平面与平面垂直的判 定及其性质 平面与平面垂直的定义 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的性质定理 例题讲解 小结 作业
平面与平面垂直的定义 相交成直二面角的两个平面 叫做互相垂直的平面。
A B α β 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 一条垂线，则两平面互相垂直。 面面⊥ 线线⊥
定理证明 已知： AB 平面 α ， AB ⊥平面 β ， 垂足为 B 求证： α ⊥ β 证：设 α∩β = CD B ∈ CD 在 β 内作 BE ⊥ CD ∵ AB ⊥ β CD β BE β ∴ AB ⊥ CD AB ⊥ BE ∴∠ ABE 为二面角的平面角 ∴α⊥β∴α⊥β β α A B C D E ∠ ABE = 90º ∴ α - CD - β 为直二面角
平面与平面垂直的性质定理 如两个平面互相垂直，则在一 个平面内，垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面。 β α A B
定理证明 已知：平面 α ⊥平面 β ， α∩β=CD ， AB 平面 α ， AB ⊥ CD ， B 为垂足。求证： AB ⊥ β ∵ α ⊥ β ∴ AB ⊥ BE 而 AB ⊥ CD CD∩BE=B ∴ AB ⊥ β β α A B C D E 证：平面 β 内过点 B 作 BE ⊥ CD ， 则 ∠ ABE 是二面角 α—CD—β 平面角
例1：例1： 已知 Rt∆ABC 中 AB=AC=a ， AD 是斜边上高，以 AD 为折痕， 使∠ BDC 成直角 求证 1 ）平面 ABD ⊥平面 BDC 平面 ACD ⊥平面 BDC 2 ）∠ BAC=60º 证： 1 ）∵ AD ⊥ BD AD ⊥ DC BD∩DC=D AD ⊥面 BDC 而 AD 面 ABD ∴平面 ABD ⊥平面 BDC 同理可证 平面 ACD ⊥平面 BDC A BCD D A BC D
例1：例1： A BCD D A BC D 2 ）∵甲中 Rt △ BAC 中 AB=AC=a ∴ BD=DC= a ∴ BC= a 乙中△ BDC 为等腰 Rt △ ∴ BC=a 乙中△ ABC AB=AC=BC=a ∴∠ BAC=60º a a a aa a a
思考题： 已知：平面 α ⊥平面 β ，在 β 内， CD ∥ AB α∩β=AB ，点 E 到 AB 距离为 3cm, CD 到 AB 间距离为 4cm 求： E 到 CD 的距离 解：在 α 内过 E 作 EF ⊥ AB ∵ α ⊥ β ∴ EF ⊥ β 过 F 作 FG ⊥ CD ，连 EG 由三垂线定理知 EG ⊥ CD ∴ EG 为到 CD 距离 Rt △ EFG 中， ∵ EF=3cm ， FG=4cm ∴ EG=5cm E F G A B C D
小结 立体几何中化归思想的应用： 线线垂直 线面垂直 面面垂直 面面垂直 线面垂直 线线垂直
作业 P62 练习 1 ， 2 练习册