山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 §1.3 古典概型 1. 古典概型  古典概型中事件概率的计算公式  古典概型的概率计算步骤  古典概型的概率计算举例

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 古典概型 1. 古典概型 若试验 E 具有以下两个特征： (1) 所有可能的试验结果 ( 基本事件 ) 为有限个， 即 Ω={ω 1 ， ω 2 ， … ， ω n } ； (2) 每个基本事件发生的可能性相同， 即 P(ω 1 )=P(ω 2 )=…=P(ω n ) 。 则称这类试验的数学模型为等可能概型（古典概型）。 ２. 古典概型中事件概率的计算公式 设随机试验 E 为古典概型，其样本空间 Ω 及事件 A 分别为： Ω={ω 1 ， ω 2 ， … ， ω n } A={ω i1 ， ω i2 ， … ， ω ik } 则随机事件 A 的概率为：

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 古典概型 3. 古典概型的概率计算步骤 (1) 计算样本空间中基本事件 ( 样本点 ) 总数 n ； (2) 指出事件 A ； (3) 计算事件 A 中基本事件 ( 样本点 ) 总数 k ； (4) 计算事件 A 的概率 P(A) 。

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 古典概型 4. 古典概型的概率计算举例 例 1 设有编号为 1,2,…,40 的四十张考签，一学生任意抽一张进 行考试，求 “ 抽到前 10 号考签 ” 这一事件的概率． 解 记 A ＝｛抽到前 10 号考签｝．显然，学生抽到任一考签的可 能性是一样的，这是一个古典概型，基本事件总数 n=40 ， A 中所 含的基本事件数 k=10 ，故所求概率为

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 2 设有 n 个人，每个人都等可能地被分配到 N 个房间的任意 一间去住（ n≤N ），求下列事件的概率． （ 1 ）指定的 n 个房间各住 1 人； （ 2 ）恰好有 n 个房间，其中各住 1 人 解 因为每一个人有 N 个房间可供选择，所以 n 个人住在 N 个房 间的方式共有 N n 种，它们是等可能的． （ 1 ）指定的 n 个房间各住 1 人，其可能总数为 n 的全排列 n! ，于 是，所求概率为 （ 2 ） n 个房间可以在 N 个房间中任意选取，其选法总数有 种， 对每一选定的 n 个房间，按（ 1 ）的讨论可知又有 n! 种分配方式， 所以恰有 n 个房间其中各住 1 人的住法数为 ， 故所求概率 为 这个例子常称为 “ 分房问题 ” ．

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 3 一个袋中装有 N 个球，其中 M 个是黑球，其余是白球，从 袋中任取 n 个球，求取到 k （ ≤min(n, M) ）个黑球的概率． 解 从 N 个球中取 n 个，样本点数是 ，我们关心的只是黑球 和白球的个数，不存在球的排列问题，故而用组合数，这样取 样本点是能保证等可能的．设 A 表示取到 k 个黑球这一事件，注 意到在取出 k 个黑球的同时也取出了 n-k 个白球，它们是分别从 M 个黑球与 N-M 个白球中取出的，因此， A 中的基本事件数 为 ，所以 P(A)= 摸球模型是概率论与数理统计中常用的模型，许多实际问 题都可用它来描述，例如，例 3 就可以把黑球解释为次品，白 球为合格品，欲求的是 “ 抽查 n 个产品，查到 k 个次品 ” 的概率， 经常使用摸球模型也正是由于这些原因．

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 4 从数字 1, 2, ， 9 中任取 1 个，重复取 n 次，求 n 次所取数字 的乘积能被 10 整除的概率． 解 乘积要能被 10 整除必须既取到数字 5 ，又取到偶数．记 A={ 取到数字 5} ， B={ 取到偶数 } ，欲求概率 P(AB) ．不难看出，取 不到 5 的概率 P( ) ，取不到偶数的概率 P( ) ，以及 5 和偶数都取 不到的概率 P( ) 是容易求得的： 因此

