第五章 导数和微分
§1 导数的概念
一、问题的提出 1. 自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得
2. 切线问题 割线的极限位置 —— 切线位置 播放
如图, 如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋向极限位置 MT, 直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线. 极限位置即
二、导数的定义 定义
其它形式 即
★ ★ 关于导数的说明：
注意 : ★
播放 2. 导函数 ( 瞬时变化率 ) 是函数平均变化率的逼近 函数.
★ 2. 右导数 : 单侧导数 1. 左导数 : ★
★ ★
三、由定义求导数 步骤 : 例1例1 解
例2例2 解
例3例3 解 更一般地 例如,
例4例4 解
例5例5 解
例6例6 解
四、导数的几何意义与物理意义 1. 几何意义 切线方程为 法线方程为
例7例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为
2. 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动 : 路程对时间的导数为物体的瞬 时速度. 交流电路 : 电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体 : 质量对长度 ( 面积, 体积 ) 的导数 为物体的线 ( 面, 体 ) 密度.
五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证
连续函数不存在导数举例 0 例如, 注意 : 该定理的逆定理不成立. ★
0 1 例如,
0 1 1/π － 1/π
例8例8 解
六、小结 1. 导数的实质 : 增量比的极限 ; 3. 导数的几何意义 : 切线的斜率 ; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 ; 5. 求导数最基本的方法 : 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续, 一定不可导. 连续 直接用定义 ; 看左右导数是否存在且相等.
思考题
思考题解答
练习题答案
§3 隐函数与参变量函数的导数
一、隐函数的导数 定义 : 隐函数的显化 问题 : 隐函数不易显化或不能显化如何求导 ? 隐函数求导法则 : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1例1 解 解得
例2例2 解 所求切线方程为 显然通过原点.
例3例3 解
二、对数求导法 观察函数 方法 : 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数 对数求导法 适用范围 :
例4例4 解 等式两边取对数得
例5例5 解 等式两边取对数得
一般地
三、由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题 : 消参困难或无法消参如何求导 ?
由复合函数及反函数的求导法则得
例6例6 解
所求切线方程为
例7例7 解
例8例8 解
四、相关变化率 相关变化率问题 : 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 ?
例9例9 解 仰角增加率
例 10 解 水面上升之速率 4000m
五、小结 隐函数求导法则 : 直接对方程两边求导 ; 对数求导法 : 对方程两边取对数, 按隐函数的求导 法则求导 ; 参数方程求导 : 实质上是利用复合函数求导法则 ; 相关变化率 : 通过函数关系确定两个相互依赖的变 化率 ; 解法 : 通过建立两者之间的关系, 用链式求 导法求解.
思考题
思考题解答 不对．
练 习 题
练习题答案
§5 微 分
一、问题的提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.
再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否 所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?
二、微分的定义 定义 ( 微分的实质 )
由定义知 :
三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性
(2) 充分性
例1例1 解
四、微分的几何意义 M N T ） 几何意义 :( 如图 ) P
五、微分的求法 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式
2. 函数和、差、积、商的微分法则
例2例2 解 例3例3 解
六、微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性
例4例4 解 例3例3 解
例5例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.
七、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★
导数与微分的区别 : ★
思考题
思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.
练 习 题
练习题答案