黃金比例 『 Φ 』 Φ = 1.6180339887…… 有關於黃金比例的研究歷史綿延了2600年之久 歐幾里得在＜幾何原本＞卷六中對「中末比」的定義 這是自古以來即為人所熟之的幾何比例 十九世紀時人們為它起了「黃金比例」、「黃金數字」、「黃金分割」等名字 這個比例是一個無理數，和π一樣也被給予一個符號Φ(phi) Φ的歷史多采多姿，常出現在一些不相干的現象中，往往「令人驚奇」 五角星形中的等腰三角形、鸚鵡螺美麗的螺線結構、達利畫作＜最後的晚餐盛餐＞、兔子的繁殖、植物葉子生長位置的排列、星系結構，以及從數學到藝術等等，竟然都和Φ有關

歐幾里得的中末比 將直線AB分割成兩段AC、CB 使長段與短段之比等於全長與長段之比 此比例稱為「黃金比例」，以Φ表示 A B C

黃金比例方程式 AC/CB = AB/AC 設AC為x CB為1 則 x/1 = (x + 1)/x x2 = x + 1 取其中正解 x =  1.6180339887…… 黃金比例Φ是個無理數 A B C x 1

黃金比例方程式 AC/CB = AB/AC 設AB為1 AC為x 則 x/(1 – x) = 1/x x2 = 1 – x 取其中正解 x =  0.6180339887…… A B C x 1

無窮無盡 平方根 連分數 由連分數的式子看來黃金比例是最難收斂成有理數的無理數(最無理的無理數) 這兩個無窮無盡的平方根及連分數，是否會收斂到一個固定的值呢？ x = √1+ √1+ √1+…. ， x2 = 1+ √1+ √1+ √1+…. = 1 + x，正是定義黃金比例的方程式，因此 x = Φ x = 1+1/1+1/1+…. ，x – 1 = 1/x，x2 – x = 1，x2 = x + 1，又是定義黃金比例的方程式，連分數 x = Φ

巴特農神殿 給黃金比例取了Φ這個名字是為了對古希臘最偉大的雕刻家費底亞斯(Phidias,490~430B.C.)致敬 費底亞斯最令人津津樂道的作品是矗立在雅典巴特農神殿的雅典娜女神像，以及奧林匹亞神廟中的宙斯像 因為有不少藝術史家都承認，費底亞斯經常在他的雕塑作品中應用到黃金比例 1884年出版的『黃金分割』ㄧ書中作者柴興聲稱巴特農神殿建築正面的高度(屋頂三角面的頂端到基座底的高度)與支柱高度之比恰是黃金比例

『米羅的維納斯』雕像 雕像中維納斯的身高 與肚臍高度之比 接近黃金比例Φ

達文西的『維特魯威人』 圖中人物手臂伸開和 身體長度相同 伸展四肢時身體 外接一個圓 身高除以肚臍高度 正是黃金比例

五角星形 五角星形和正五邊形的關係密切 把五邊形的頂點以對角線相互連接就能得到五角星形 這些對角線又在中心形成一個小五邊形 小五邊形的對角線又形成一個更小的五角星形…… 圖中a,b,c,d,e,f之間的比都是黃金比例Φ a b c d e f 希臘人對黃金比例感興趣的原因：如果能造出一條以黃金比例分割的直線，就有了可以做出正五邊形的簡單方法 畢達哥拉斯學派首將數字抽象化，賦予某些數字特別的意義： 1是「生成元」，也代表統一 2是第一個雌性數字，也代表分裂 3是第一個雄性數字，也代表和諧，因為它結合了統一和分裂 4代表了正義和秩序 5是第一個雌性數字2和第一個雄性數字3的結合，代表愛情和婚姻 畢氏學派以五角星型作為學派弟兄之間情誼的象徵 五角星形和正五邊形之間有密切的關係，正五邊形的對角線形成五角星形，五角星形的的中心又形成正五邊形，如此過程可無境延伸下去建構出愈來愈小的正五邊形及五角星形。這正是五邊形的對角線與其邊長之間比例(即黃金比例)是無理數的最好證明：約分的過程不可能無窮進行下去

五角星形與黃金比例 正五邊形的每一個內角 = 108 下圖中ABD與DCB為相似三角形 AB/DB = CD/CB AC = CD = DB AB/AC = AC/CB = Φ 108  36  72  A B D C 108  36  72  上圖中的36-72-72三角形稱為黃金三角形，其斜邊和底之比為Φ 兩側的兩個三角形，其短邊和長底之比為1/ Φ，稱為黃金磬折形，可以被分割成更小的黃金三角形及黃金磬折形

柏拉圖立體 柏拉圖以五個立體去解釋物質的結構 柏拉圖立體分別為四面體、六面體、八面體、十二面體、二十面體 他認為：「土」對應穩定的六面體、「火」對應簡單的四面體、「空氣」對應八面體、「水」對應二十面體 而十二面體被柏拉圖指定為宇宙的整體，他曾說『十二面體被神衹用來潤飾整個穹蒼的眾星座』。這就是為什麼達利的名畫「最後的晚餐」中，餐桌上面浮著巨大的十二面體

