上页下页  结束返回首页 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式与微分运算法则 微分的定义 可微与可导的关系 基本初等函数的微分公式 函数和差积商的微分法则 复合函数的微分法则 上页下页  结束返回首页 §2 ． 6 函数的微分

上页下页  结束返回首页 一、微分的定义 引例： 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 x 由 x 0 变到 x 0  x ，问此薄片的面积 A 改变了多少？ 因为 A  x 2 ，所以金属薄片 的面积改变量为  A  (x 0  x) 2  (x 0 ) 2  2x 0  x  (  x) 2 。 A=x02A=x02 x0x0 x0x0 xx xx x0xx0x x0xx0x (x)2(x)2 当  x  0 时， (  x) 2  o(  x ) ； 2x 0  x 是  x 的线性函数，是  A 的主要部分，可以近似地代替  A 。 下页

上页下页  结束返回首页 设函数 y  f(x) 在某区间内有定义， x 0 及 x 0  x 在这区 间内，如果函数的增量  y  f(x 0  x)  f(x 0 ) 可表示为  y  A  x  o(  x) ， 其中 A 是不依赖于  x 的常数，而 o(  x) 是比  x 高阶的无穷 小，那么称函数 y  f(x) 在点 x 0 是可微的，而 A  x 叫做函数 y  f(x) 在点 x 0 相应于自变量增量  x 的微分，记作 dy ，即 dy  A  x 。 微分的定义： 下页

上页下页  结束返回首页 函数 f(x) 在点 x 0 可微的充分必要条件是函数 f(x) 在点 x 0 可导，且当函数 f(x) 在点 x 0 可微时，其微分一定是 dy  f (x 0 )  x 。 可微与可导的关系： y  f(x) 在点 x 0 可微  y  A  x  o(  x) 。 dy  A  x 。 这是因为，一方面 另一方面 其中  0( 当  x  0) ，且 A  f(x 0 ) 是常数，  x  o(  x) 。 下页

上页下页  结束返回首页 可微与可导的关系： y  f(x) 在点 x 0 可微  y  A  x  o(  x) 。 dy  A  x 。 函数 y  f(x) 在任意点 x 的微分，称为函数的微分，记 作 dy 或 df(x) ，即 dy  f (x)  x 。 例如， de x  (e x )  x  e x  x 。 dcos x  (cos x)  x  sin x  x ； 函数 f(x) 在点 x 0 可微的充分必要条件是函数 f(x) 在点 x 0 可导，且当函数 f(x) 在点 x 0 可微时，其微分一定是 dy  f (x 0 )  x 。 下页

上页下页  结束返回首页 例 1 ．求函数 y  x 2 在 x  1 和 x  3 处的微分。 解：函数 y  x 2 在 x  1 处的微分为 dy  (x 2 )| x  1  x  2  x ； 函数 y  x 2 在 x  3 处的微分为 dy  (x 2 )| x  3  x  6  x 。 例 2 ．求函数 y  x 3 当 x  2 ，  x  时的微分。 解：先求函数在任意点 x 的微分， dy  (x 3 )  x  3x 2  x 。 再求函数当 x  2 ，  x  时的微分，  3  2 2  0.02  0.24 。 y  f(x) 在点 x 0 可微  y  A  x  o(  x) 。 dy  f (x 0 )  x 。 下页

上页下页  结束返回首页 因为当 y  x 时， dy  dx  (x)  x  x ， 所以通常把自变量 x 的增量  x 称为自变量的微分，记作 dx ，即 dx  x 。 因此，函数 y  f(x) 的微分又可记作 dy  f (x)dx 。 自变量的微分： 下页

上页下页  结束返回首页 结论： 在 f (x 0 )  0 的条件下，以微分 dy  f (x 0 )  x 近似代替 增量  y  f(x 0  x)  f(x 0 ) 时，相对误差当  x  0 时趋于零。 因此，在 |  x| 很小时，有精确度较好的近似等式  y  dy 。 当 f (x 0 )  0 时，有 根据等价无穷小的性质，  y  dy  o(dy) ， 增量与微分的关系： 首页

