生活中的機率－ 幾個有趣或令人驚奇的例子 陳美如 國立中山大學 應用數學系

1. 先抽球還是後抽球 2. 連擲聖筊比賽 3. 該如何分配獎金 4. 換不換有關係 5. 調查隱私有一套 6. 不要隨便猜一猜 7. 當我們同一天生日 8. 最佳聘用員工人數 9. 大家來找碴 10. 辛浦森悖論

1. 先抽球還是後抽球 ? 問題：將 n 個白色球與 1 個紅色球放入一 個袋子裡。陳博與國芬輪流從袋子裡 抽出 1 個球且不放回，先抽到紅球的 人獲勝。陳博為展示紳士風度，所以 請國芬選擇她要先抽球或是後抽球。 到底國芬該如何選擇才能使得她獲勝 的機率大於或等於 1/2 ?

解答 : 假設兩人在不看顏色的情況下輪流 將所有的球抽出，並依抽出的順序編 號。球號奇數表先抽球的人所抽出的 球，而球號偶數表後抽球的人所抽出 的球。 ……

當白色球的個數 n 為奇數時，則總球數 為 n+1 偶數。 因此不論是先抽球還是後抽球，先抽到紅 球的機率皆相等，所以先抽球的人會先抽 到紅球的機率為 。 …… n …… n+1

如果白色球的個數 n 為偶數時，則總球數 為 n+1 奇數。 先抽球的人抽到紅球的機率為 所以國芬應選擇先抽球。 …… n-1 n …… n

2. 連擲聖筊比賽 問題： 1000 人參加擲聖筊比賽，其中有某 人連擲聖筊 10 次或以上的機率有多 少？

解答：設 A 表示某位參加者（比如說寶珠姊） 連續聖筊次數在 10 次以下的事件，則 所以

因此， 1000 人的連續聖筊次數都在 10 次以 下的機率為 所以， 1000 人之中至少有 1 人連續聖筊次數 在 10 次或以上的機率約為

觀察：設丟擲一枚銅板出現正面的機率為 p ， 反面為 q ，則同時丟擲兩枚銅板會出現 一正一反的機率為 2pq 。 請注意：當 時， 2pq 有最大值 。也 就是說，一般而言， 。故 聖筊的機率不大於 。

3. 該如何分配獎金 問題：道明寺與花澤類玩積分賽遊戲，優先贏得積分 5 點的人可獲得獎金 100 元。假設每回合兩人贏 對方的機率皆為 1/2 且贏的人可獲得積分 1 點。 又假設每回合的比賽結果皆獨立。當比賽進行 4 回合後，道明寺獲得積分 3 點，而花澤類只獲 得積分 1 點。此時突然發生火災，因而兩人的 比賽被迫停止。試問道明寺與花澤類該如何分 配獎金呢 ?

解答 : 假設 A= 道明寺勝， B= 花澤類勝 如果繼續玩的話，道明寺贏得獎金的所有可能 情況為 { AA, ABA, BAA, ABBA, BABA, BBAA, ABBBA, BABBA, BBABA, BBBAA } 。 而對應的機率為

所以道明寺可分得的獎金為 而花澤類可分得的獎金為

4. 換不換有關係 問題：有三道門，只有一道門的背後有 獎品。請先選好一道門，主持人 將另外兩道門之中某道背後沒有 獎品的門打開。然後主持人會問 「換不換？」若是你，換不換呢？

解答 解答：當你一開始就決定「不換」的話，你 必須選中背後有禮物的那道門，所以， 得禮物的機率顯然是 。 一開始 選擇 沒有 禮物 有 禮物 沒有 禮物

當你一開始就決定「要換」的話，那你選中 背後沒有禮物的門即可得禮物，故得禮物 的機率為 。 一開始 選擇 沒有 禮物 有 禮物 沒有 禮物 換選 這道門

當你決定以丟公正銅板來決定要換與否，則 得禮物的機率為

5. 調查隱私有一套 若年收入≧ 100 萬，請回答第一題。 若年收入 < 100 萬，請回答第二題。 第一題：我比較喜歡吃飯 ( 和麵粉類比較 ) 。 第二題：我通常舉右手表示要發言。 是 □ 否 □

