第八章 投影变换 第八章 投影变换 内容 : 一. 导引 二. 投影介绍 三. 投影变换原理 四. 总结 五. 补充内容

一. 导引（ 1/7 ）  三维图形的基本问题 一. 导引（ 1/7 ）  三维图形的基本问题 – 显示器屏幕是二维的 – 显示对象是三维的 – 解决方法 ---- 投影 ( 平行投影或透视投影 ) 在二维屏幕上如何显示三维物体？

一. 导引 （ 2/7 ）  三维图形的基本问题 一. 导引 （ 2/7 ）  三维图形的基本问题 – 三维形体的表示 ---- 空间直线段、折线、曲线段、 多边形、曲面片 – 三维形体的输入、运算、有效性保证 ---- 困难 – 解决方法 ---- 各种用于形体表示的理论、模型、 方法 如何表示三维物体？

一. 导引（ 3/7 ）  三维图形的基本问题 一. 导引（ 3/7 ）  三维图形的基本问题 – 物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系 – 遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分 – 解决方法 ---- 消除隐藏面与隐藏线 如何反映遮挡关系？（消隐）

一. 导引（ 4/7 ）  三维图形的基本问题 一. 导引（ 4/7 ）  三维图形的基本问题 – 人们观察现实世界产生的真实感来源于 空间位置关系 ---- 近大远小透视关系和遮挡关 系 光线传播引起的物体表面颜色的自然分布 颜色是光刺激人的视网膜所产生的视觉印象， 反映了光源所发出的光的主要特性，物体对 光的反射、折射、投射等物理属性 如何产生真实感图形 – 解决方法 建立光照模型、开发真实感图形 ( 逼真 + 示意 ) 绘制方法

一. 导引（ 5/7 ）  三维图形的基本问题 一. 导引（ 5/7 ）  三维图形的基本问题 三维图形的基本研究内容 ☺ 投影 ☺ 三维形体的表示 ☺ 消除隐藏面与隐藏线 ☺ 建立光照模型、开发真实感图形绘 制方法

Real Object Human Eye Display Device Graphics System Synthetic Model Synthetic Camera Real Light Synthetic Light Source 一. 导引 (6/6)  三维图形成像过程 ( 类比 )  三维图形成像过程 ( 类比 )

一. 导引（ 7/7 ）  三维图形成像过程 一. 导引（ 7/7 ）  三维图形成像过程 – 三维图形显示流程图 模型 变换 模型坐 标系 世界 坐标系 观察 变换 观察 坐标系 关于视 锥体三 维裁剪 投影 平面 窗口到视 区变换 显示 演示 投影 设备 坐标系

三. 投影介绍（ 1/9 ） 三. 投影介绍（ 1/9 ） 透视投影 平行投影 透视投影 平行投影 平面投影 曲面投影 平面投影 曲面投影

二. 投影介绍（ 2/9 ） 照像机模型与投影 – 生活中的类比 -- 如何拍摄景物？ 拍摄过程 – 选景 – 取景 -- 裁剪 – 对焦 — 参考点 – 按快门 -- 成像 移动方式 – 移动景物 – 移动照相机 两个坐标系（照相机坐标系和景物坐标系）

二. 投影介绍（ 3/9 ） 二. 投影介绍（ 3/9 ） – 投影 — 照相机模型 选定投影类型 设置投影参数 – 拍摄方向、距离等 三维裁剪 – 取景 投影和显示 – 成像 – 三维图形显示的主要步骤 三维裁剪投影 窗口到视 区变换 三维世界 坐标系 三维设备 坐标系 演示

二. 投影介绍（ 4/9 ） 二. 投影介绍（ 4/9 ） 平面几何投影及其分类 – 投影 将 n 维的点变换成小于 n 维的点 将 3 维的点变换成小于 2 维的点 – 投影中心 (COP:Center of Projection) 视觉系统 — 观察点、视点 – 投影面 不经过投影中心 平面 -- 照相机底片 曲面 — 球幕电影视网膜

二. 投影介绍（ 5/9 ） 二. 投影介绍（ 5/9 ） – 投影线 从投影中心向物体上各点发出的射线 直线 — 光线 曲线 — 喷绘 – 平面几何投影 投影面是平面 投影线为直线 – 投影变换 投影过程 投影的数学表示 演示

投影介绍（ 6/9 ） 二. 投影介绍（ 6/9 ）

二. 投影介绍（ 7/9 ） 二. 投影介绍（ 7/9 ） 投影变换分类 投影 平行 投影 透视 投影 正平行 投影 斜平行 投影

二. 投影介绍（ 8/9 ） 二. 投影介绍（ 8/9 ） 投影 平面 投影 方向 斜平行投影正平行投影

二.投影介绍（9/9） 三视图：正视图、侧视图和俯视图 3D Max 例

三. 投影变换原理

三. 投影变换原理 （ 2/15 ） 三. 投影变换原理 （ 2/15 ） – 什么是观察坐标系 View Reference Coordinate 或 VRC 照相机所在的坐标系 – 如何建立观察坐标系 坐标原点 ---- 聚焦参考点在投影平面上的投影， 称为观察参考点 VRP （ View Reference Point) n 轴 ---- 照相机镜头方向（投影平面的法向） u 轴 ---- 照相机向上的方向（观察正向） v 轴 ---- 采用观察坐标系，投影简单

三. 投影变换原理 三. 投影变换原理 用户坐标系和观察坐标系

三. 投影变换原理

三. 投影变换原理 在投影平面上指定窗口 三. 投影变换原理 在投影平面上指定窗口

三. 投影变换原理 三. 投影变换原理

三. 投影变换原理 （ 4/15 ） 三. 投影变换原理 （ 4/15 ） 为什么需要观察坐标系 简化和加速投影变换 投影平面 ---- n=0 投影中心 ---- （ 0 ， 0 ， d) 视锥体 – 视锥体是三维裁剪窗口 – 建立步骤 定义窗口 形成观察空间 形成视锥体 发出射线 前后裁剪面

