8.2.1 换元积分法
问题 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、第一类换元法
在一般情况下： 设 则 如果 （可微） 由此可得换元法定理
第一类换元公式（凑微分法） 说明使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同，所得结论不同. 定理 1
例 1 求 解（一） 解（二） 解（三）
例 2 求 解 一般地
例 3 求 解
例 4 求 解
例 5 求 解
例 6 求 解
例 7 求 解
例 8 求 解
例 9 求 原式
例 10 求 解
例 11 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例 12 求 解
例 13 求 解（一） （使用了三角函数恒等变形）
解（二） 类似地可推出
解 例 14 设 求. 令
例 15 求 解
问题 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 （应用 “ 凑微分 ” 即可求出结果） 二、第二类换元法
证 设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理 2
第二类积分换元公式
例 16 求 解 令
例 17 求 解令
例 18 求 解 令
说明 (1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令
说明 (2) 积分中为了化掉根式除采用三角代 换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令
积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需 根据被积函数的情况来定. 说明 (3) 例 19 求 （三角代换很繁琐） 令 解
例 20 求 解 令
说明 (4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例 21 求 令 解
例 22 求 解 令 （分母的阶较高）
说明 (5) 当被积函数含有两种或两种以上的 根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例 23 求 解 令
基本积分表基本积分表
8.2.2 分部积分法
复习引入 一. 求下列不定积分： 解：（公式法） （凑微分法） ( 公式法与凑微分法都不能直接运用 ) 二. 函数积的微分法则 d(uv)=udv+vdu 移项得 udv=d(uv)-vdu 对上式两边求不定积分，得：
分部积分法 如果函数 u u(x) 及 v v(x) 具有连续导数，则有 (uv) uv uv ， 或 uv (uv) uv 。 对上述等式两边求不定积分，得 这个公式称为分部积分公式。 分部积分的过程： 新课讲授
一. 分部积分公式： 二. 关键：恰当选取 u 和确定 v. 如何选取 u:(LIATE 法 ) L----- 对数函数 I----- 反三角函数 A----- 代数函数 T----- 三角函数 E----- 指数函数 根据 LIATE 法， f(x) 与 g(x) 谁排在 LIATE 这一字母表 前面就选谁为 u. 即若选 f(x) 为 u, 则 g(x)dx=dv 。 v=∫g(x)dx 、或 v'=g(x). 使用分部积分公式，若选 f(x)=u, 则 v≠g(x) 注： 而 v'=g(x).
例题与练习 例 1. 求下列不定积分 解：
例题与练习 例 1. 求下列不定积分 解：
例题与练习 练习 1. 求下列不定积分 解：
常用解题技巧 ( Ⅰ ) 多次使用分部积分法则 解： 练习 2. 求不定积分 例 2.
常用解题技巧 ( Ⅱ ) 还原法 例 3. 解： 练习 3 ：
Ⅲ 与 换元法相结合 练习 4. 求不定积分 解： 常用解题技巧
例5．例5． 例6．例6． 例7．例7． 例8．例8．
例9．例9． 例 10 ． 例 11 ．
解：因为 例 13 ．
练习 : 用什么积分法求下列积分？
①第一换元积分法则： 课堂小结： ②掌握常见的六种凑微分类型
(3) 根据 LIATE 法，恰当选取 u 和确定 v. (4) 运用分部积分公式：. (5) 掌握常用三种解题技巧.
思考题 求积分
思考题解答
思考题 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？
思考题解答 注意前后几次所选的 应为同类型函数. 例 第一次时若选 第二次时仍应选