上页下页  结束返回首页 二、微分的几何意义 当 |  x| 很小时， |  y  dy| 比 |  x| 小得多。因此在点 M 的邻近， 我们可以用切线段来近似代替曲线段。 当  y 是曲线 y  f(x) 上的点 M 处纵坐标的改变量时， dy 就是曲线在 M 点的切线上点 M 处纵坐标的相应改变量。 xx yy M N x0x0 x 0 +  x T  x y O yf(x)yf(x) dy yy 首页

上页下页  结束返回首页 (e x)e x(e x)e x (x  )  x  1 (sin x)  cos x (cos x)  sin x (tan x)  sec 2 x (cot x)  csc 2 x (sec x)  sec x tan x (csc x)  csc x cot x (a x )  a x ln a d(x  )  x  1 dx d(sin x)  cos xdx d(cos x)  sin xdx d(tan x)  sec 2 xdx d(cot x)  csc 2 xdx d(sec x)  sec x tan xdx d(csc x)  csc x cot xdx d(a x )  a x ln adx d(e x )  e x dx 1 ．基本初等函数的微分公式 三、微分公式与微分运算法则 下页

上页下页  结束返回首页下页

上页下页  结束返回首页 2 ．函数和、差、积、商的微分法则 关于 d(u  v)  vdu  udv 的证明： 因为 d(uv)  (uv  uv)dx  uvdx  uvdx 。 而 udx  du ， vdx  dv ， 所以 d(uv)  vdu  udv 。 求导法则： 微分法则： (u  v)  u  v d(u  v)  du  dv (Cu)  Cu d(Cu)  Cdu (u  v)  uv  uv d(u  v)  vdu  udv 下页

上页下页  结束返回首页 2 ．函数和、差、积、商的微分法则 求导法则： 微分法则： (u  v)  u  v d(u  v)  du  dv (Cu)  Cu d(Cu)  Cdu (u  v)  uv  uv d(u  v)  vdu  udv 下页

上页下页  结束返回首页 3 ．复合函数的微分法则 设 y  f(u) 及 u  (x) 都可导，则复合函数 y  f[  (x)] 的微 分为 dy  y x dx  f (u)  (x)dx 。 于由  (x)dx  du ，所以，复合函数 y  f[  (x)] 的微分公式也 可以写成 dy  f (u)du 或 dy  y u du 。 由此可见，无论 u 是自变量还是另一个变量的可微 函数，微分形式 dy  f (u)du 保持不变。这一性质称为微 分形式不变性。 下页

上页下页  结束返回首页 在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量。 例 3 ． y  sin(2x  1) ，求 dy 。 解：把 2x  1 看成中间变量 u ，则  2cos(2x  1)dx 。  cos(2x  1)  2dx  cos(2x  1)d(2x  1) dy  d(sin u)  cos udu 若 y  f(u) ， u  (x) ，则 dy  f (u)du 。 下页

上页下页  结束返回首页下页 若 y  f(u) ， u  (x) ，则 dy  f (u)du 。

上页下页  结束返回首页 例 5 ． y  e 1  3x cos x ，求 dy 。 解：应用积的微分法则，得  e 1  3x (3cos x  sin x)dx 。  (cos x)e 1  3x (  3dx)  e 1  3x (  sin xdx) dy  d(e 1  3x cos x)  cos xd(e 1  3x )  e 1  3x d(cos x) 下页

上页下页  结束返回首页 例 6 ．在括号中填入适当的函数，使等式成立。 (1) d( )  xdx ； (2) d( )  cos  t dt 。 解： (1) 因为 d(x 2 )  2xdx ，所以 (2) 因为 d(sin  t)  cos  tdt ，所以 结束