB自伴。 （3）若A自伴，则当且仅当 是实数时， 自伴。

57 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 3、判定定理： 定理1： 若A是实内积空间上的自伴算子，则对任意的 ， 有 的充要条件是
有 的充要条件是 证明：充分性： 因为 时 必要性： 考察下面内积： 注意到A是实内积空间的自伴算子，由定义有 所以 如果内积空间是复的，上述定理可以加强

58 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 定理2： 若A是酉空间上的线性变换，则对所有的 ， 的充要条件是 。
的充要条件是 。 即若A是内积空间中的自伴变换，（不论是实空间还是复空间）对所有 ， 的充要条件是 定理3： 设A是酉空间的线性变换，则对所有 ， 为实数的充要条件是A为厄米变换。 即对厄米变换 总是实的。 定理4： 厄米变换的本征值是实的。 证明： 由定理3 结论得证

59 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 例： 给定 g (x),求在区间 中满足 的 f (x)。并求该微分算子的伴随算子。
解：这是一个边值问题，对它算子为 在区间 内，所有函数g的空间是L的值域。L的定义域在该区间内函数f的空间。这些函数满足边界条件，且在L的值域内具有二阶导数。如无适当的边界条件，则方程的解不惟一，即，要由微分算子及其定义域两者来确定算子。 适用于此问题的一个内积是

60 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 注意内积的规定不惟一，在上式的积分中加上w(x)>0的权重数也是可采用的内积。但是伴随算子依赖于内积，因此可以选定内积，使其成为自伴算子。 根据定义，先构造伴随算子的左边，有 最后两项是边界项，可以选择 的定义域使它们为零。由边 界条件知，

61 知算子L也是正定算子。即使 f 是复数，L也是正定算子*。
§ 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 则第二个边界项也为零。显然，对于由式 确定的内积，从伴随算子的定义式知， 的伴随算子为： 因为 ，且 的定义域与L的定义域相同，所以算子 是自伴的。因为当 f 是实数时，Lf 也是实数，L是实算子， 可以证明，由 知算子L也是正定算子。即使 f 是复数，L也是正定算子*。

62 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 *正定算子 当给出一个形式为L (f) =g 的问题。 所谓正定算子是指
则算子为正定的。上式中的大于换成大于等于则算子是半正定的。 若换为小于则算子为负定的。 解的特性依赖于算子的特性，如果f是实数,Lf 也是实数，则算子为 实算子。

63 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 的逆算子可以由标准的格林函数法得到，它是 (1) 式中G是格林函数，即 构成 后，微分两次便可以得到
这样就证明了式(1)是逆算子。注意到在 的定义域中不需要 边界条件，这是大多数积分算子的共同特点。从L是自伴的证明 同样可以得出 也是自伴的。类似的也可以得出，只要L是正 定的， 也是正定的。

64 § 2 线性空间 § 2.6 自伴算子 例：量子力学中简谐振子的哈密顿算子为： 证明它的本征值是正的。 证明：令
其中本征向量u是归一化的，即 因为p和x均是厄米的，故

65 § 2 线性空间 § 2.7 等距变换 一、等距变换的定义 定义： 设U是内积空间上的线性变换， 为U的伴随变换，如果
则称它为酉变换或么正变换。 在有限维空间，变换有左逆必有右逆，因此等距与么正是等价的，么正变换的逆变换是它的伴随变换，即 （单位变换）

66 § 2 线性空间 § 2.7 等距变换 二、等距变换的特性 定理1、 设U是内积空间上的线性变换，则下列三个条件是彼此等价的，每一个都可以作为等距变换的定义： 定理2、对有限维内积空间，一个完备正交归一集 ，经等距变换后的集合 仍是完备的正交归一集。 可见等距变换把一组正交归一基变换成另一组正交归一基。

