財務管理 第五章 評價：貨幣的時間價值

5.1 終值和複利 5.2 現值和折現 5.3 現值和終值：進一步探討

終值（ future value, FV ）指的是，在某一利率水準下，今 天投資的金額經過一段期間所能累積的價值。換言之，終 值是今天的投資在未來某個時點的價值。把本金連同累積 的利息繼續投資超過一期，就是利息再投資 （ reinvesting ）。 複利（ compounding ）。複利就是利上加利（ interest on interest ）這部份的利息為複利利息（ compound interest ）。 單利利息（ simple interest ），利息就不再投資，每一期只 賺得原本本金的利息。 5.1 終值和複利

單期投資 假設你存 $100 到一個年息 10% 的儲蓄帳戶中。 一年後你會有多少錢呢？等於原來的本金 （ principal ） $100 ，加上所賺得 $10 的利息。 如果你在 r 利率下投資一期， $1 的投資將成長 為 (1 ＋ r) 。

(1) 原本的 $100 本金； (2) 第一年賺得的 $10 利息； (3) 第二年賺得的另一個 $10 利息； (4) $1 是第一年年底的利息在第二年所賺得的 $10×0.10 ＝ $1 利息。 多期投資 同前例，如果利率沒有變動，兩年後投資終值是多少 呢？在第二年可以賺得 $110×0.10 ＝ $11 的利息，總共 會有 $110 ＋ 11 ＝ $121 。在 10% 利率下投資兩年後的終 值。 這 $121 包括四部份。

範例 5.1 利上加利 假設你從事一個年利率 14% 的投資兩年。假如 你投資了 $325 ，兩年後的投資終值是多少？其 中多少是單利利息？多少是複利利息？

在第一年年底時， $325×(10.14) ＝ $ 。 第二年年底 $370.5×1.14 ＝ $ 。 總利息是 $ － 325 ＝ $97.37 。 本金每年賺得的利息為 $325×0.14 ＝ $45.50 ， 兩年的單利利息和為 $91 ， 剩下的 $97.37 － 91 ＝ $6.37 ，則是複利利息的部 份。

在每期利率為 r 之下， $1 投資 t 期後的終值為： 終值＝ $1×(1 ＋ r) t (1 ＋ r) 通常稱為 $1 在 r 利率下投資 t 期的終值利率 因子（ future value interest factor ），或簡稱終值 因子（ future value factor ），可縮寫為 FVIF （ r, t ）。 例子 $100 的五年後價值是多少呢？ (1) 算出攸關的終值因子為： (1 ＋ r) t ＝ (1 ＋ 0.10) 5 ＝ ＝ (2) $100 將成長為： $100× ＝ $161.05

範例 5.2 複利利息 你看中了一項報酬率 12% 的投資。由於這項投資 的報酬率不賴，所以你投資了 $400 。三年後你可 以拿到多少呢？七年後？七年結束後，你賺得了多 少利息？其中多少是來自複利利息呢？ 12% 的三年期終值因子： (1 ＋ r)t ＝ ＝ $400 成長為： $400× ＝ $561.97

七年後，你將擁有： $400×1.12 ＝ $400× ＝ $ 在 $ 的終值中，其中 $400 為本金， $ － 400 ＝ $ 是利息。 在 12% 利率下，每年賺得 $400×0.12 ＝ $48 的單利利息。 七年期間，單利利息共 7×$48 ＝ $336 。 其餘的部份 $ － 336 ＝ $ ，則是 來自複利利息。

複成長 例如，你的公司目前有 10,000 個員工。你估計員工人 數每年以 3% 成長，五年後將有多少員工呢？ 我們所思考的是成長率而不是利率，但是，兩者的計 算卻是完全一樣： 10,000×(1.03) 5 ＝ 10,000× ＝ 11,593 個員工未 來五年內將有 1,593 個新進員工。

範例 5.4 股利成長 TICO 公司目前每股發放 $5 現金股利，你確信 股利將以每年 4% 的成長率一直成長下去。八 年後股利將是多少？ 終值＝ $5×(1.04) 8 ＝ $5× ＝ $6.84 股利將成長 $1.84 。

