线 性 空 间 线性空间的定义 线性空间 的子空间 小结

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题． 线性空间的定义

若对于任一数 ∈Ｒ与任一元素  ∈Ｖ，总有唯一的一个元 素  ∈Ｖ与之对应，称为 与  的数乘，记作 若对于任一数 ∈Ｒ与任一元素  ∈Ｖ，总有唯一的一个元 素  ∈Ｖ与之对应，称为 与  的数乘，记作 定义 设Ｖ是一个非空集合，Ｒ为实数域．如果对于任 意两个元 素   ∈Ｖ，总有唯一的一个元素  ∈Ｖ与之对应，称为  与  的 和，记作 设Ｖ是一个非空集合，Ｒ为实数域．如果对于任 意两个元 素   ∈Ｖ，总有唯一的一个元素  ∈Ｖ与之对应，称为  与  的 和，记作 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称 为数域 上的向量空间（或线性空间），其中的元素也称 为向量。

2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组． 3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 说明 1 ． 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算， 称为线性运算．

(1) 一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常 的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性． 例 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． 线性空间的判定方法 通常意义下的加法与数乘 8 条运算规律显然满足

通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． 例 次数不超过 n 的多项式的全体，记作, 即 对于通常的多项式的加法，数与多项式的乘法 构成的数乘运算 构成线性空间。 对运算封闭

例 例 在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数 和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间． 例 n 次多项式的全体，即 对于通常的多项式的加法，数与多项式的乘法 构成的数乘运算 不构成线性空间。

例 正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间． 是一个线性空间.

思考： （ 1 ）以实矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组 AX=0 的解向量的全体所组成的集合是否构成线性空间 ？ （ 1 ）以实矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组 AX=0 的解向量的全体所组成的集合是否构成线性空间 ？ （ 2 ） 以实矩阵 为系数矩阵的非齐次线性方程 AX=b 的解向量的全体所组成的集合是否构成线性空间？ （ 2 ） 以实矩阵 为系数矩阵的非齐次线性方程 AX=b 的解向量的全体所组成的集合是否构成线性空间？

（2）（2）（2）（2）

例 * 正实数的全体，记作, 在其中定义加法 及数乘运算为 验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间． 注意：一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线 性运算规律． 证明 所以对定义的加法与数乘运算封闭 ．

下面一一验证八条线性运算规律：

所以 对所定义的运算构成线性空间．

不构成线性空间 不构成线性空间． 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘 个有序实数组成的数组的全体 例： 个有序实数组成的数组的全体

（ 1 ） 零元素唯一 线性空间的性质 （ 2 ） 负元素唯一 （3）（3）（3）（3） （ 4 ）如果 ， 则

线性空间的子空间 定义 设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和数乘两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间． 定理 线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： 对于 中的线性运算封闭．

解 (1) 不构成子空间. 因为对 例 有 即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.

对任意 有 于是 （2）（2）（2）（2） 满足

并且

线性空间的元素统称为 “ 向量 ” ，但它可以是 通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等. 是一个集合 对所定义的加法及数乘运算封闭 所定义的加法及数乘符合线性运算 小结： 线性空间是二维、三维几何空间及 维向量 空间的推广，它在理论上具有高度的概括性. 如同 n 维 向量一样 我们可讨 论向量的 线性相关 性等概念

线性空间 线性空间的基与维数 元素在给定基下的坐标

线性空间的基与维数 已知：在 中，线性无关的向量组最多由 个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的． 问题： 在一般的线性空间 V 中，最多能有多少 线性无关的向量？

向量的线性相关性定义对于向量若存在不全为零的数 则称向量组线性相关，否则成线性无关。 可看出：线性相关性定义与 n 维向量的线性相关性 定义并无区别，所以有关线性运算的其他定义， 比如线性表示，向量组的等价性等概念都与 n 维 向量相应定义雷同。

定义１ 在线性空间 中，如果存在 个元素 满足： 当一个线性空间 中存在任意多个线性无关 的向量时，就称 是无限维的． 那么 称为线性空间 V 的一个基， n 称为线性空间的维数 注：（ 1 ） 基不唯一 （ 2 ）基所含的元素的个数唯一（维数） （ 2 ）基所含的元素的个数唯一（维数） （ 3 ）不同的基之间是等价的 （ 3 ）不同的基之间是等价的

定义２元素在给定基下的坐标

就是它的一个基 例 在任意不超过四次的多项式的线性空间 在任意不超过四次的多项式的线性空间 任意不超过四次的多项式

注意：线性空间 V 的任意元素在不同的基下 所对应的坐标一般不同，一个元素在一个 基下对应的坐标是唯一的

例 在任意不超过 n-1 次的多项式的线性空间 在任意不超过 n-1 次的多项式的线性空间 是一个基 是一个 n 维向量空间

所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和 例 所有二阶实矩阵组成的集合 ，对于矩阵的加法和 数量乘法，构成实数域 上的一个线性空间．对于 中的矩阵 为一组基 当然应该验证其满足基的要求

