理学院 张立杰 《数值分析》第四讲 数值积分与微分. §4.1 引言 第四章：数值积分与数值微分 1 、积分的概念 设 任取 做 如果 存在， 则称 可积，极限值称为函数 在区间 [a,b] 上的 定积分，记为 : Riemann 积分.

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1 理学院 张立杰 《数值分析》第四讲 数值积分与微分

2 §4.1 引言 第四章：数值积分与数值微分 1 、积分的概念 设 任取 做 如果 存在， 则称 可积，极限值称为函数 在区间 [a,b] 上的 定积分，记为 : Riemann 积分

3 第四章：数值积分与数值微分 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家 之一, 著作不多，却异常深刻，富于对概念 的创造与想象，思想极其深邃难以理解。许 多奠基性、创造性的工作，直接影响了 19 世纪以后的数学发展，在黎曼思想的影响下 数学许多分支取得了辉煌成就。 ■ 黎曼几何、流形、微分流形、椭圆几何的创始人 爱因斯坦用黎曼几何将广义相对论几何化。黎曼几何是现代 理论物理必备的数学基础。

4 第四章：数值积分与数值微分 ■ 完善微积分理论的出杰人物之一 微积分理论严谨性论证的杰出贡献者有：黎曼、波尔查诺、柯 西、阿贝尔、狄利克莱、维尔斯特拉斯等等。柯西证明连续函 数必定可积，黎曼指出可积函数不一定连续。黎曼推广了博里 叶展开式成立的狄利克莱条件，即三角级数收敛的黎曼条件等 等。 ■ 解析数论、与复变函数的里程碑 ■ 组合拓扑的开拓者 ■ 代数几何的奠基人 ■ 在数学物理、微分方程等领域贡献卓著

5 第四章：数值积分与数值微分 2 、积分的计算 Riemann 积分从定义上基本不可算 求解 的方法： Newton-Leibniz 公式 其中 第一类换元（凑微分）、第二类换元、分部积分 有理函数。

6 第四章：数值积分与数值微分 如果 为初等函数，能得到 的 远远少于得不到 的 理论求解定积分基本看运气

7 第四章：数值积分与数值微分 3 、数值积分的思想 足够小 梯形公式 （3）（3） （1）（1） 中值定理 （2）（2） 中矩形公式

8 第四章：数值积分与数值微分 所谓数值积分就是 求积公式 求积节点 求积系数 4 、代数精度 如果某求积公式对次数不超过 m 的多项式能够准确成立， 对 m+1 次多项式不一定准确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度。 即

9 第四章：数值积分与数值微分 考查 如果 则 一般，如果 则

10 第四章：数值积分与数值微分 即 因此，判断代数精度只需用最简多项式

11 第四章：数值积分与数值微分 如梯形公式 所以梯形公式具有 1 次代数精度

12 第四章：数值积分与数值微分 5 、插值型求积公式 其中， 记 称 为插值型求积公式

13 第四章：数值积分与数值微分 定理求积公式 充分性 则 具有 n 阶代数精度， 当且仅当该求积公式为插值型求积公式。 是插值型求积公式 即（准确成立） 而 所以求积公式 具有 n 阶代数精度。

14 第四章：数值积分与数值微分 必要性 具有 n 阶代数精度 所以该求积公式为插值型。 则

15 §4.2 Newton-Cotes 系数 第四章：数值积分与数值微分 1 、 Cotes 系数 将区间 [a,b] n 等分 记

16 第四章：数值积分与数值微分

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18 Cotes 系数 Newton-Cotes 公式

19 第四章：数值积分与数值微分 当 时

20 第四章：数值积分与数值微分 由 得求积公式 就是将区间 [a,b] 一等分 梯形公式 通常记为

21 第四章：数值积分与数值微分 当 时

22 第四章：数值积分与数值微分 此时，求积公式为 Simpson 求积公式

23 当 时可得 第四章：数值积分与数值微分 同理, 此时，求积公式为 Cotes 求积公式

24 第四章：数值积分与数值微分 考虑 Simpson 公式

25 第四章：数值积分与数值微分 Simpson 公式具有三次代数精度 而

26 第四章：数值积分与数值微分 定理 n 为偶数时求积公式 至少具有 n+1 次代数精度。 2 、数值积分的误差分析 以梯形公式误差为例

27 第四章：数值积分与数值微分 积分中值定理 如果 在 保号且可积， 使 则存在 特别地，如果 则有 因为 保号且可积，由积分中值定理得

28 第四章：数值积分与数值微分 所以

29 第四章：数值积分与数值微分 同理 误差取决于区间 [a,b] 的长度。

30 第四章：数值积分与数值微分 3 、复化求积法 第一步：等分区间： 第二步：在区间 上用 Newton-Cotes 公式求积 第三步：求和

31 第四章：数值积分与数值微分 （ 1 ）复化梯形公式 （ 2 ）复化 Simpson 公式 （ 3 ）复化 Cotes 公式

32 第四章：数值积分与数值微分 4 、复化求积公式的误差 因为复化梯形公式为 则

33 第四章：数值积分与数值微分 同理，复化 Simpson 和复化 Cotes 公式的误差分别为

34 例 第四章：数值积分与数值微分

35 a=0; b=2.5; n=4; h=(b-a)/n; x=a:h:b; y=-x.^3+2*x.^2+2*x+1; s=0.0; for k=2:length(x)-1 s=s+y(k); end tn=h*(y(1)+y(length(x))+2*s)/2; 复化梯形程序 第四章：数值积分与数值微分

