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积 分 的 应 用 不定积分的应用 定积分的应用 第四章 微分方程 不定积分的应用 第 一 节第 一 节 学习重点 微分方程的概念 一阶微分方程的求解.

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2 积 分 的 应 用 不定积分的应用 定积分的应用 第四章

3 微分方程

4 不定积分的应用 第 一 节第 一 节 学习重点 微分方程的概念 一阶微分方程的求解

5 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程。如: 等 …… 特点: 和 可以不出现,但 的导数一定要出现。 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数。 上面三个微分方程的阶数分别是二阶、一阶、三阶。 微分方程的解:满足微分方程的函数。 特解:满足微分方程且不含任意常数的函数。 通解:满足 阶微分方程且含 个独立任意常数的函数。 微分方程的概念 微分方程的概念 课堂练习 P175 1 及 2 题

6 例:对微分方程: 即: 是它的解,且是通解。 若给定条件: 则可得特解: 也是一特解,但不含于通解中,特别地称为奇解。 称为初始条件。 微分方程的概念 微分方程的概念 又如:对于微分方程 容易验证 都是微分方程的解。 通解或特解?特解 通解 既非特解也非通解

7 是的解。 即是 验证下列所给函数是所给微分方程的解: 例 1. 验证下列所给函数是所给微分方程的解: 解 解 因为 所以

8 一. 可分离变量的微分方程 求解方法:两边同时积分 理由:设是该微分方程的解,则 一阶微分方程 一阶微分方程

9 求解方法:两边积分 特例:情形,即 一. 可分离变量的微分方程 一阶微分方程 一阶微分方程 两边积分,得 因此,形如 的微分方程的求解方法是: 两边直接积分,得解为

10 解 原方程可变形为(分离变量) 求下列微分方程的通解或特解: 例 2. 求下列微分方程的通解或特解: 两边积分,得 所以,原方程的通解为 (隐函数形式)

11 解 原方程可变形为 (注是一奇解) 求下列微分方程的通解或特解: 例 2. 求下列微分方程的通解或特解: 即 两边积分,得 所以,原方程的通解为

12 解 原方程可变形为. 求下列微分方程的通解或特解: 例 2. 求下列微分方程的通解或特解: 两边积分得 即 得 所以,原方程的通解为

13 解 将初始条件代入,得特解:. 求下列微分方程的通解或特解: 例 2. 求下列微分方程的通解或特解: 原方程可变形为 两边积分 (课堂练习)

14 且线段 PQ 被 Y 轴平分,曲线过点 求该曲线方程。 解:由题设及导数的几何意义,得微分方程: 由曲线过点 得所求曲线方程: (这是一个多值函数) 或 上任一点 P 处的法线与 X 轴有交点 Q ,. 设曲线 例 3. 设曲线

15 若,则称( 1 )为齐次的。 若,则称( 1 )为非齐次的。 可将其改写成 对一阶线性齐次微分方程 这是一个可分离变量的微分方程。 这是( 2 )的通解。 (这里表示某一确定的原函数,不带任意常数。) 二. 一阶线性微分方程 一阶微分方程 一阶微分方程

16 ( 2 )的通解是: 猜想( 1 )的解是: 则 将 代入( 1 ),得 即 这种方法称作 常数变易法 。 比较方程( 1 )、( 2 ): 故( 1 )的通解是:

17 比较方程( 1 )、( 2 ): ( 2 )的通解是: ( 1 )的通解是: 非齐次线性微分方程的通解 = 非齐次的特解 + 对应齐次的通解 —— 线性微分方程解的结构,称为叠加原理。

18 解 这是一个一阶线性微分方程,方程的通解为 例 4 求解下列微分方程 通解公式 (1)(1)

19 解 原方程的通解为 例 4 ( 2 ) 凑微分

20 解:将原方程化为 例4例4 则方程的通解为 (课堂练习)

21 解:将原方程化为 例 4. 变通公式 原方程的通解为

22 解:原方程可化为 例 4 ( 5 ) 公式的变通:如果微分方程为 则方程的通解为 (课堂练习)

23 型 可降解的高阶微分方程 可降解的高阶微分方程 求解方法:连续积分 n 次。 例 5 ( 1 )求解微分方程 解 由原方程积分得: 再积分得 所以,原方程的通解为

24 过点例 5 ( 2 )设曲线满足,且在此点与 直线 相切,试求该曲线的方程。 解 由题设可知: 可得 即: 再由: 得 故所求曲线方程为 由原方程积分得 因为

25 解:令则原方程变为 即: 的通解。 例 5 ( 3 )求微分方程

26 再 见!


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