67 § 2 线性空间 § 2.7 等距变换 三、酉矩阵和酉变换 由于一个变换A的伴随变换在正交归一基下对应的矩阵是A在同一基下对应矩阵的共轭转置，故等距变换在正交归一基下对应的矩阵也满足等距变换和酉变换的定义式，即 ，把满足该式的矩阵U称为酉矩阵。因此，在有限维空间酉变换的等价定义是： 如果内积空间上的线性变换A在任一正交归一基下对应的矩阵都是酉矩阵，便称它为酉变换。

68 § 2 线性空间 § 2.7 等距变换 四、正交变换 定义2： 设线性变换A在正交归一基下对应的矩阵为 ，如果
显然实内积空间上的酉变换就是正交变换。但是在复内积空间，两者是不一致的，酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。

69 § 2 线性空间 § 2.8 正规变换的本征值与本征向量 一、正规变换的定义 定义：当且仅当 时，称A为正规变换（或法式变换）
显然，所有的自伴变换、反自伴变换和酉变换都是正规变换。正规变换在正交基下对应的矩阵 满足 这样的矩阵称为正规矩阵。

70 § 2 线性空间 § 2.8 正规变换的本征值与本征向量 二、本征值特性： （1）自伴变换的本征值为实数。 （2）等距变换的本征值的模为1。
（3）反自伴变换的本征值为纯虚数。 证明：设 和 分别为自伴变换A的任一本征值和相应的本征向量，则 即 ，所以 为实数。同理，对反自伴变换，可证 ，即 为虚数。对等距变换， 本征向量 本征值

71 § 2 线性空间 § 2.8 正规变换的本征值与本征向量 三、本征向量特性
定理：如果A是正规的线性变换，则属于不同本征值的本征向量是正交的。 可以证明：若 x 是正规变换的本征向量， 是相应的本征值，则x也是其伴随变换的本征向量，对应的本征值为 反之亦然。 若A正规时，有 显然当A正规， 也正规，将A换成 ，即

72 § 2 线性空间 § 2.8 正规变换的本征值与本征向量 设 分别是 A 是属于 的本征向量 ，则 即 若 则必有
由该定理知，n维空间的正规变换，如果具有n个相异的本征 值，则相应本征向量的集合是一个正交集，且是完备的。

73 § 2 线性空间 § 2.8 正规变换的本征值与本征向量 四、正规矩阵对角化
若A是一个具有非简并谱的正规矩阵，则必存在酉矩阵U，使A通过酉相似变换对角化。即 其中D是以A的n个本征值为对角元素构成的对角阵。 事实上，因为n个不同本征值对应n个本征向量是正交的，如果将这些向量归一化，以它们为列构成矩阵，则一定是一个酉矩阵，那么一定会有AU=UD，由于酉矩阵的逆存在，则一定有上式成立。

74 § 2 线性空间 § 2.8 正规变换的本征值与本征向量 定理1、 对任何厄米矩阵H，都存在酉矩阵U，使 其中D是对角阵。
本定理说明，n维空间的厄米算子总存在n个正交归一的本征向量，因而它的本征向量集合能张成空间。 定理2、一个矩阵A当且仅当它是正规矩阵时，可以用酉相似变换对角化。 定理说明在正规算子的本征向量的集合中存在空间的正交归一基。

75 § 2 线性空间 § 2.9 平方可积函数空间 一、平方可积函数空间的定义
设 是中的元素是定义在闭区间[a,b]上实变量x的复值函数，且满足勒贝格意义上的平方可积关系即 存在且有限，在此集合上定义： 两个向量的加法为： 复数 与向量的乘法为： 则该集合构成一线性空间，称平方可积函数空间。 二、平方可积函数空间中内积和范数的定义：

76 § 2 线性空间 § 2.9 平方可积函数空间 三、平方可积函数空间的特性
定义1 收敛序列的定义是：设 是内积空间的向量序列，若对任意给定的 ，存在N，使得当 时， 则称 收敛于 ,记 。 定义2、 内积空间上的柯西序列指这样一个向量序列 ，对任意给定的 ，存在N，使得当 时 注意：每一收敛序列都是柯西序列，但是柯西序列并不一定 是收敛序列。