36 a=0;b=2.5;n=4;h=(b-a)/n; x=a:h:b; y=-x.^3+2*x.^2+2*x+1; s1=0.0; for k=2:length(x)-1 s1=s1+2*y(k); end s2=0.0; for i=1:length(x)-1 x0=(x(i+1)+x(i))/2; y0=-x0^3+2*x0^2+2*x0+1; s2=s2+4*y0; end tn=h*(y(1)+s1+s2+y(length(x)))/6; 第四章：数值积分与数值微分 复化 Simpson 程序

37 第四章：数值积分与数值微分

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39 §4.3 Romberg 算法 第四章：数值积分与数值微分 考察 可以得到两个结果 结果一： 区间二分后的误差是二分前后差值的三分之一。

40 第四章：数值积分与数值微分 结果二： 其中 二分前的步长

41 第四章：数值积分与数值微分 即 令 则

42 同理，由 直接验证得 又

43 第四章：数值积分与数值微分 记 称 Romberg 公式 解： 令 则令 因此 例：计算 对照值 （ 1 ）二分前的步长 （ 2 ）二分前的区间中值 二分点

44 第四章：数值积分与数值微分 （ 1 ）二分前的步长 （ 2 ）二分前的区间中值

45 第四章：数值积分与数值微分 0.93979330.94608310.0062898 0.94451350.94608310.0015696 0.94569090.94608310.0003922 0.94598500.94608310.0000981 0.94605960.94608310.0000235 0.94607690.94608310.0000062 0.94608150.94608310.0000016 0.94608270.94608310.0000004 0.94608300.94608310.0000001 0.9460831 0.0000000 二分次数区间个数数

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48 0.93979330.0062898 0.94451350.0015696 0.94569090.0003922 0.94598500.0000981 0.94605960.0000235 0.94607690.0000062 0.94608150.0000016 0.94608270.0000004 0.94608300.0000001 0.94608310.0000000

49 第四章：数值积分与数值微分 Romberg 算法

50 §4.4 Gauss 公式 第四章：数值积分与数值微分 如果适当选取求积公式 次代数精度，则称该求积公式为 Gauss 求积公式。 中的参数 使求积公式具有 点 称为 Gauss 点。 1 、 Gauss 点 定义 上的内积。如果 为空间 则称 与 正交。

51 第四章：数值积分与数值微分 令 为任意一个次数不超过 n 的多项式。 是由节点生成的 n+1 次多项式 Gauss 定理 即 对于插值型求积公式 是 Gauss 点的充要条件是 与 正交。

52 第四章：数值积分与数值微分 Legendre 多项式 n=3 时 见 P58 n=2 时 n=1 时

53 第四章：数值积分与数值微分 则 Legendre 多项式的两个重要结论 （1）（1） （2）（2） 如果 是任意次数不超过 的多项式 且

54 则 Legendre 多项式 的根为 Gauss 点 第四章：数值积分与数值微分 如 所以 为两个 Gauss 点

55 第四章：数值积分与数值微分 两点 Gauss-Legendre 求积公式 代入求积公式 得 又因为有 3 次代数精度（ n=1) 所以 因此 即 如

56 第四章：数值积分与数值微分 解：（ 1 ） 练习：分别用 Romberg 和三点 Gauss-Legendre 求积公式 计算

57 第四章：数值积分与数值微分 得 Gauss 点 （ 2 ） 过点 (1,-1),(3,1) 作直线得 即 所以 由三次 Legendre 多项式

58 第四章：数值积分与数值微分 根据代数精度得 则三点 Gauss-Legendre 求积公式为 即 解得

59 第四章：数值积分与数值微分

60 §4.5 数值微分  关于微分的计算 通过微分法则基本可以得到任意可微初等函数的导函数，因 此微分的数值计算没有明显的实际意义。  微分的数值运算大多应用于微分方程的离散化。 如 的复杂程度决定着求方程能否理论求解 如果将区间 [a,b]n 等分，则可将方程离散化 即将微分方程转化为离散点上 的代数方程

61 第四章：数值积分与数值微分 1 、数值微分在常微分方程离散化的应用 例 记

62 第四章：数值积分与数值微分 整理得

63 第四章：数值积分与数值微分 即有 其中 事实上，本方程的解析解为

64 第四章：数值积分与数值微分 解析解 近似解 h=(b-a)/10 近似解 h=(b-a)/20 误差 h=(b-a)/10 误差 h=(b-a)/20 u1u1 1.45521.49741.47690.04220.0217 u2u2 1.90331.98251.94410.07920.0408 u3u3 2.33842.44762.39460.10920.0562 u4u4 2.75552.88612.82270.13060.0672 u5u5 3.15103.29293.22400.14190.0730 u6u6 3.52293.66473.59590.14180.0730 u7u7 3.87154.00023.93770.12870.0662 u8u8 4.19884.30034.25100.10150.0522 u9u9 4.50944.56844.53980.05900.0304

65 第四章：数值积分与数值微分 N=10 时

66 第四章：数值积分与数值微分 N=20 时

67 第四章：数值积分与数值微分 N=20 时 N=10 时

68 如果已知方程 数值微分 整理得 第四章：数值积分与数值微分 其中 1 、数值微分在偏微分方程离散化的应用

69 例： 离散得 第四章：数值积分与数值微分 扩散方程初边值问题

70 令 第四章：数值积分与数值微分

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