歐幾里得之窗 -- 從平行線到超空間的幾何 學故事 Ｅｕｃｌｉｄ ‘ ｓ Ｗｉｎｄｏｗ： Ｔｈｅ Ｓｔｏｒｙ ｏｆ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｆｒｏｍ Ｐａｒａｌｌｅｌ Ｌｉｎｅｓ ｔｏ Ｈｙｐｅｒｓｐａｃｅ

 兩千四百年前，亞里斯多德站在 海濱，觀察到 : 好像所有的船隻 都是船身先消失，然後才是桅杆 和船帆。  但是：在平坦的地表上，船隻應 該會先愈變愈小，最後才縮小成 一點消失在視線之外，難道不是 這樣嗎？

 推論：地球表面應該是彎曲的。  透過幾何之窗，人們可以觀察到 整顆地球的龐大結構。

 數個世紀以來，在許多天才人物與幾 何學的協助下，人類得以向邊際以外 的地方凝視。 Ｑ：如何證明空間中的任何事物？ Ｑ：我們怎麼曉得自己身在何處？ Ｑ：空間是彎曲的嗎？

Ｑ：這個世界有多少個維度 （ dimensions ）？ Ｑ：幾何學該如何解釋宇宙的秩序 和一統性？ 上述疑問孕育出世界歷史中五次革 命性的幾何變革。

 第一部分  空間是什麼？  幾何學如何開始成為描述宇宙 的工具？引領人們進入現代文 明。

 空間觀念演進的第一次革命 抽象化觀念的誕生與證明的構想。

 空間的概念始於位置的概念，源 自埃及人與巴比倫人所稱的「大 地測量」，希臘文是 geometry 。  希臘人首先從對石塊與砂礫的簡 單敍述開始發展幾何學，抽離出 點、線、面的觀念。

 早在歷史記載以前，人類便已發 展出數數、計算、課稅。  1960 年中非薩伊 Ishango 出土的 一根距今八千年的小骨頭，一端 嵌有一小片石英，骨頭另一端切 割出三道刻痕，這可能是最早出 現的一種數量記錄工具。

 運算概念的發展較慢，得植基於 一定程度的數字抽象觀念。 兩個蘋菓－＞ 2 兩個柳丁－＞ 2 2 = 2 ? = 4 ?

 抽象化觀念的演進，大約成形於 西元前 6000 年，每年六月，尼羅 河水開始暴漲，漫過河床，為四 周鄉野鋪上一層肥沃的泥土。十 月河水退卻乾涸，到次年雨季前， 連續八個月的乾季則可分成耕耘 季和收成季。農業生活成為埃及 曆法與埃及人生活的基礎。

 到了西元前 3500 年，埃及的工藝 與鑄鐵等小型工業已經十分精通， 文字與書寫亦已發展出來。

 因為徵稅的緣故，發展出幾何學。  理論上，法老王擁有全部的土地 和財產，政府根據每年河水氾濫 的高度和人民持有土地面積來計 算地稅。

 因此，埃及人發明了一種雖然麻煩， 但頗為精準的面積計算方式，適用於 正方形、長方形和梯形。 若要計算圓面積，埃及人利用邊長等 於直徑 8/9 的正方形來估算。 換句話說，他們以 256/81 （或 3.16 ） 代替 π 值。（誤差約為百分之 0.6 ）

 金字塔的建造 想像在西元前 2580 年，你要建造 一座，底部方形，各面呈三角， 高度約 146 公尺的金字塔。由每 塊重量超過兩公噸的巨石堆疊而 成，而可用的測量工具只有木頭 和繩子。

 「拉繩夫」  直角三角形的斜邊 hypotenuse ， 希臘文為「用力拉緊」之意。

 西元前 2000 年到 1700 年間，波 斯灣以北的非閃族民族，併吞鄰 族，建立巴比倫帝國。其數學系 統，比埃及人複雜得多。

 埃及數學 蘭德 (Rhind) 紙莎草手卷與莫斯科 紙莎草手卷 (Moscow Papyrus) 年 代約中國夏商之交。長各六公尺， 上頭記載了數十至上百道例題， 包括四則、分數、比例、簡單幾 何體的面積和體積計算等。

 巴比倫數學 亞述地區出土的幾百座泥版，內容 有參考用的數表、教科書，及其他 關於巴比倫數學思考的材料。

 巴比倫的工程師在挖掘運河前，計 算運河的梯形橫截面面積，計算需 移走的土壤量，需多少人力工時才 能完成整個工程。 巴比倫的金融借貸採用甚至是複利 制。

 巴比倫人未發明方程式，所有計算 都表述成文字敘述。 ＜目前已知最早使用加號的文件為 1481 年的日耳曼手稿＞

 巴比倫人與埃及人應該都已經知道 畢達哥拉斯定理 (Pythagorean theorem) 。 巴比倫人記載的三數組有「 3 、 4 、 5 」、 「 5 、 12 、 13 」、 … 「 3456 、 3367 、 4825 」、 …  可推斷 : 巴比倫人至少具備初等數 論的能力。

 雖然，埃及人和巴比倫人都曉得 畢氏定理，郤都沒見到一般式 a 2 +b 2 =c 2 。  因此，對他們來說，斜邊邊長到 底是一個精確數目還是一個約略 的估計呢？

