1 关键词： 数学期望 方差 协方差、相关系数 其它数字特征 第四章 随机变量的数字特征

2 在一些实际问题中，我们需要了解随机变 量的分布函数外，更关心的是随机变量的 某些特征。 问题的提出：

3 例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平 均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平 均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离 程度； 考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家 庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度。

4 试问哪个射手技术较好 ? 例 : 谁的技术比较好 ? 乙射手 甲射手

5 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩： 所以甲的成绩好于乙的成绩。

6 定义： § 1 数学期望 (expectation)

7 定义： 数学期望简称期望，又称均值。

8 例： 澳门赌场猜大小游戏中有买 4 点的游戏， 游戏规则如下，掷 3 颗骰子，点数之和为 4 赌场输，赌场赔率 1 赔 50, 否则其押金归 赌场所有, 问此规则对赌场还是赌客更有 利 ?

9 解：显然赌客猜中 4 点的概率为 3/216=1/72. 设一赌客押了 1 元, 那么根据规则, 他赢 50 元的概 率为 1/72, 输 1 元的概率为 71/72. 因此经过一次 赌博, 他能 " 期望 " 得到的金额为 :

10 例：

11 例：

12 例：

13 例： 解:解:

14

15

16 例：某厂生产的电子产品, 其寿命 ( 单位 : 年 ) 服从指 数分布, 概率密度函数为 若每件产品的生产成本为 350 元, 出售价格为 500 元, 并向顾客承诺, 如果售出一年之内发生故障, 则免费 调换一件 ; 如果在三年之内发生故障, 则予以免费维 修, 维修成本为 50 元. 在这样的价格体系下, 请问 : 该厂 每售出一件产品, 其平均净收入为多少 ?

17 解： 记某件产品寿命为 X( 年 ), 售出一件产品的净收入为 Y( 元 ) ，则 由于 X 服从指数分布，那么

18 即 Y 的分布律为 Y p 因此售出一件产品的平均净收入为

19 例： 设一台机器一天内发生故障的概率为 0.2 ，机 器发生故障时全天停工。若一周 5 个工作日里 无故障，可获 利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生 2 次故障 获利 0 元，发生 3 次或以 上故障亏损 2 万元，求一周内期望利润是多少？

20 解：设 X 表示一周 5 天内机器发生故障天数， 设 Y 表示一周内所获利润，则 Y P

21 随机变量函数的数学期望

22

23

24

25

26 例：

27

28 例：设随机变量 (X,Y) 的概率密度为： X=1

29 X=1

30 X=1

31 例：

32

33 例： 设按季节出售的某种应时产品的销售量 X( 单位 : 吨 ) 是一个服从 [5,10] 上的均匀分布的随机变量. 若销售出一吨产品可盈利 C1 = 2 万元 ; 但若在销售季节未能售完, 造成积压, 则每吨产品将会 净亏损 2=0.5 万元. 若该厂家需要提前生产该种商品, 为使厂家能获得最大 的期望利润, 问 : 应在该季生产多少吨产品最为合适 ? 极值问题的求解

34 解：设应在该季生产 a 吨产品 ，所获利润 为 Y 万元，则 Y 依赖于销售量 X 及产量 a ，

35

36 数学期望的特性 推广到任意有限个随机变量线性组合的情况

37 推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况

38 下面仅对连续型随机变量给予证明 证明：

39 4.

40 例：例：

41

42 例：一民航送客车载有 20 位旅客自机场出发 ，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车 站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车的次 数，求 ( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并 设各旅客是否下车相互独立 )

43 解：引入随机变量：

44 本题是将 X 分解成数个随机变量之和， 然后利用随机变量和的数学期望等于随 机变量数学期望之和来求数学期望，这 种处理方法具有一定的普遍意义。

45 例：

46 § 2 方差 设有一批灯泡寿命为：一半约 950 小时，另一半约 1050 小时 → 平均寿命为 1000 小时； 另一批灯泡寿命为：一半约 1300 小时，另一半约 700 小时 → 平均寿命为 1000 小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？ 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡 寿命 X 与均值 1000 小时的偏离程度。 方差 ─ 正是体现这种意义的数学特征。

47 定义：

48 对于离散型随机变量 X ， 对于连续型随机变量 X ，

49 此外，利用数学期望的性质，可得方差的计 算公式：

50 例：设随机变量 X 具有 0-1 分布，其分布律为： 解：

51 例： 解：

52 例： 解： X 的概率密度为：

53 例：设随机变量 X 服从指数分布，其概率密 度为：

54 方差的性质：

55 推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况

56 证明：

57

58 例 XkXk pipi pp

59

60 例： 解：

62 表 1 几种常见分布的均值与方差 数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布 0 － 1 分布 p p(1-p) 二项分布 B(n,p) npnp(1-p) 泊松分布 均匀分布 U(a,b) 指数分布 正态分布

64 例：

65 定义：设随机变量 X 具有数学期望

66 §3 协方差与相关系数 定义：

67 协方差的计算公式： 方差性质的补充： 推广到任意有限个随机变量之和的情况

68 协方差的性质：

69 思考题：

70 说明： 相关系数的性质

71 续

72 续

73

74

75

76

77 例：设 X,Y 服从同一分布，其分布律为： X P 1/4 1/2 1/4 已知, 判断 X 和 Y 是否不相关？ 是否独立？

78

79

80

81 续

82

83

84

85 §4.4 其它数字特征

86

87 例：

88 § 4.5 多元随机变量的数字特征

89

利用协方差矩阵，可由二元正态变量的概率密度推广 ，得到 n 元正态变量的概率密度。

91

92

94 n 元正态变量具有以下四条重要性质：

95

99

课件待续 !