数学文化

序 言 一、 “数学文化”一词的使用 二、 什么是“数学文化” 三、 “数学文化”课的开设 四、 “数学文化”课的上法 序 言 一、 “数学文化”一词的使用 二、 什么是“数学文化” 三、 “数学文化”课的开设 四、 “数学文化”课的上法 五、 “数学文化”课的考核

一、 “数学文化”一词的使用 该词使用已有二、三十年; 在中国，较早使用的是1990年 邓东皋、孙小礼等人编写的 《数学与文化》及齐民友写的 《数学与文化》; 近七、八年这个词用得多起来。 这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。

2003年，“数学文化”一词首次进入官方文件

2002年，在北京国际数学家大会期间，陈省身先生为中国少年数学论坛活动题词“数学好玩”，鼓励青少年喜欢数学、学好数学。 该会场的大幅标语中，使用了“数学文化”一词。

二、什么是“数学文化” 1.“文化” 狭义（说法很多，其一是） ： “文化”就是“知识”，说一个人“有文化”，就是说他“有知识”。 广义（说法比较一致） ：“文化”是人类社会历史实践过程中所创造的物质财富和精神财富的积淀，有相对的稳定性。 例如，“中华文化”、“校园文化”、“佛教文化”中的“文化”，就是指广义的文化。 “数学文化”中的“文化”，也是指广义的“文化”。

2.“数学文化” 狭义：数学的思想、精神、方法、观点、 语言，以及它们的形成和发展。 广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。 本课中使用“数学文化” 一词，更多地倾向于它的狭义解释。

耐人寻味的思考 在“数学文化”一词被日益广泛地使用时，“物理文化”、“化学文化”这样类似的词汇，并没有得到如此广泛地使用。这表明，数学科学，的确在本质上有不同于物理科学、化学科学等自然科学的地方。 数学科学的研究对象，并不是某种具体的物质运动形态，而是从众多的物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。数学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。

特别是，不同的社会现象和自然现象，在某一方面可能遵循同样的数学规律，这反映出社会现象与自然现象在数量关系上的某种共性。数学超越了具体的社会科学和自然科学，也成为联系社会科学和自然科学的纽带。 有许多学者认为，科学可以分类为：自然科学、社会科学、数学科学、技术科学。

两句耐人寻味的话 一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了 。 一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量 。

三、 “数学文化”课的开设 1.开课的概况 开课的背景：从上世纪90年代开始，陆续有些学校开始开设数学文化或类似名称的课程。如北京大学张顺燕教授从上世纪90年代末开设“数学的源与流”，南开大学顾沛教授是在2001年开设“数学文化”，目前已经是第十一轮。我校从2005年以来开设“数学文化”，目前已经是第八轮。 课程的性质：校公共选修课和数学院的限选课 选课的学生： 理科、工科、经济、文科各专业 课程的任务：讲授数学的思想、精神和方法；提高大学生的数学素质 ，也提高学生的文化素质和思想素质。 课程的效果：四年多的实践证明，“数学文化”课对大学生数学素质教育起到了很好的作用，受到学生的广泛欢迎。

2.开课的初衷 无论是文科还是理科的大学生，虽然学了多年的数学，仍然对数学的思想、精神了解得很不够，对数学的宏观认识和总体把握较差。而这些数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。

数学素养才使人终身受益 一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程，只有语文课能与之相比；但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。相反，大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差，数学素养较差；甚至误以为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。

现在的中学数学教学，较多地让学生做习题，却较少地让学生想问题。在做习题中，又较多地在操作层面、技术层面上训练解题方法，而较少地在思维层面、思想层面上培养数学素养。 特别是为了应付考试，教师在教学活动中，往往先把自己变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工，再努力把学生也变成“类型题”的有效解题者和熟练操作工。 大学教师常常感到，中学输送来的“好学生”，很会做（初等数学中的）习题，但不大善于“学数学”。

实际上 ，学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。 一位数学教育家说，不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。

而现在大学里的有些“高等数学”课，由于各种原因，也常常采取重结论不重背景、重计算不重推理、重知识不重思想的讲授方法。 在这种情况下，我们考虑专门开设一门校公共选修课——“数学文化” ， 着重教授数学的思想、精神和方法；提高学生的数学素质 ，也提高学生的文化素质和思想素质。 这，就是我们开设“数学文化”课的初衷。

3.开课的指导思想 数学不仅是一种重要的“工具” ，也是一种思维模式， 即“数学方式的理性思维”； 数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”； 数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。 在提高一个人的推理能力、抽象能力、分析能力和创造 能力方面，数学训练的作用，是其他训练难以替代的。

4．学生从课程中可能的收获 了解 数学的思想； 引起 对数学的兴趣； 学会 以数学方式的理性思维观察世界的方法。

5.重视数学素养，提高数学素养 “数学素养”的通俗说法 —把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西 从数学角度看问题的出发点； 有条理地理性思维，严密地思考、求证，简洁、清晰、 准确地表达； 在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和能力； 对所从事的工作，合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。

