數學課的語言運用 馮振業 香港教育學院數社科技學系 強調把生活元素帶入數學課堂的人，很少在意生活用語和數學 語言的分別。生活用語的精確性和邏輯性，一般都不及數學語 言的高。一面倒地使用生活用語，儘管可以令課堂互動變得平 易近人，卻存在扭曲或混淆數學的風險。相反地，過份强調嚴 格的數學語言，學生或會有吃不消的感覺。如何在教學上取得 良好的平衡，以至帶領學生從生活用語過渡至數學用語，正是 教師專業工作的一大挑戰。講者將指出一些碰過的例子，藉以 提高教師的警覺性。

大綱  生活用語和數學用語的分歧  數學用語：定義  數學用語：命題  數學用語：程序  提問  實例評析

生活用語和數學用語的分歧  精確性  邏輯性

精確性  生活用語  數學用語 統計數字統計數 數字： 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 數： 0 、 91 、 23.5 、 ﹣ 3 、 …

精確性  生活用語  數學用語 活動乜嘢時間 開始？ 活動喺乜嘢時 刻開始？

邏輯性  生活用語  數學用語 平行四邊形可以分割 成兩個完全相同的三 角形，三角形的面積 就是平行四邊形的一 半。 因為任何兩個完全相同 的三角形都可拼成一個 平行四邊形，所以三角 形的面積就是這樣拼成 的平行四邊形的面積的 一半。

邏輯性  生活用語  數學用語 由於算式 12 ÷ 8 × 4 中 8 不能除盡 12 ，我哋 可以先計算 12 × 4 ， 然後再除 8 。 因為分數乘法有結合和 交換性質，所以 因為不能整除，所以可 以改變運算次序？ 12 ÷ 8 － 4 = (12 － 4) ÷ 8 12 ÷ 8 － 4 = 12 － 4 ÷ 8 12 ÷ 8 × 4 = × × = 12 × 4 × = 12 × 4 ÷ 8

邏輯性  生活用語  數學用語 四邊形有哪幾種？你懂得哪幾種四邊形？

邏輯性  生活用語  數學用語 長方體是由六個矩形 圍成的立體圖形，其 中有四個或六個是長 方形。 長方體是由六個矩形圍 成的立體圖形，其中最 少有一個是長方形。

數學用語：定義  數學概念的精確描述稱為定義  如果學生可以運用，有定義比沒有好  如果不下定義，就不要問：「為甚麽 XXX 不 是 / 是 YYY 」  小心不要下錯的定義 角錐是由平面圍成的立體圖形，其中一面 是個多邊形，其餘的都是三角形。

數學用語：命題  要區分條件和結論 六角錐 7 有個頂、 12 條棱和 7 個面。 如果一個立體圖形是六角錐，它就 有 7 個頂、 12 條棱和 7 個面。 條件 結論

數學用語：命題  要分清歸納解釋和演繹解釋 一個角錐和一個角柱，不可能有完全相同的 頂數、棱數和面數。 列出三至二十角錐和三至二十角柱的頂數、 棱數和面數，發現不可能三數都相同。 歸納 由於角錐的頂數和面數相同，而 m(>2) 角柱 的頂數是 2m ，面數是 m+2 ，不可能相等， 因此一個角錐和一個角柱不可能頂數和面數 都相同。 演繹

數學用語：命題  要分清本命題和逆命題 如果一個多面體是六角錐，它就有 7 個頂、 12 條棱和 7 個面。 如果一個多面體有 7 個頂、 12 條棱 和 7 個面，它就是一個六角錐。 本命題 逆命題 本命題顯然是對的， 逆命題又如何？

數學用語：命題  要小心命題的否定 如果可找到一直線，使得沿它把圖形對摺，兩 邊的圖形會完全重疊，便稱此圖為對稱圖。 無論沿哪一直線把圖形對摺，兩邊的圖形都不 會完全重疊，因此這圖不是對稱圖。 命題的否定 命題

考考你  造一個六角錐的支架要用竹簽 12 支和泥膠 7 枚  用竹簽 12 支和泥膠 7 枚就可造一個六角錐支架 試比較上述命題在教學應 用上會帶來怎樣的效果。

數學用語：程序  一套用以完成某一類別任務的機械化工序  一般性：不依著特定例子、可廣泛使用 將帶分數的整數部分乘以 帶分數的分母，然後加帶 分數的分子，即成假分數 的分子；保留帶分數的分 母作假分數的分母 將 化成假分數： 將 3 乘 6 ，再加 5 ，放在分子； 分母照舊

提問  清晰可答  ( 高層次 ) 問題的分類  帶領思考

清晰可答  乘加混合計算要怎樣做？  算式中有乘又有加時，如何決定運算的先後次序？  正方形和菱形的比較，令你想起正方形和長方形比 較時的哪些特性？  正方形和菱形有哪些特性是相同的？正方形和長方 形也有一些特性是相同的，你能說說嗎？  我們會怎麼劃分這些圖形的類別？  我們應怎樣把這些圖形歸類？