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 5 从一副扑克牌（ 52 张，不含大小鬼）中任选 13 张，试求下 列事件的概率． A={ 恰有 2 张红桃， 3 张方块 } ； B={ 至少有 2 张红桃 } ； C={ 缺红桃但不缺方块 } ． 解 为计算 P （ B ），我们记 B k =“ 恰有 k 张红桃 ” ， k=0,1,2,…,13, 则 B= ， 且 ，于是 若利用 ，及 ，即得 P(C)=P( 缺红桃 )-P( 既缺方块又缺红桃 )=

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 6 袋中有 9 只黑球， 1 只白球，它们除颜色不同外，其它方 面没有差别，现随机地将球一只只摸出来，求 A k ={ 第 k 次摸出白 球 } 的概率（ k=1,2,…,10 ）． 解 将 10 个球逐个摸出，若这 10 个球被摸出的先后次序不同， 则认为结果不同，其结果总数为 10 ！，且每个结果等可能出 现．而要使 A k 发生，必须将白球留在第 k 次摸出，其余 9 次则 只能去摸 9 个黑球，因此， A k 的有利场合数为 9 ！，所以 ， k=1,2,…,10 ． 这就从理论上证明了抽签（抓阄）的合理性，其结果与我们 的生活经验一致．一般地，如果个阄中有个是有物之阄，由个人 去抓，则每个人抓到有物之阄的概率都是

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 古典概率的计算，实质上就是组合计算．但在 分析问题时怎样去选定一个适当的实现随机化的 机制，怎样去正确计算公式 (1.6) 中的 n 和 k ，以保 证既不重算也不漏算，则需要细心．尤其是： (1) 你所设想的机制是否真的实现了等可能性？ (2) 你在计算 n 和 k 时是否采用了相同的尺度，会 不会因其中一个使用了排列的观点，另一个使用 了组合的观点而导致计算错误？

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 7 n 本书随机分给甲、乙二人，问事件 A=“ 甲、乙各至 少得到 1 本书 ” 的概率是多少？ n 本书随机地分给 2 人, 甲得到的本数无非是 0,1,…,n ，一共 有 n+1 种可能性，其中 0 和 n 两种是 “ 全归一人 ” ，剩下 n-1 种有利 于 A ，故 这个解法是否对？不对 ! 问题在于这 n+1 种结果不具有等可能 性．凭常识可以推想，若 n 较大，则甲得本左右的机会，应比他 全得或全不得的机会大一些．正确的解法如下： n 本书分给 2 人，每本书有 2 种分法，由乘法原理不同的分法有 2 n 种．其中只有 2 种是使事件 A 不发生的，故

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 1 将一枚硬币抛两次，问试验后有一次正面向 上的概率是多少？ 解 基本事件为： { 正, 正 }, { 正, 反 }, { 反, 正 }, { 反, 反 } ，因而样本空间 Ω={{ 正, 正 }, { 正, 反 }, { 反, 正 }, { 反, 反 }} ， 所以 Ω 的基本事件总数为 4 。 设 A={ 有一次正面向上 } ，则 A={{ 正, 正 }, { 正, 反 }, { 反, 正 } } ，显然 A 包含的基本事件总数为 3 。 所以， P(A)=3/4=0.75 。 例 题 选 讲例 题 选 讲

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 2 口袋中有 100 只球，编号依次为 1,2,3,…,100 ，现 从中任取一球，问取得的球编号不超过 20 的概率？ 解 基本事件为： {1 号球 }, {2 号球 },…, {100 号球 } ， 因而样本空间 Ω={{1 号球 }, {2 号球 },…, {100 号球 } } ， 所 以 Ω 的基本事件总数为 100 。 设 A={ 取得的球编号不超过 20} ，则 A={{1 号球 }, {2 号 球 },…, {20 号球 } } ，显然 A 包含的基本事件总数为 20 。 所以， P(A)=20/100=0.2 。 问题：在本例中，取得的球编号为 5 的倍数的概率是 多少？