“数学素养”的专业说法 摘自“数学学科专业发展战略研究报告” ——教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会” ● 主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养； ● 熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养； ● 具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养； ● 对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解决问题的方法的素养； ● 善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。

用数学方法解决问题 张奠宙先生讲过的例子: 一个中学毕业生在上海和平饭店做电工。从空调机效果的不同，发现是因为地下室到10楼的三根电线不一样长。如何测知他们的电阻？ x + y = a y + z = b z + x = c x y z 因数学素养而受益

社会重视数学素养 某外企招考员工的一道题 有两只乌龟一起赛跑。甲龟到达10米终点线时，乙龟才跑到9米。现在如果让甲龟的起跑线退后1米，这时两龟再同时起跑比赛，问比赛结果将怎样？ （假设两龟均作匀速直线运动）

某外企招考员工的又一道题 有三个筐，一个筐装着柑子，一个筐装着 苹果，一个筐混装着柑子和苹果。装完后封 好了。 然后做了“柑子”、“苹果”、“混装”三个标签， 分别往上述三个筐上贴。由于马虎，结果全 都贴错了。 请你想一个办法，只许从某一个筐中拿出 一个水果查看，就能够纠正所有的标签。

某外企招考员工的又一道题 老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。” 　　 问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?

一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。 微软公司招考员工的一道面试题 一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。 假定有如下条件：1、狗的病不会传染，也不会不治而愈；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病, 只能靠看别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；3、一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗； 4、狗只能由他的主人开枪打死。 如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声……第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？ （ 不是“脑筋急转弯”！）

着力提高数学素养 数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养的。教师在数学教学中，不但要向学生传授数学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵的数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高学生的数学素养。

四、“数学文化”课的上法 1．内容和预备知识 内容： 预备知识： 中学数学； 以较浅显的知识为载体，讲授数学的思想、精神、方法、观点。 大学一年级的“高等数学”。

“数学文化 ”课的内容 第一章 概述 §1.数学是什么 §4.韩信点兵与中国剩余定理 §2.数学发展简史 §5.阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线论》 第一章 概述 §1.数学是什么 §2.数学发展简史 §3.数学的魅力 §4.数学的语言及数学的应用 第二章若干数学问题中的数学文化 §1.古代规尺作图难题 §2.五次方程的根式解 §3.有限与无限的问题 §4.黄金分割 §5.哥尼斯堡七桥问题 §6.从勾股定理到费马大定理 §7.经济学是否需要公理化框架 §8.海岸线的长度 第三章 若干数学典故中的数学文化 §1.《九章算术》与《海岛算经》 §2.历史上的三次数学危机（1） §3.历史上的三次数学危机（2） §4.韩信点兵与中国剩余定理 §5.阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线论》 §6.欧几里德几何与非欧几何 §7. 田忌赛马与运筹学 §8.希尔伯特和他的23个问题 §9.哥廷根的兴衰 §10.国际数学家大会与菲尔兹奖 第四章 若干数学观点中的数学文化 §1.“抽象”的观点 §2.“对称”的观点 §3.“类比”的观点 §4.“转化”的观点 §5.“数理统计”的观点 §6.“数学机械化”的观点 §7.“相容性、独立性和完全性”的观点 （每轮课程讲其中的一部分）

与一般数学课的区别 一般的数学课，是以数学的知识系统为线索来组织材料，进行教学。 “数学文化”课，则可以从数学典故、数学问题、数学方法、数学观点、数学思想等角度切入，并以它们为线索来组织材料，进行教学。 一般的数学课，是以讲授数学的理论知识及其应用为主要目的。 “数学文化”课虽然要以知识为载体，却并不以传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学思想为主，以提升学生的数学素养为主。

２．启发式教学、讨论式教学、研究性教学、 探索性教学 ３．教材和参考书 教材《数学文化》，顾沛，高等教育出版社； 参考书 前面展示的各种数学文化书籍，以及其它有关数学思想、数学方法、数学史、数学美等方面的书籍。 请自己去“教材中心”买教材。

４．纪律要求： 不迟到、不说话、不影响别人； “三不干涉”； 每堂课抽点6－7个名； 病假、事假宽松；旷课是严重的。

五、“数学文化”课的考核与评分 １．“读书报告”占40％， 半开卷的期末考试占60％。

所谓半开卷考试，是指不允许学生把笔记 和书籍带入考场，但允许带入一张A4大小的 纸，正、反面可以预先写上任何内容。这种做 法，提倡对知识、技能的理解和掌握，避免死 记硬背。此外，考题中会有一些开放性考题 （无标准答案，如：为什么说“数学是科学的女王”？你对三次数学危机的的看法？），研究性考题，并将于考前 一周公布约1/2的这类考题。 考试内容：课上讲的；教材中的；少数开放题、灵活题。

“半开卷”的考试改革， 学生带入考场的一张A4纸的正反面 （ “半开卷”： 只允许带入考场一张A4纸， 可预先写上任何东西—— 避免死记硬背； 提倡学懂学会 ）

读书报告，可以参照下面的“选题举 例”自选题目。要求不少于3000字，符合 论文格式，于第15周前交来。符合论文格 式，是指读书报告要包含摘要、关键词、 正文、参考文献几个部分，参考文献中要 列出书名、作者、出版社、起止页码等， 这样一些基本的格式。

