蘋果與月亮 劉源俊 94 年 5 月 7 日 中央研究院物理研究所 高中物理科學培訓計畫

蘋果與月亮 ─ 力學概念的發展 ─ ‧ 伽利略與下落的蘋果 ‧ 牛頓與蘋果 ‧ 蘋果與月亮的聯想 ‧ 萬有引力律 ‧ 從力到勢 ‧ 蘋果與雲的聯想

嘗試從一顆蘋果看世界

伽利略與下落的蘋果

Galileo Galilei( )

Dialogues Concerning Two New Sciences 1638

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落

h v

v ～ h ?

h h/ 2 v v/ 2 ?

v ～ h ? v ～ t ? v = g t 重力加速度 g = 常數 h = ½ g t²  v² = 2 g h

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關

伽利略的想像實驗

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ 擺相當是個無阻的斜面（只不過 θ 在變） 週期與物質無關 T → g

g = 9.8 m/s²

伽利略與下落的蘋果 伽利略的想像實驗 無阻下落 重力加速度 g 與物質無關 斜面的加速度 a = g sinθ 擺相當是個無阻的斜面（只不過 θ 在變） 週期與物質無關 T → g ‧拋體運動是兩個互相獨立方向運動的加成

牛頓與蘋果

Isaac Newton( )

Principia Mathematica 1687

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g W = m a ∴ a = g

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？ ─ W= － N

牛頓與蘋果 脫離樹枝的蘋果為何下落？ ─ 重力 W = m g 樹上（桌上）的蘋果為何不下落？ ─ W= － N 天上的月亮為何不下落？

山近月遠覺月小， 便道此山大於月； 若人有眼大如天， 還見山小月更闊。 ─ 王陽明

蘋果與月亮的聯想

拋體與月亮

牛頓的想像實驗

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 F = ma a ：加速度

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！

月球 地球

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！ 作用力與反作用力 ─ 牛頓運動第三律

蘋果與月亮的聯想 拋體與月亮 地球引力一視同仁 牛頓運動第一律 牛頓運動第二律 月亮一直在下落！ 作用力與反作用力 ─ 牛頓運動第三律 靜力的平衡

W N －N－N N'N' －N'－N' －W－W 地球

萬有引力律

圓周運動

r r r

兩三角形相似 △ v = a t △ s = v t △ s : r = △ v : v ∴ v t / r = a t / v ∴ a = v² / r

萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r

萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較

g moon = v² / r = 4π² r / T² r ≒ 60 × 6400 Km T = 28.2 × 24 × 60 × 60 s g moon ≒ m/s² 9.8 m/s² / 60² = m/s² ≒ g moon 猜測 g ～ 1 / r² 於是 F ～ 1 / r²

萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有引力的反平方律 F ～ 1 / r² F = G m 1 m 2 / r² g = G M E / R E ²

萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有引力的反平方律 F ～ 1 / r² 球面稱的物體，其合力指向質心

淨力

萬有引力律 圓周運動 向心加速度 a = v² / r 蘋果與月亮的比較 萬有引力的反平方律 F ～ 1 / r² 球面稱的物體，其合力指向質心 橢圓軌道與刻普勒律

太陽引力造成行 星的橢圓軌道

橢圓軌道

A A'A' 二、 A = A' 三、 T² ～ a³ Kepler’s laws 刻普勒行星運動三律 一、橢圓軌道 a

從力到勢從力到勢

h m g

從力到勢從力到勢 勢能 (potential energy) Lagrange ( ) Analytical Mechanics (1788) V = m g h

從力到勢從力到勢 勢能 能量守恆 動能 ＋ 勢能 ＝ 常數 ½ m v² ＋ m g h = C

勢能 ＝ m g △ h 動能 ＝ ½ m v² △h△h 動能 ＋ 勢能 ＝ C

從力到勢從力到勢 勢能 能量守恆 力與勢能的關係 ─ 力是勢能的梯度 力的方向指向勢能減少最快的方向

m h l 梯度 = m g h / l

從力到勢從力到勢 勢能 能量守恆 力與勢能的關係 ─ 力是勢能的梯度 力的方向指向勢能減少最快的方向 ─ 力是向量，勢能是純量 ─ 力是想像的，勢能更是推想的

蘋果與雲的聯想

雲是小水滴 為何雲浮在天空？ 把蘋果磨成細粉，灑在空中 水中的蘋果 把蘋果打成汁

學而思 思能悟 悟而驗 驗更發