設回答 “ 是 ” 的百分比為 α ( 此數字由回收問卷可 知 ) 。 令 “ 年收入≧ 100 萬 ” 的百分比為 x ，則 “ 年收入 <100 萬 ” 百分比為 1- x 。 又設第一題與第二題答 “ 是 ” 百分比分別為 p,q ( 此二數字顯然與年收入無關，故可事先調查知 道 ) 。

6. 不要隨便猜一猜 問題：請你隨意寫下兩個大小不同的數字，這 兩個數字可以是正數，也可以是負數， 可以是整數，也可以是小數或分數。我 隨意請你出示其中一個數後，我將決定 選這個數或另一個未出示的數。若我選的 數大於另一個數，則我贏；反之，則你贏 。我有什麼好策略可以使我贏的機率大於 1/2 。

解答：先選定一個門檻數 C ，若你出示的數大於 或等於 C ，我就選你出示的數；若你出示 的數小於 C ，我就選另一個數。以下證明 這樣的策略（不妨簡稱為策略 C ）可使我 贏（即選中較大的數）的機率大於 1/2 。 設你出示的數字為 X ，另一數字為 Y ，因 此 X, Y, C 有以下三種大小關係：

Case 1. ․ ․ ․ Y C X ․ ․ ․ X C Y 使用策略 C ，我必贏。

Case 2. ․ ․ ․ C X Y or ․ ․ ․ C Y X 使用策略 C ，我贏的機率為 。

Case 3. ․ ․ ․ X Y C ․ ․ ․ Y X C 使用策略 C ，我贏的機率為 。 綜合 Case 1, 2, 3 使用策略 C 使我贏的機率大 於 。

當我們同一天生日 7. 當我們同一天生日 問題 問題：某班級有 n 個學生，則該班學生有 某兩人同一天生日的機率為何？ ( 假設一年有 365 天 )

解答 解答：令有兩人同一天生日的機率為 。 (1) 當 時，則 (2) 當 時，則所有人生日都不 同天的機率為 所以,,

8. 最佳聘用員工人數 問題：假設工廠內規定當廠裡有任何一位員 工生日時，則該天工廠停工一天；其 它日子所有員工需正常上班。試問該 聘多少員工可以使得每年的產能達到 最大 ? From Cacoullos (1989, pp ).

解答：當工廠聘用 個員工時，設 為該工廠一 年的工作人天數 ( 工作人 天數 ) 的期望值。 顯然地， 若一年中的第 i 天沒有員工生日，則令 否則令 。因此 而且

又一年中沒有員工生日的平均天數為 因此

考慮 ，透過計算得到 所以當 或 時， 的值剛好達到最大。 所以最佳聘用員工數為 364 或 365 。

9. 大家來找碴 小樂因為學校要求繳交一篇作文，所以分別 請光晞與慕橙幫忙看看他寫的文章有沒有 錯別字。慕橙閱讀完後發現文章裡有 20 個 錯別字；而光晞閱讀完後發現文章裡有 15 個錯別字，其中有 10 個錯字也被慕橙找到。 估計一下大約還有多少錯別字沒被找出來。

解法 : 假設共有 n 個錯別字。則對每個錯 別字而言，我們大致可以這樣說 : 它 慕橙 發現的機率為 20/n ，被 光 晞 發現的機率為 15/n ，同時被兩人 發現的機率為 10/n 。

因為 慕橙 與 光晞 是分別獨立的找錯別字， 所以每個錯別字同時被兩人發現的機率 為 (20/n)(15/n)=10/n ，因此可估算出 n=30 。 由此推估尚有 5 個錯別字未被發現 。

10. 辛浦森悖論 ( Simpson’s paradox)

撲克牌問題 從一副 52 張牌的撲克牌中隨機抽出 5 張， 假設每張牌被抽中的機率皆相同。試問抽 出的 5 張牌中有 4 張牌的數字相同的機 率是多少 ?

解法 : 由 52 張牌中隨機抽出 5 張牌的情況有 其中若要 4 張牌的數字要相同，我們可以想像 成由 13 數字中其中有某一數字的牌皆被抽出， 而第 5 張牌是由剩餘的 48 張牌中抽出。因為 每張牌被抽中的機率皆相等，故所求的機率為