 古希臘人對下列問題頭痛不已： 假設一正方形邊長為一單位，對 角線有多長？  埃及人和巴比倫人並不以為意。

 採用六十進位制的巴比倫人計算 至第三位數，換算至十進位為 。

 畢達哥拉斯時代的希臘人明白此 數無法寫成整數或小數。

 出生約於西元前 640 年的泰利斯， 幾乎是全世界公認最早的科學家 或數學家。  他經商致富，對知識有著無限的 渴望，遊歷巴比倫，學習天文科 學與數學，將這些知識傳回希臘。 他成功地預測西元前 585 年的日 蝕。

 埃及人擁有建造金字塔的專門技 術，卻不知道如何測量金字塔的 高度。泰利斯利用經驗事實推導 出初等幾何原理，運用相似三角 形的性質向埃及人示範金字塔高 度的測量與計算，也利用類似的 方法測量船隻在海上的距離。

 希臘人尊稱泰利斯為「七位聖哲 」 之一，認為他們是全世界最有智 慧的七個人。

 泰利斯為幾何學的系統化工作踏 出了第一步。他首先證明了幾世 紀之後歐幾里得在＜幾何原本＞ 中所收集的那一類幾何定理。泰 利斯了解，想要確知事情之間的 真實因果關係，必須建立規則， 所以他也創造了最早的邏輯推論 體系。

 他是最早去思考空間圖形全等觀 念的人：平面上有兩個圖形，如 果能夠移動和旋轉其中一個，使 其與另一個重疊，則兩個圖形可 視為全等。

 把相等的觀念從數目延伸到空間 圖形，是空間數學化的一大躍進。 這牽涉到同質性 (homogeneity) 的 假設，即圖形在移動時既不會扭 曲也不會改變大小。但在任何空 間，包括我們生存的物理空間中， 這種假設都不是正確的。

 泰利斯強調，透過觀察與推理， 人們理當能夠解釋自然界中所有 的現象。他推導出革命性的結論， 認為自然是遵循固定的法則運行。 在數學的領域中，有關這個世界 的結論應該透過規則來確認，而 非猜測與觀察。

 泰利斯也提出物理空間的觀念： 儘管世界上的物質具有如此巨大 的多樣性，但本質上卻應該是同 樣的東西。

 「什麼是基本的東西？」泰利斯 居位在海洋城市，直覺告訴他可 能是水。泰利斯的學生，阿納克 西曼德 (Anaximander) 認為人類 應是從魚這種低等動物演化而來。

 泰利斯老時，遇到歐幾里得幾何 學最重要的先驅人物：畢達哥拉 斯 (Pythagoras) 。

 畢達哥拉斯十八歲時，到里斯伯 島 (Lesbos) 拜訪費雷西底 (Pherecydes) 。費雷西底學習過 腓尼基的神祕經書，將靈魂不朽 與輪迴轉世的觀念傳入希臘，畢 達哥拉斯的宗教哲學觀即是以此 為基石。

 二十歲時，前往米利都，遇到泰 利斯。可以確知的是，他對這個 年輕的天才產生了重大的影響。 泰利斯辭世多年後，畢達哥拉斯 仍常獨坐家中，為這位離開人世 的遠見人物吟唱讚詩。

 所有古代關於這次會面的記載都 表示：泰利斯送給畢達哥拉斯一 句勉勵忠告，要他前往埃及。

 在埃及的幾何物體都是物理實體： 直線是拉繩夫拉緊的繩子或者田 地的邊緣；矩形是一小塊土地的 範圍或石塊的一個平面；而空間 則是泥土、 土壤和空氣。

 把浪漫和比喻的想法帶入數學領 域的不是埃及人，而是希臘人： 空間對希臘人而言可以是一種數 學的抽象觀念，同樣重要的是， 這種抽象觀念可以應用到各種不 同的情況。 “ 知識是可以相互應用 的。 ”

 傳說，一天畢達哥拉斯路過鐵匠 鋪時，聽到不同錘子敲打鐵鉆發 出的聲響，開始思考。用弦線進 行實驗，發現調和數列以及振動 弦線與發出音高之間的關係。後 人常視此為歷史上以實證方式發 現自然法則的首例。

 畢達哥拉斯的和聲律代表了人類 第一次用數學名詞來描述物理世 界的里程碑。

 畢氏數學的許多複雜內容都是來 自畢達哥拉斯和其追隨者所發現 的許多數值類型。例如：「正方 形數」（ square number) 與三角 形數。

 畢達哥拉斯覺得正方形數和三角 形數的性質十分神奇。比方說 (a) 第二個正方形數 4 等於前兩個奇 數的和： 1+3 。第三個正方形數 9 等於前三個奇數的和： ， 以此類推。

 (b) 正方形數都等於連續奇數的和。  (C) 三角形數同樣也是所有包括奇 偶數在內的連續數目和。  (d) 正方形數和三角形數彼此關聯； 只要把三角形數和前一個或後一 個三角形數相加，即可得到正方 形數。

 畢氏定理也一樣，看起來十分神 奇。要用幾何方法證明畢氏定理， 所需的唯一計算就是正方形面積 等於邊長的平方。