读书报告选题举例： 关于数学抽象； 地图染色的“四色问题”； 牛顿力学与微积分； 数的产生与发展； 非欧几何的模型； 谈谈“类比法”； 谈谈“反证法”； 数学与哲学的关系；

数学与经济学的关系； 数学与社会学的关系； 数学与生物学的关系； 数学与物理学的关系； 数学与化学的关系； 数学与史学的关系； 数学与文学的关系； 数学与医学的关系；

数学与思维的关系； 谈谈逻辑思维与形象思维； 谈谈“直觉思维”； 函数概念发展史； 空间概念发展史； 曲线概念发展史； 关于“数学悖论”； 从金融现象看“混沌”；

以历史观看数学； 计算机与数学； 数学对天文学的推动； 素数王国； 数学中无穷思想的发展； 博弈论在经济中的应用； 三角学的产生与发展； 数学猜想；

中国的数学文化史； 数学中的美； 音乐中的数学； 非欧几何与近代物理； 数学的价值； 有序与无序； “圆”中的数学文化； 二项式定理的由来；

浅谈数学语言的特点； 关于数学的严谨性； 关于数学的真理性； 数学与密码学； 欧几里德《几何原本》与公理化思想； 解析几何的产生与形数结合的思想； 微积分与极限思想； 古希腊与古代中国数学文化的比较； 0的产生与其中的数学文化；

拓扑学的产生； 二进制与计算机； 计算的复杂性； 广告中的数据与可靠性； 商标设计与几何图形； 黄金分割中的数学文化； 艺术中的数学； 无限与悖论；

电视与图像压缩； CT扫描中的数学——拉东变换； 军事与数学； 金融中的数学； 海岸线与分形； 麦克斯韦方程中的数学文化； 系统的可靠性； 互联网技术中的数学方法； 邮票中的国际数学家大会。等等

但是，不鼓励“读书报告”专门写数学 家，因为曾经发现过有人从网上下载数学 家的传记。 无论写什么内容，只要发现主要部分是 抄袭或下载的，本课程（不仅是读书报告） 一律作不及格论，因为它还关系到“诚信”和 “做人”等道德问题。

２．上台演讲 对于读书报告，还提倡学生上台演讲；并根据演讲的效果适当加分鼓励。上台演讲，可以促使学生事先更充分地占有资料，更深入地钻研探讨，更认真地组织材料，把读书报告写成较高水平的演讲稿。上台演讲，也锻炼了学生当众说话的胆量和口头表达的能力。

上台演讲，学生多付出了劳动，因此会有分数的奖励：上台演讲者，在读书报告的得分上乘一个系数，一个大于1的系数。从第四周开始提供演讲的机会，由于最先几人准备时间短，报名演讲困难较大，所以“奖励办法”是着眼于鼓励大家早报名的：在读书报告的得分上乘的大于1的系数，第四周是1.5，第五周是1.4，第六周是1.3；第七周及以后上台演讲，均乘1.2。但当有总评分达到或超过100分的时候，上报教务处时要折算成99分。

演讲的同学在每次第二节课的开始进 行，约占15分钟，最多不超过20分钟。为 充分利用15分钟时间，应制作多媒体课件（可以参看 “数学文化”精品课程网页上同学的课件）， 且事先有较好的板书设计；并于两节课课 间作课件或板书准备；最好进行预讲，让 同学提意见、作参谋。

上台演讲，从下周起就可以书面报名，“报名申请”中写清姓名、学号、专业、联系电话、报告题目、报告提纲等基本信息。按报名先后排序。然后老师会跟学生一起讨论报告提纲，并协助作各种准备。上台前一周，学生要到老师办公室做一次试讲，连同讨论，约两个小时。

某外企招考员工的又一道题 老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。” 　　 问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的?

某外企招考员工的又一道题 老师让6名学生围坐成一圈，另让一名学生坐在中央，并拿出七顶帽子，其中四顶白色，三顶黑色。然后让七名学生都戴上眼罩，并给每个学生戴一顶帽子；再只解开坐在圈上的六名学生的眼罩。这时，由于坐在中央的学生的阻挡，每个人只能看到五个人的帽子。老师说：“现在，你们七人猜一猜自己戴的帽子颜色。”大家静静地思索了好大一会。最后，坐在中央的、被蒙住双眼的学生说：“我猜到了。” 　　问：中央的被蒙住双眼的学生带的是什么颜色的帽子？他是怎样猜到的? （右侧是其中一种情况；另外的情况是什么） ● ● ● ○ ○ ○ ○

一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。 微软公司招考员工的一道面试题 一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗。 假定有如下条件：1、狗的病不会传染，也不会不治而愈；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病, 只能靠看别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；3、一旦主人发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗； 4、狗只能由他的主人开枪打死。 如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声……第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？ （ 不是“脑筋急转弯”！）