( 高層次 ) 問題的分類  從性質分：回憶、觀察、思考 記得兩位數減法怎樣計算嗎？ 下列四邊形的對邊有何關係？ 固定了長方形的周界，可以怎樣增 加它的面積？

( 高層次 ) 問題的分類  從覆蓋分：特殊、一般 怎樣把正方形分割成 4 個直角三角形？ 怎樣把一個四邊形分割成 4 個直角三角形？

帶領思考  形成一個概念及相關的語言  提煉經驗背後的原理  創造解決問題的方案  建立及改良表達方式

學生透過描述形狀，形成對圓柱體的認識。 形成一個概念及相關的語言  教師拿著三種不同包庄的朱古力： 爸爸來電問你想買哪一款朱古力， 你怎樣告訴他你想買左面的一款？

學生觀察一批鐘面圖畫，歸納出時正的鐘面，分 針指著 12 ，時針分別指著 1 、 2 、 … 、 12 。 提煉經驗背後的原理  教師一面撥動聯動鐘，一面報出時正和時半 的各個時刻，然後張貼鐘面圖畫，標明時間。 接著問：「顯示時正的鐘面，有乜嘢係相同 嘅？有乜嘢係唔同嘅？」

創造解決問題的方案  巴士有乘客 41 人，下層比上層少 7 人，問上層有乘 客幾人？  教師貼出下列圖畫，然後問：「我哋唔知上、下兩 層各有乘客幾多人。但有乜嘢係已知嘅呢？」 上層乘客 下層乘客 …… …  當學生答出題中已知之後，教師畫出乘客圖畫， 然後問：「應該點樣將已知嘅資料喺圖畫度表示 呢？」

創造解決問題的方案  引導學生指出 41 和 7 對應圖畫的哪個部分，然後標 明。  當學生說出紅框內有 34 人後，問：「呢個數同邊 一層嘅乘客人數有關呢？」  接著問：「根據呢 D 資料，你可作出乜野嘅推論 呢？」「圖中邊部分嘅人數係可以揾到嘅呢？」 41 人 7人7人 上層乘客 下層乘客 …… …

這裏提問的目的，是要讓學生從讀者 的角度思考，看看怎樣表達較清晰。 建立及改良表達方式  教師展示兩道問題： 17 人可以坐滿 5 人的士多少部？ 17 人乘的士，需要 5 人的士多少部？  教師問：兩題怎樣列式？答案是甚麼？  在學生列出 17 ÷ 5 = 3 … 2 及說出正確答案 後，教師問：兩題答案不同，列式卻一樣， 豈不是容易混淆？怎樣表達可令人看得明 白一些？

考考你  你會怎樣量度燈柱的高度？  可以怎樣量度燈柱的高度？  應該怎樣量度燈柱的高度？  怎樣找到燈柱的高度？  應該用甚麽單位量度燈柱的高度？ 試評論上述問題在教學應 用上會帶來怎樣的效果。

實例評析  亂用詞語 量度單位、量度工具、量度方法 用厘米作單位量度書桌的長度。 用厘米尺作工具量度書桌的長度。 量度書桌的長度的方法：

實例評析  亂用詞語 「準確」 用鉛筆作單位量度黑板的長度 用厘米尺作工具量度樹葉的周界 唔準確。 唔可行。 不及用 XX 作單位來得準確。

實例評析  亂用詞語 「方便」 用鉛筆作單位量度黑板的長度 計算一位數乘以兩位數時，把兩 數位置對掉， 計算會方便些。 唔方便。 可減少一行直式計算。 無法有效地與別人溝通。

實例評析  教師展示下列三道算式，然後問：這三條算式 有什麼相同的地方？ 2 × 6 = ÷ 2 = 6 12 ÷ 6 = 2 都有等號 都是偶數 都有 1 、 2 、 6 幾個數字 2 都出現兩次

實例評析  教師展示下圖，然後問：細心觀察後，你看到 了什麼？ 貓貓鐘

實例評析  教師：什麼叫錐體？（此時，教師手上並沒持有任何立體圖形的模型）  學生 1 ：有一些角的，是尖的！  教師：對了！答得好！柱體就是上面和下面是一樣的！而且大小都一樣的！ 錐體下面是平的，而上面則是尖的！  接著，教師出示了一個三角柱體的模型，並且如以下的方式擺放。  然後，教師又繼續提問學生：  教師：這是什麼？  學生 2 ：三角錐體！  教師：為什麼呢？  學生 2 ：因為它的下面是平的，而上面則是尖的！

實例評析  通過動手操作的活動，學生能夠說出 ( 當三個 立體或以上疊起時 ) 只有柱體可以疊起來，而 錐體和球體則不可以。

實例評析  教師向學生展示三個不同大小的正方形如下： A B C  師：為甚麼這些正方形有大有小？是甚麽影響它們的大小？  生：因為它們的面積不同。（學生未能解釋當中的原因）  師：是甚麽令到它們的面積不同？  生：因為它們的邊長不同 你猜教師在教甚麽？ 矩形周界！

實例評析  在課室內，哪裏可以找到直角？ 直線和 相交生成 這個直角

結語  數學語言的運用與數學知識的掌握密不可分  學好數學語言與學好其他語言一樣，需要長 時間浸淫在適當的語言環境之中  不要假設學生對嚴謹的數學語言必然抗拒  朗讀重點片語和句子有助學生適應數學語言

謝謝各位！