77 § 2 线性空间 § 2.9 平方可积函数空间 定义3、 其中每一个柯西序列都收敛的内积空间称为完备的内积空间，也称为Hilbert空间。
也就是说，在完备的内积空间中，如果 ，则空间存在 使 。 平方可积函数空间具有完备性，记 ，就是一个Hilbert空间。在Hilbert空间中，函数的正交性、归一性和集合的概念都和以前的定义一样。若 则称该函数集合是正交归一的。 我们的问题是：（1）什么样的函数集在H空间中起基函数作用；（2）对任一函数，如何用基函数精确逼近它？为此引入

78 § 2 线性空间 § 2.10 完备的正交归一函数集 在有限维向量空间，任一向量可以表示成基向量的线性组合，在希尔伯特空间，相应的问题就是将函数表示成给定函数组的线性组合。（如广义傅立叶级数展开问题）显然，首先需要确定H空间的正交归一集的完备性问题。 一、完备正交归一函数集的定义 定义：设 是H空间一正交归一集，如果对空间任一函数 ，总有一组系数 ，使得部分和序列 平均收敛于 ，则称 是完备的正交归一集。 也就是说H空间中集合的完备性是以集中元素的线性组合可以平均逼近任意函数来定义的。

79 § 2 线性空间 § 2.10 完备的正交归一函数集 二、展开系数
设 是H空间完备的正交归一集，则对空间任一函数 ，存在系数 使得当 时，部分和序列 平均收敛于 ，即 其中收敛系数为 只要 是完备的正交归一集，上式就成立。讨论以上的展开系数，可以得到贝塞尔不等式

80 § 2 线性空间 § 2.10 完备的正交归一函数集 三、贝塞尔不等式 对所有的n有 称此式为Bessel不等式。当且仅当 完备时，取等号：
称此为完备性关系式。若 是完备正交归一集时，对任意的 有 以上两个等式均为完备的等价描述

81 § 2 线性空间 § 2.10 完备的正交归一函数集 四、封闭性与完备性一致
定义：设 是正交归一函数集，若不存在与集中每个 都正交的非零函数，则称 是封闭的正交归一集。 注意：在有限维空间中，n个向量的完备集的定义是不存在与集中每个向量都正交的非零向量。实际上，这个结论对无限维也适用，即正交归一函数集的封闭性和完备性等价，即一个封闭的函数集，就可以作为空间的一个基。 定理：H空间中的正交归一集当且仅当它是封闭的，则它是完备的。 那么，在闭区间[a,b]上存在一个完备的正交归一函数集，则[a,b]上任一平方可积函数均可用集中函数的线性组合来平均逼近。

82 § 2 线性空间 § 2.11 多项式逼近 定理1： （Weierstrass多项式逼近定理）如果 在[a,b]上连续，则存在一多项式序列 ，在[a,b]上一致收敛于 ，即 其中 由 确定。 维氏定理说明幂函数系 构成 空间的完备系，（但不正交和归一）， 闭区间上的连续函数都可以用多项式一致逼近。

83 § 2 线性空间 § 2.11 多项式逼近 狄拉克函数 1.工程上的定义： 2.以另一函数序列形式的定义： 其中常数 由 确定。
由 确定。 因此通过选择 的方法保证 因此有

84 § 2 线性空间 § 2.11 多项式逼近 定理2： 设集合 （其中 是x的i 次多项式）是区间[a,b]上的正交归一的多项式集合，则它是完备的正交归一集。证明略 说明： （1） 的完备性表明，对H空间的任一函数均可用 做基函数展开，展开系数为 。展开式平均收敛于 。 （2）[a,b]上正交归一多项式集是唯一的，最多只差一个相因子 。 （3）[a,b]上正交归一多项式集的构成 是线性无关的集合，可以利用葛兰姆－施密特正交法化构成。