單期現值 例子：「在 10% 年利率下，今天我們必須投資多少， 才能在一年後拿到 $1 ？」終值是 $1 ，現值 （ present value, PV ）是多少呢？ 5.2 現值和折現

範例 5.5 單期現值 假設你明年需要 $400 購買教科書，而你的投資可 以賺得 7% 的報酬。那麼，今天你必須存多少錢？ 現值 ×1.07 ＝ $400 現值＝ $400×(1/1.07) ＝ $ 投資 $ 一年，就可以擁有終值 $400 。

多期現值 假設兩年後你得到需用 $1,000 。如果你的投資可 以賺得 7% ，那麼，你必須投資多少錢才能確保你需 用的 $1,000 ？ $1,000 ＝ PV×1.07×1.07 ＝ PV×1.072 ＝ PV× 現值＝ $1,000/ ＝ $873.44

範例 5.6 儲 蓄 你想要買一部新車。你有約 $50,000 ，但車價為 $68,500 。如果，你可以賺到 9% 的報酬，今天你必須存 多少錢，才能在兩年後買這部車呢？你有足夠的錢嗎？ 假設車子的價格維持不變。 PV ＝ $68,500/(1.09) 2 ＝ $68,500/ ＝ $57, 仍短缺 $7,655 。

在 r 折現率下， t 期後的 $1 之現值是： PV ＝ $1×[1/(1 ＋ r) t ] ＝ $1/(1 ＋ r) t

1/(1 ＋ r) t 被稱為折現因子（ discount factor ）。 討論現值時，以折現率（ discount rate ）稱呼它。 1/(1 ＋ r) t 又被稱為 r 利率下， t 期的 $1 的現值利率因子 （ present value interest factor ），並縮寫為 PVIF （ r, t ）。 計算未來現金流量的現值，以決定它（證券）在今天的 價值之方法，通常稱為折現現金流量評價（ discounted cash flow (DCF) valuation ）。

例如，假設三年後你需用 $1,000 ，而你的投資每 年可以賺到 15% 的報酬，今天你必須投資多少 呢？ (1) 折現因子計算如下 1/(1 ＋ 0.15) 3 ＝ 1/ ＝ (2) 投資的金額是 $1,000× ＝ $657.50

現值和終值 現值因子就是終值因子的倒數： 終值因子 (1 ＋ r) t 現值因子 1/(1 ＋ r) t 如果讓 FV t 代表 t 期後的終值，那麼終值和現值間 的關係就可以寫成： PV×(1 ＋ r) t ＝ FV t PV ＝ FV t /(1 ＋ r) t ＝ FV t ×[1/(1 ＋ r) t ] 稱為基本現值等式（ basic present value equation ） 5.3 現值和終值：進一步探討

範例 5.8 投資評估 我們以下列簡單投資案例，說明現值和終值的應 用：你的公司擬購買價值 $335 的資產。這項投資 方案非常安全，三年後你可以把這項資產以 $400 賣掉。另外，你也可以將 $335 作其他投資，賺取 10% 報酬率且風險極低。你覺得公司擬進行的這項 資產投資案如何呢？

(1) 將 $335 作其他投資，若報酬率為 10% ，三年後就可 以 得到： $335×(1 ＋ r) t ＝ $335×(1.1)3 ＝ $335×1.331 ＝ $ 提案中的投資卻只得到 $400 ，所以，這並不是項好投資。 (2) 在 10% 下，三年後 $400 的現值為： $400×[1/(1 ＋ r)t] ＝ $400/(1.1)3 ＝ $400/1.331 ＝ $300.53

折現率的求算 PV ＝ FVt /(1 ＋ r) t 現值（ PV ）、終值（ FV ）、折現率（ r ）和 投資期間（ t ）。

範例 5.9 找出單期投資的折現率 你正在考慮某項一年期的投資。如果你投入 $1,250 ， 將回收 $1,350 ，這項投資的報酬率是多少？ 這項投資，你多拿到了 $100 ，因此，隱含的報酬率 是 $100/1,250 ＝ 8% 。 基本現值等式來看， $1,250 ＝ $1,350/(1 ＋ r) 1 (1 ＋ r ) ＝ $1,350/1,250 ＝ 1.08 r ＝ 8%