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 3 10 件产品中有 3 件次品，现从中任取 5 件。问 5 件 中恰有 2 件次品的概率？ 解 10 件产品中任意 5 件的一个组合，是一个基本事 件，即是一个可能的基本结果 ( 说明这一点很重要！ ) 。 因此，所有可能的基本事件总数 ( 即样本空间中的基 本事件总数 ) 为 设 A={5 件中恰有 2 件次品 } ，则 A 包含的基本事件总 数为 从而， P(A)=

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 4 一套 5 卷的选集随机地排放在书架上，问： (1) 第 1 卷放在最 左边的概率？ (2) 从左到右正好按卷号排成 的概率？ 解 5 卷选集在 5 个位置上的任一种排列，是一个基本事件，因 此，所有可能的基本事件总数 ( 即样本空间中的基本事件总数 ) 为 5 ！。 设 A={ 第 1 卷放在最左边 }, B={ 从左到右正好按卷号排成 12345}, 则 A 包含的基本事件总数为 1 × 4! ， B 包含的基本事件总数为 1 。从 而， P(A)=4!/5! ， P(B)=1/5! 。 小结 计算样本空间所含基本事件总数，有时用排列有时用 组合，那么，何时用排列何时用组合？一般来讲，当考虑 “ 顺 序 ” 时用排列，不考虑 “ 顺序 ” 时用组合。另外，当考虑 “ 顺序 ” 时，样本空间及所关心的事件 A 所包含的基本事件总数的计 算，都要用排列，反之亦然。

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 5 口袋中有 6 只球，其中白球 4 只，黑球 2 只。现从中任 取 1 只 ( 取后不放回 ) ，然后再任取 1 只，求 (1) 取到 2 只白球的 概率 ?(2) 取到两个颜色相同的球的概率 ?(3) 至少取到 1 只白球 的概率 ? 解 6 只球中的任意 2 只球的一种排列，是一个基本事件， 因此，所有可能的基本事件总数为 P 6 2 。 设 A={ 取到 2 只白球 }, B={ 取到 2 只黑球 }, C={ 取到两个 颜色相同的球 }, D={ 至少取到 1 只白球 }, 则 A 包含的基本 事件总数为 P 4 2 ， B 包含的基本事件总数为 P 2 2. (1) C=A ∪ B 且 A 和 B 互不相容, 从而有 P(C)= P(A)+P(A) (2)

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例 6 设有 n 个球，随机的放到 N 个盒子中去 (n≤N) ，求下列事件 的概率。 (1)A={ 指定的 n 个盒子中各有一个球 } ； (2)B={ 恰有 n 个盒 子各有一个球 } 。 解 n 个球的每一种放法是一个基本事件。由于每一个球可放入 N 个盒子中的任意一个，因此有 N 种不同的放法，所以 n 个球放 入的放入方法共有 N n 种，即 Ω 中的基本事件总数为 N n 种。 (1) 指定的 n 个盒子各放入一个球，就是 n 个球在 n 个指定的盒子 中的排列，即 A 中的基本事件数为 n! ，所以 (2) 因为没有指定是哪 n 个盒子，这 n 个盒子可以从 N 个盒子中任 意选取，共有 C N n 种选法，即 B 中的基本事件数为 C N n ×n! ，于是

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 练习题 1. 生日问题 (1) 求 A={6 个人生日的月份互不相同 } 的概率； (2) 求 B={30 个人中至少有 2 人的生日在同１天 } 的概率。 提示：把学生看作球，月份或天看作盒子，可化为分球入盒 问题。 2. 抽签问题 设有 a 个白球， b 个黑球，由 a+b 个同学依次抽１个，求第 k 个 人抽到黑球的概率． 提示：将 a+b 个人看作 a+b 个盒子． 将 a+b 个球放入 a+b 盒中， 每盒１个．问题化为，求第 k 个盒放入的是黑球的概率．