三. 投影变换原理 （ 6/15 ） 三. 投影变换原理 （ 6/15 ）

三. 投影变换原理 （ 7/15 ） 三. 投影变换原理 （ 7/15 ） 参数作用 投影类型定义投影是平行投影还是透视投影 观察参考点 VRP 在世界坐标系中指定，为观察坐标系原点 观察平面法向 VPN 在世界坐标系中指定，为观察坐标的 n 轴 观察正向 UVP 在世界坐标系中指定，确定观察坐标系的 v 轴 投影参考点 PRP 在观察坐标系中指定确定投影中心或投影方向 前裁剪面裁距 F 在观察坐标系中指定， n ＝ F 为前裁剪面 后 B 裁剪面裁距在观察坐标系中指定， n ＝ B 为后裁剪面 窗口 umin 、 umax 、 vmin 、 vmax 在观察坐标系的 uv 平面上指定，确定窗口与视锥体 投影参数

三. 投影变换原理 （ 8/15 ） 三. 投影变换原理 （ 8/15 ） 透视投影变换 – 问题 ---- 在 uvn 中，投影平面为 n=0 ，投影中 心为（ 0 ， 0 ， d) ，待投影点为 P ，求投影点 Q

三. 投影变换原理 （ 9/15 ） – 投影线的参数方程 – 投影平面方程 n=0 – Q 点的坐标

三. 投影变换原理 （ 10/15 ） 三. 投影变换原理 （ 10/15 ） – 透视投影变换矩阵

三. 投影变换原理 （ 11/15 ） 平行投影变换 – 问题 ---- 在 uvn 中，投影平面为 n=0 ，投影方 向为（ 0 ， 0 ， -1) ，待投影点为 P ，求投影点 Q

三. 投影变换原理 （ 12/15 ） 三. 投影变换原理 （ 12/15 ） – 投影线的参数方程 – 投影平面方程 n=0 – Q 点的坐标

三. 投影变换原理 （ 13/15 ） 三. 投影变换原理 （ 13/15 ） – 平行投影变换矩阵 透视投影与平行投影之间的关系

三. 投影变换原理 （ 14/15 ） 三. 投影变换原理 （ 14/15 ） ** 从世界 / 用户坐标系到观察坐标系的变换 – 条件 观察参考点 : VRP （ VRP x ， VRP y ， VRP z ） 投影平面法向 VPN 观察正向 VUP ，，

三. 投影变换原理 （ 15/15 ） 三. 投影变换原理 （ 15/15 ） – 结论

四. 总结 (1/6) 四. 总结 (1/6) – 三维图形显示流程图 模型 变换 模型坐 标系 世界 坐标系 观察 变换 观察 坐标系 规范化 变换 规范投 影坐标系 规范视锥 体裁剪 投影 平面 窗口到视 区变换 显示

四. 总结 (2/6) 四. 总结 (2/6) 规范视锥体 – 平行投影的规范视锥体 半立方体 – 透视投影的规范视锥体 四棱台

四. 总结 (3/6) 四. 总结 (3/6) 为什么引入规范化视锥体 简化投影 、 简化裁剪 规范化变换 将任意视锥体变成规范化视锥体

四. 总结（ 4/6 ） 四. 总结（ 4/6 ） 平行投影视锥体的规 范化 – 将任意的平行投影视 锥体变换为规范平行 投影视锥体 – 方法：变换的分解与 合成 – 步骤 – 结果 动态演示

四. 总结 (5/6) 四. 总结 (5/6) 透视投影视锥体的规范化 – 将任意的透视投影视锥体 变换为规范透视投影视锥 体 – 方法：变换的分解与合成 – 步骤 – 结果 动态演示

四. 总结 (6/6) 四. 总结 (6/6) – 采用视见体变换的三维图形显示流程图 规范化 变换 观察坐 标系 平行投影 视锥体 变换 关于平 行投影 规范化 视锥体 裁剪 平行 投影 例例

====================== – 窗口到视区变换 – 世界坐标到观察坐标系变换 – 知识要点 – 思考题 五. 补充内容

窗口到视区变换 (1/3)

窗口到视区变换 (2/3)

窗口到视区变换 (3/3) 窗口到视区变换 (3/3)

从世界 / 用户坐标系到观察坐标系的变换 ** 从世界 / 用户坐标系到观察坐标系的变换 – 条件 VRC 的坐标原点（观察参考点） VRP （ VRP x ， VRP y ， VRP z ） 投影平面法向 VPN 观察正向 VUP ，，

提示： – 首先平移，使观察参考点 VRP 为原点 – 然后看作是不同基下的坐标，利用基变 换和坐标变换的有关知识解决。

第一步：平移，使观察参考点 VRP 为原点

x y z y'y' x'x' z '

于是：

– 根据 “ 正交矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵 ”

– 结论

要求：  掌握投影中心、投影平面、投影线、平面几 何投影、透视投影与平行投影；  了解概念：观察坐标系、观察平面、观察参 考点、观察正向，观察坐标系；  平行投影变换及其矩阵表示  透视投影变换及其矩阵表示  了解前、后裁剪面及如何定义一个透视投影 （平行投影）视锥体；  了解视锥体的规范化过程；  世界坐标系到用户坐标系的变换

思考题： – 1. 假设投影参考点为任意 PRP(x r,y r,z r ) ，写出 投影变换矩阵。 – 2. 写出世界坐标系中点 P(u p,v p,n p ) 经投影的复 合变换矩阵