数值分析 第二章 矩阵分析基础 第一节 线性空间 第二节 赋范线性空间 第三节 内积空间 第四节 矩阵代数基础 第五节 矩阵的三角分解 第六节 矩阵的正交分解 第七节 矩阵的奇异值分解

数值分析 第一节 线性空间 一、线性空间的定义 二、线性空间的性质 三、线性空间的基与维数 四、元素在给定基下的坐标 五、线性空间的同构 六、基变换公式与过渡矩阵 七、坐标变换公式 八、线性空间的子空间

数值分析 一、线性空间的定义

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线性空间是线性代数最基本的概念之一， 也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的 推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的， 它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即 把实际问题看作线性空间，进而通过研究线 性空间来解决实际问题．

数值分析 定义 设 是一个非空集合， 为数域．如果 (1) 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作 (2) 对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 就称为数域 上的线性空间．

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2 ．线性空间中的元素不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 说明 1 ． 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算， 称为线性运算．

数值分析 （１）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． 线性空间的判定方法

数值分析 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律．

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例４ 正弦函数的集合 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．

数值分析 是一个线性空间. 例５ 在区间 上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．

数值分析 例６ 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为 验证 对上述加法与数乘运算构成线性空间． （２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律． 证明 所以对定义的加法与数乘运算封闭．

数值分析 下面一一验证八条线性运算规律：

数值分析 所以 对所定义的运算构成线性空间．

数值分析 不构成线性空间． 对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法 例７ 个有序实数组成的数组的全体

数值分析 (1) 零元素是唯一的． 二、线性空间的性质 (2) 负元素是唯一的． (4) 如果 ，则 或.

数值分析 三、线性空间的基与维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的． 问题：线性空间的一个重要特征 —— 在线性空 间 中，最多能有多少线性无关的向量？

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定义 在线性空间 中，如果存在 个元素 满足：

数值分析 当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的．

数值分析 定义 四、元素在给定基下的坐标

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注意 线性空间 的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．

数值分析 例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个线性 空间．对于 中的矩阵

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五、线性空间的同构

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定义 设 是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间 与 同构.

数值分析 例如 与 维数组向量空间 同构. 形成一一对应关系；

数值分析 则有 ３．同维数的线性空间必同构． ２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性 与传递性． 结论 １．数域 上任意两个 维线性空间都同构．

数值分析 同构的意义 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．

数值分析 六、基变换公式与过渡矩阵 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？ 问题：在 维线性空间 中，任意 个线性 无关的向量都可以作为 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．

数值分析 称此公式为基变换公式．

数值分析 基变换公式 矩阵 称为由基 到基 的过 渡矩阵． 过渡矩阵 是可逆的．

数值分析 若两个基满足关系式 七、坐标变换公式 则有坐标变换公式 或

数值分析 证明

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八、线性空间的子空间 定义 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和数乘两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间． 定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： 对于 中的线性运算封闭．

数值分析 解 (1) 不构成子空间. 因为对 例 有

数值分析 即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 对任意 有 于是

数值分析 满足 且

数值分析 生成子空间

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生成的子空间的基与维数. 例

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矩阵代数中的几个重要子空间

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（ 2 ）矩阵的列空间和行空间

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三版习题 P ， 6, 8, 15 习题 二版习题 P ， 11, 13 ，