85 § 2 线性空间 § 2.11 多项式逼近 其中

86 § 2 线性空间 § 2.12 正交完备集的例子 （1）勒让德多项式
§ 正交完备集的例子 （1）勒让德多项式 利用G-S正交法化方法，可以将幂函数集 在[-1,1] 上得到完备正交归一集：

87 § 2 线性空间 § 2.12 正交完备集的例子 显然 就是勒让德多项式除以它的模。 罗巨格公式
§ 正交完备集的例子 显然 就是勒让德多项式除以它的模。 罗巨格公式 因此，勒让德多项式具有正交完备性（完备性由维氏定理保证，正交性由以上的G-S方法保证）。（不是归一的）它的相关性质我们已经学习了，事实上，在[-1,1]区间上可以将任何连续的函数按照勒让德函数做广义傅立叶级数展开。

88 § 2 线性空间 § 2.12 正交完备集的例子 若函数f (x)在[-1,1]上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，
§ 正交完备集的例子 若函数f (x)在[-1,1]上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数， 则f (x)在[-1,1]上可展开成绝对且一致收敛的级数 ——广义傅立叶级数 可作为广义傅立叶级数展开的基，且 是完备的， 展开系数 c l 的求法：

89 § 2 线性空间 § 2.12 正交完备集的例子 （2） 厄米多项式 是定义在区间 上以 为权的正交多项式，满足
§ 正交完备集的例子 （2） 厄米多项式 是定义在区间 上以 为权的正交多项式，满足 它与前边的正交函数集区别在于，一是定义在 ，二是正交为权函数的正交。 事实上它是厄米方程 的解，同样是S-L方程的解。因此满足正交完备性。

90 § 2 线性空间 § 2.12 正交完备集的例子 （3）拉盖尔多项式 是定义在区间 上以 为权的正交多项式，满足 它是拉盖尔方程 的解。
§ 正交完备集的例子 （3）拉盖尔多项式 是定义在区间 上以 为权的正交多项式，满足 它是拉盖尔方程 的解。 同样是S-L方程问题。

91 § 2 线性空间 § 2.13 Sturm-Liouville 系统——正交多项式
前面讨论的几种特殊函数，都是相应微分方程的解，这些方程及其解初看起来形式差别很大，但都可看作二阶线性微分方程 其中 为x的连续实值函数， 为参数。 总之，对于一个S-L本征值系统，是由二阶线性微分方程的解得到的。在H空间中，正交归一的S-L多项式集一定是完备的。

92 § 2 线性空间 附件1 勒让德函数与勒让德多项式 数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：
                                                    为求解方便一般也写成如下（Sturm-Liouville form）:                                              勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。当方程满足 |x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ± 1 点亦有有界解。这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。

93 § 2 线性空间 附件1 勒让德函数与勒让德多项式 勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：
                                勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 −1 ≤ x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即： 事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行Gram-Schmidt正交化。之所以具有此正交性是因为勒让德微分方程可化为标准的斯图姆-刘维尔问题：

94 § 2 线性空间 附件1 勒让德函数与勒让德多项式 其中本征值 λ 对应于原方程中的 n(n+1)。

95 § 2 线性空间 附件1 勒让德函数与勒让德多项式 此表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式 n 1 2 3 4 5 6 7
              1 2             3              4                      5                        6                                  7                                     8                                                    9                                                         10                                                                    此表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式

96 § 2 线性空间 附件1 勒让德函数与勒让德多项式 头6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线