因所以 对于任意矩阵 而 A 在这组基下的坐标为 因此 为 v 的一组基

例 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系与其解集构成线性子空 间的基、维数是什么关系？ 求上述线性空间的基，维数。 例 设 例 求下列齐次线性方程组解空间的一组基、与解空间的 维数（也作为习题）

习题： 设 A* 是的伴随阵，则齐次线性方程组 A * X=0 解空间的基是什么？

线性空间的同构 ： 定义： 设 U,V 是两个线性空间，如果它们的元素之间有 一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应， 则称线性空间 U 与 V 同构。 ：同维数的线性空间必同构。 注：同维数的线性空间必同构。

基变换与坐标变换 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换 句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？ 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换 句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？ 问题：在 维线性空间 中，任意 个线性无关的向量都可以 作为 的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．

称此公式为基变换公式． 矩阵表示 第 2 列是  2 在  1,  2,..,  n 下的坐标， 第 j 列是  j 在  1,  2,..,  n 下的坐标，

基变换公式 过渡矩阵． 矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵． 过渡矩阵 是可逆的．为什么？ 由于 的线性无关性

若两个基满足关系式 坐标变换公式 则有坐标变换公式 或

证明因 所以 即 由于 p 是 可逆的

例 在 p[x] 4 中取两个基 求坐标变换公式 解 利用一组最基本的基 过渡

例 所有的二阶实上三角矩阵构成的实线性空间中下列两组向量 所有的二阶实上三角矩阵构成的实线性空间中下列两组向量 1. 证明两组向量都是基 2. 求过渡矩阵 3. 求矩阵 在两组基下的坐标 三维线性 空间

易验证 线性无关，并且 该矩阵 记为 P 易计算 ，所以 也线性无关。 因而（ 1 ）得证, 并且过渡矩阵为 P. 因而坐标分别为

例 坐标变换的几何意义 ，设 为线性空间的两个基

思考题

思考题解答

定义 设Ｖ是一个线性空间，如果对于任意两个元素 ,  ∈Ｖ，按 照某种法则有唯一的一个实数 ( 记作 :( ,  )) 与之对应，并且这 种对应法则满足：等号成立当且仅当 对任意  ，  ，  ∈Ｖ， ∈Ｒ 则称这个数为 则称这个数为  、  的内积。 定义了内积的实线性空间称为为欧几里得空间，简称欧氏空间。 一、 欧氏空间的定义与性质

例 说明 1. 维向量的内积是 3 维向量数量积 的推广，但是没有 3 维向量直观的几何意义． 2. 內积是向量的一种运算，如 果 都是列向量， 则內积可用矩阵表示为： 在 R n 中通常定义內积为； 对任意两向量

例 在实连续函数组成的线性空间 C[a,b] 中通常定义內积为； 对任意两向量

定义 称为向量 x 的长度, 二、向量的长度及性质 令 定义 单位向量 (1) 长度具有下述性质： 3. Cauchy-Schwarz 不等式 等号成立当且仅当 线性相关 等号成立当且仅当 ,  线性相关 (2) 当时， 称  为向量 夹角

例 在 R n 中通常的向量长度； 对任意向量 Cauchy-Schwarz 不等式为： 例 在实连续函数组成的线性空 C[a,b] 中通常定义长度为； 对任意两向量 它们的长度 Cauchy-Schwarz 不等式为：

解

１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 若一非零向量组中的向量两两正交， 则称该向量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法 ３ 正交向量组的性质 线性无关的向量组不一定正交

证明

４ 向量空间的正交基与标准正交基 若 是向量空间 V 的一组基，且两两正交， 则称它是向量空间的一组正交基；进一步，若向量 都是单位向量，则称它为标准正交基（或规范正交基） 例如 为 R 4 标准正交基

(2). 正交基与标准正交基都不唯一 (4). 标准正交基下向量间的內积与向量的长度计算简单 (3). 标准正交基下的坐标计算简单, 例如对向量  ，其坐标 分别是 ,  的坐标 其中 注 (1). n 维向量空间中 第 i 个坐 标 是一组正交基, 当然也是一组标准正交基

例 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.

即 解之得 由上可知 构成三维空间的一个正交基. 则有 解

5 求正交基的方法 定理 若 是向量空间 V 的一组线性无关的向量 可以得到 V 中的正交的单位向量组 与之等价。 结论 : n 维线性空间总存在标准正交基。 下面是任意线性无关向量组的标准正交化过程

（ 2 ） 单位化，取 （ 1 ） 正交化，取 ， 下面是其规范 正交化过程 (1) 称为施密特 正交化过程

例 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化，取

再单位化，得规范正交向量组如下

例 解 把基础解系正交化，即合所求．亦即取 其基础解系