线性微分方程的基本理论 一、概念 二、齐次线性方程解的性质和结构 三、非齐次线性方程解的结构

一、概念 n 阶微分方程一般形式： n 阶线性微分方程一般形式： 0)t( 阶齐次线性微分方程；时，称为当 nf  阶非齐次线性微分方程；时，称为 nt)( 当 f0  i 通常称（ 4.2 ）为（ 4.1 ）对应的齐次线性方程。

例： 二阶线性微分方程的一般形式为 通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐次线性微 分方程 。 : 0)( 时，方程变为当  xf

回忆：一阶微分方程存在唯一性定理 定理 考虑初值问题 :),(Ryxf 在矩形区域其中, 上连续 : 条件满足并且对 Lipschitzy 都成立使对所有即存在 RyxyxL  ),(),,(,0 21 )1.3( 0 上的解存在且唯一在区间则初值问题 hxx 

定理 1 则对于任一及任意的 上的连续函数, 上，且满足初始条件： 定义于区间 方程（ 4.1 ）存在 唯一解 及都是区间 如果 可将一阶微分方程存在唯一性定理推广至高阶线性微 分方程的存在唯一性定理。

线性微分算子 定义 例如取 方程（ 4.1 ）可写成 方程（ 4.2 ）可写成 性质 1 性质 2 由性质 1,2 得

二、齐线性方程解的性质与结构 定理 2 叠加原理 的解，则它们的线性组合 也是方程 ( 4.2 ) 的解。 其中是任意常数。 阶齐线性微分方程 如果 是 n 证明：

特别 ： (3) 问题： 是（ 4.2 ）的解，则 若 时， 当 回顾通解定义：含有 n 个独立的任意常数 的解称为方程的通解 还需要 独立。 也是方程（ 4.2 ）的解。 (3) 是不是方程（ 4.2 ）的通解？ 因此 (3) 不一定是方程（ 4.2 ）的通解，

而 独立即满足雅可比行列式 这个行列式 定义为朗斯 基行列式

定义在 区间上的 k 个可微 k-1 次的函数 所作成的行列式 称为这些函数的朗斯基行列式。 朗斯基行列式

问题： 因此是通解 （1）（1） 是通解？ 满足什么条件时 即 （2）（2） 满足什么条件时这通解 表示所有解？

定义： 有 任给方程（ 4.2 ）的解若存在 则称是方程（ 4.2 ）的基本解组。 问题（ 2 ）即为讨论 满足什么条件时为基本解组？ 下面引进函数线性无关和相关的概念

定义在 上的函数 如果存在 使得恒等式 不全为零的常数 对所有 成立， 称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。 因为若 则 定义 例如 上线性无关 ),(  在区间 上线性相关 ),(  在区间 上线性无关 ),(  在区间

注：注：（ 1 ）对于两个函数 无关常数相关常数 （ 2 ）函数的线性相关与线性无关都是依赖于 所取区间。 例如： 在 线性无关， 在 线性相关，

定理 3 上它们的朗斯基行列式 则在 证明 由假设，即知存在一组不全为零的常数 使得 依次对 t 求导，得到 在区间 上线性相关， 若函数 的齐次线性代数方程组， 这是关于 下面给出解线性无关和相关与朗斯基行列式的关系。

它的系数行列式为朗斯基行列式 方程存在非零解的充要条件是 由线性代数理论， 定理 3 的逆定理是否成立？ 即由其构成的朗斯基行列式为零，但它们也可能 是线性无关的。 不一定 系数行列式必须为零，即 推论 上某点线性无关。 的朗斯基行列式在区间 处不等于零，则该函数组 若函数组

故 是线性无关的。 例如：

定理 4 设有某个 ， 使得 考虑关于 的齐次线性代数方程组 证明：反证法 如果方程 (4.2) 的解 在区间 上线性无关，则 任何点上都不等于零，即 在这个区间的

其系数行列式 ，故有非零解 构造函数 根据叠加原理， 由解的唯一性知 ，即 另 也是方程 (4.2) 的解，也满足初始条件。 始条件 是方程（ 4.2 ）的解，且满足初 因为 不全为 0 ，与 线性无关的假设矛盾。

重要结论 推论 线性相关 定理 4 定理 3 线性相关。 若存在 使 则 设方程 (4.2) 的解 从上述结论可得 : 对方程（ 4.2 ）的解，有 方程 (4.2) 的解在区间 线性无关 的充分必要条件是 上

问题： 方程 (4.2) 是否存在 n 个线性无关的解？ 证明：在 上连续，取 则满足条件 的解存在唯一。 定理 5 n 阶齐线性方程 (4.2) 一定存在 n 个线性无关的 解， 且任意 n+1 个解都线性相关。 令 为满足 的解， 令 为满足 的解， 令 为满足 的解，

线性无关。 任取方程 (4.2) 的 n+ 1 个解， 即齐线性方程 (4.2) 一定存在 n 个线性无关的解。

因此任意 n+1 个解都线性相关。 n 阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间。推论 定理 是方程（ 4.2 ）的 n 个线性如果 无关的解，则方程（ 4.2 ）的通解可表为

定理 无关的解，则它一定是该方程的基本解组，即 是方程（ 4.2 ）的 n 个线性 如果 方程的任一解 都可表示为 下面讨论 满足什么条件时为基本解组？ 证明： 设 为方程的任一解，且满足条件 考虑关于 的齐次线性代数方程组

其系数行列式为 线性无关，故由于 所以方程组有唯一解 构造函数 根据叠加原理， 是方程（ 4.2 ）的解，且满足初 始条件

由解的唯一性知，即 定理 6 （通解结构定理） 无关的解，则 如果 是方程（ 4.2 ）的 n 个线性 （ 1 ）方程（ 4.2 ）的通解可表为 （2）（2）是方程（ 4.2 ）的基本解组，即 方程的任一解 都可表示为

补充 定理 （刘维尔定理） 设是方程（ 4.2 ）的任意 n 个解， 上任一点 都有则对 证明略。 注：（ 1 ）由刘维尔公式也可得到，方程解组的朗 斯基行列式要么恒等于零要么恒不等于零。 （ 2 ）对二阶微分方程

若已知其中一解 则可用刘维尔公式求出通解。 设另一解为 则由刘维尔公式可求得另一个 与之线性无关的解 因此通解为

例 求方程的通解。 解： 容易看出方程有解 ， 此时 代入上面通解公式可得

三、非齐线性方程解的性质与结构 性质 1 如果 是方程 (4.1) 的解，而 是方程 的解，则 也是方程 的解。 性质 2 方程 的任意两个解之差必为方程 的解。

定理 证明 为方程 的基本解组， 设 是任意常数，且通解包括 其中 方程 的所有解。 是方程 的某一解，则方程 的通解为 （ 1 ）由性质 1 知 是方程 的解，且含有 n 个独立 的任意常数，是通解。

（2）设（2）设 是方程 的任一个解，则由性质 2 知 是方程 的解。 因此由齐线性方程通解结构定理得， 存在使 即

非齐线性方程通解非齐线性方程特解对应齐线性方程通解 表示 基本解组 下面用常数变易法来求非齐线性方程的特解。

常数变易法 设 为方程 的基本解组， 则 为方程 的通解， 对 求导得 设 为方程 的解。

对 求导得 令 则 令 则 依次进行以上操作可得

把 代入 中得 得到一个方程组

因为方程组行列式为 故方程组有唯一的解，设为 代入

通解为 非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的 结构 : 通解与自身的一个特解之和。 令，得特解

例 求方程 线性方程的基本解组为 的通解，已知它对应齐 解得 原方程的通解为 解 令