假設有一項投資必須投入 $100 ，八年後這項投資 成長為 $200 。這個投資隱含的折現率是多少？也 就是該投資的報酬率（ rate of return ，或只稱 return ）。 PV ＝ FV t /(1 ＋ r) t $100 ＝ $200/(1 ＋ r) 8

(1 ＋ r) 8 ＝ $200/100 ＝ 2 r 是 9% 1. 使用財務計算機。 2. 兩邊各開八次方根，解得 (1 ＋ r) 。 3. 使用終值表。 在這個特例中，我們可以利用所謂的 72 法則（ Rule of 72 ）。在合理的報酬率下，使你的錢變成兩倍大 約需要 72/r% 的時間。

範例 5.10 棒球收藏品投資 在 2008 年 4 月， Barry Bonds 所揮出個人大聯盟生涯 的最後一顆全壘打球，以大約 $376,000 拍售，這樣 的得標價格被認為是值得投資，因為買家不確定 Bonds 是否會再復出大聯盟。棒球「專業」收藏家認為這顆棒 球收藏品的價值，於十年後會加倍。 根據 72 法則每年報酬率大約是 72/10 ＝ 7.2% 而已。

藝術品收藏界一個經驗法則是「在五年內可以回 收，十年內會加倍」 1998 年 Alberto Giacometti 的銅雕像作品 Homme Qui Marche Ⅲ 以 $2,972,500 賣出。五年之後這個雕像以 $4,039,500 賣出，這項投資的報酬如何呢？

投資價值會在十年後加倍。根據 72 法則每年會 有 7.2% 的報酬率。這個雕像在五年期間轉手一 次，現值為 $2,972,500 ，終值為 $4,039,500 ， 求解折現率 r 如下： $2,972,500 ＝ $4,039,500/(1 ＋ r) 5 (1 ＋ r) 5 ＝ r 將近 6.33% ，低於 7.2% 。

範例 5.11 為上大學儲蓄 你預估八年後你的孩子上大學時，將需要大約 $80,000 的目標金額。現在你有 $35,000 。你的投 資報酬率是每年 20% ，你可以達到目標嗎？在報 酬率多少之下你剛好可以達到目標？

假設年報酬率 20% ， $35,000 在八年後的終值是： FV ＝ $35,000×(1.20)8 ＝ $35,000× ＝ $150, 最低限度的報酬率 r ： FV ＝ $35,000×(1 ＋ r) 8 ＝ $80,000 (1 ＋ r) 8 ＝ 80,000/35,000 ＝ 報酬率大約是 11%

範例 ,262.5 天後退休 你想要在 50 年後以一個百萬富翁退休。假如你今天擁 有 $10,000 ，要達到百萬富翁的目標，你的報酬率必須 是多少？ 終值是 $1,000,000 ，現值是 $10,000 ，離退休還有 50 年，我們必須算折現率 r ： $10,000 ＝ $1,000,000/(1 ＋ r) 50 (1 ＋ r) 50 ＝ 100 大約是 9.65% 。

計算投資期數 假設我們有意購買價值 $50,000 的某項資產。 目前，我們有 $25,000 現金，如果這 $25,000 可以 賺得 12% 的報酬，多久才能累積到 $50,000 呢？ 根據 72 法則，這將需要 72/12 ＝ 6 年的時間。 基本現值等式為： $25,000 ＝ $50,000/(1.12) t $50,000/25,000 ＝ (1.12) t ＝ 2 查表 12% 所對應的那一欄，你將看到終值因子 對應的期數為 6 ，所以，大約是 6 年。

範例 5.13 計畫買下 Godot 公司 你正存錢準備買下 Godot 公司。該公司價值將為 1,000 萬美元，目前，你有 230 萬美元，如果賺得 5% 報酬，必須等多少年？在 16% 報酬率下，必須 等多久？ (1) 在 5% 下 230 萬美元＝ 1,000 萬美元 /(1.05) t 1.05 t ＝ 4.35 t ＝ 30 年 (2) 在 16% 下，大約需要等 10 年。

策略試算表 你可以求解終值、現值、折現率、期間四個未知數中 的任何一個，在試算表中它們皆有個別獨立的公式可 應用，在 Excel 中，這些公式應用如下：