97 § 2 线性空间 附件1 勒让德函数与勒让德多项式 在物理学中的应用
在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开：                                                          其中r和r'分别为位置矢量x 和 x’ 的长度，γ为两矢量的夹角。当r > r'时上式成立。该式计算了在x’ 处的点电荷激发的电场在x点引起的电势大小。在对空间中连续分布的电荷引起的电势大小进行计算时，将涉及对上式进行积分。这时，上式右边的勒让德多项式展开将对此积分的计算带来很大的方便。

98 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 工程应用中，许多问题可归纳为在Hilbert空间中求解算子方程：
如果L是线性算子，算子可以是微分算子，也可以是积分算子，往往还包含边界条件。g为已知函数，f为未知函数。则上式是线性非齐次方程。矩量法实质给出了求解线性方程的普遍方法。 从数值分析的角度看，求解上式的任务就是要找到近似解，使其尽可能接近待求函数。矩量法的思想为在该算子的 Hilbert空间中找一组线性无关的基函数。 如令f 在L的定义域中被展开为 的组合，如

99 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 式中 是系数， 被称为展开系数或基函数。让这些元素张成在Hilbert空间中的一个子空间M。上式通常是无穷项之和，而 形成一个基函数的完备集。对于近似解，上式变为有限项之和。将上式代入非齐次方程，再应用算子L的线性便可得： 再在Hilbert空间中找一组线性无关的权函数，在L的值域内 定义一个权函数 的集合, 这些元素 张成另一子空间 W。

100 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 重要的任务就是如何找到合适的展开系数使近似度最好。 对每个 取式 的内积，则
对每个 取式 的内积，则 此方程组可写为如下的矩阵形式 即

101 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 式中矩阵lmn 为NXN矩阵，在电磁分析问题中称为阻抗矩阵， 矩阵元素为 ；展开系数矩阵 为列向量，其中
矩阵元素为 ；展开系数矩阵 为列向量，其中 。只要对A求逆，便可得系数矩阵，即当矩阵 lmn是非奇异性的，其逆矩阵存在，则 将系数矩阵代入即可求出，f 为 此解是精确还是近似，取决于基函数和权函数的选取，当取两者 相等这种特殊情况，通常称为伽略金法。

102 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 以上是矩量法的数学基础，影响其求解精确度的核心因素是两个子空间的选取，即基函数空间M与权函数空间W。从泛函分析的角度，W、M越逼近算子所在的Hilbert空间，矩量法即使的结果就越精确，但一般来说算子所在的Hilbert空间都是无穷维的，要提高逼近程度，必须增加M、W中线性无关元素的个数，这必然加大计算计的存储量与计算量，具体应用时必须在这对矛盾中找到一个中介点，将两个子空间取成一样的Galerkin法正是这样一种方法。

103 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 例： 在自伴算子例子中如已知特定的源 g (x)＝1＋4x2, 则在区间 方程为
显然，这时一个简单的边值问题，其精确解为 为了说明计算步骤，用矩量法重新讨论这个问题。 为了求得，幂级数解，我们选择 则级数式为

104 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 注意在幂级数的选取中必须存在单独的x项，否则fn将不在L的定义域中，即不满足边界条件。对于检验函数，选择
在这种情况下就是伽略金法。可以证明权函数应该在伴随算子的定义域内。可以计算出 对于任何固定N(展开函数的数目)， 由式 给出，并且由式 逼近f。

105 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 为了说明收敛性，我们来研究当N增加时的逐渐近似程度。当
N=1时，l11＝1/3，g1＝11/30,由 得 当N=2时，矩阵形式 变为 由上式求得各 如下： 当N=3时，矩阵方程变为

106 § 2 线性空间 应用举例 矩量法 由上式可求得 显然，第三级解就是精确解，即 当N=4时，可再次得到精确解，对于更高的N也是如此。
比求解任何特殊方程更重要的是逆矩阵[l－1]给出了一个逆算子的表示式，因此对任何g，有一个关于Lf＝g的解。 在物理问题中，L表示系统，g表示激励，f表示相应。确定了矩阵[l－1]，就可以得到该系统的一般解。