達利的名畫：最後的晚餐 餐桌上面浮著一個由正五邊形組成的 正十二面體 柏拉圖將十二面體指定為宇宙的整體，柏拉圖說十二面體「被神衹用來潤飾整個穹蒼的眾星座」

六面體與八面體 以六面體六個面的中心當作頂點可連接成八面體，八面體的八個面中心作為頂點又可連成六面體 兩者為對偶立體，兩者的邊長比為Φ2/√5

費波納奇 1175-1250 費波納奇義大利數學家，( 1175年-1250年），他寫了著名的『算盤之書』，其中一個例子 生命已到盡頭的父親把兒子們叫來說：「你們按我定下來的方法去分配我的錢」；他對長子說：「你拿一個必展，再拿剩餘的七分之ㄧ」；對次子說：「你拿兩個必展，以及剩下的七分之ㄧ」；對三子說：「你拿三個必展，還有剩下的七分之ㄧ」。兒子們按照父親的指示做完後，發現他們分到的錢都一樣多，那麼他有多少個兒子？多少財產？ 現在在義大利比薩的街頭矗立著一尊創作於十九世紀的費波納奇雕像 1963年起費波納奇協會開始出版『費波納奇季刊』為數論領域裡廣受好評的期刊

費波納奇數列 費波納奇描述兔子的生育問題： 1.第一個月有一對剛誕生的兔子 2.第兩個月之後牠們可以生育 3.每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子 4.兔子永不死去 n個月後兔子將有多少對？ 費波納奇數列所以那麼有名，是因為我們會在許多看似無關的現象中遇到他

費波納契數列與植物分枝

費波納奇數列與黃金比例 費波納奇數列可以表示成： Fn+2 = Fn+1 + Fn 我們列出數列前16項： 1,1,2,3,5,8,13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 現在計算一下相鄰費波納奇數間的比值 1/1 = 1.000000 2/1 = 2.000000 3/2 = 1.500000 5/3 = 1.666666 8/5 = 1.600000 13/8 = 1.625000 21/13 = 1.615384 34/21 = 1.619047 55/34 = 1.617647 89/55 = 1.618181 144/89 = 1.617977 233/144 = 1.618055 377/233 = 1.618025 610/377 = 1.618037 987/610 = 1.618033 德國天文學家克卜勒於1611年發現：當n趨近於無限大時，Fn+1/Fn趨近於Φ

奇妙的數字 大多數植物的花瓣數目都屬於費波納契數列 例如：百合有3瓣、毛莨有5瓣、飛燕草有8瓣、 萬壽菊有13瓣、紫苑有21瓣、 雛菊有34、55或89瓣 大型向日葵頭上的小花排列成兩組螺線 鳳梨表面花紋也有兩組螺線

向日葵花蕊 朝向日葵頂部看去，向日葵的小花分別形成了順時針及逆時針方向的兩組生長螺線。依此方式生長可以最有效益的分享水平空間。 螺線數目的多寡由花的大小而定，最常見的是一個方向有34條螺線，另一方向有55條 1 1

數學規律源於基因或動力學？ 植物成長的數目顯現數學規律 究竟是源自於遺傳的安排還是由某種動力學的限制？ 植物學家指出： 植物枝條頂端有一塊不具特色的圓形組織稱為頂尖(apex) 頂尖周圍有一個一個微小的塊狀物稱為原基 新細胞以螺旋形式從原基生長出來 這新細胞也許會發育成葉子、也許發育成花瓣等結構

常見的螺線 阿基米德螺線 對數螺線

對數螺線 對數螺線獨特的性質包括 1.它的形狀不會隨變大而變形，有「自我相似性」 2.由極點連接曲線上任何一點畫出直線 此直線和曲線相交的角度皆相等，故它又叫做「等角螺線」 等角螺線是由笛卡兒在1683年發現的。雅各布·伯努利後來重新研究之。他發現了等角螺線的許多特性，如等角螺線經過各種適當的變換之後仍是等角螺線。他十分驚嘆和欣賞這曲線的特性，故要求死後將之刻在自己的墓碑上，並附詞「雖然變了樣，我會以同樣面目出現」(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻師誤將阿基米德螺線刻了上去。 這種螺線與對數螺線不同之處在於其相鄰旋圈之間的距離都一樣

植物成長的秘密 1993年法國數學家杜迪與庫德證明： 從原基固定以 137.5° 生成新細胞 新細胞將舊細胞逐漸往外推 從原基固定以 137.5° 生成新細胞 新細胞將舊細胞逐漸往外推 則無論生長速率多快或細胞長得多大 細胞都會形成最佳化排列

最佳化排列 原基沿著一條繞的很緊的 螺線做很稀疏的排列 這條螺線稱為「生成螺線」 生成螺線上連續兩個原基 之間的角度通常都很接近 137.5°

為何是137.5° 葉子或花蕾在生成螺線上採間隔黃金角的效益最大 可以保證蓓蕾不會沿著特定方向成直線排列，有效填滿空間 黃金角 結晶學家布拉維斯在1837年發現：新葉子以大約相同大小的角度沿圓周推進，角度大約是137.5 以黃金比例去分割圓周得到360/Φ=222.5，360-222.5 =137.5(黃金角) 黃金角 以黃金比例去分割圓周得到 360/Φ=222.5 360-222.5 =137.5(黃金角)

以數學軟體模擬最佳化排列 3D 2D 3D葉序

兩組螺線 以黃金角分隔相鄰的點 眼睛會看到兩組交錯的螺線 一組為順時針方向一組為逆時針方向 兩組螺線的數目趨向相鄰的費波納奇數

植物葉序 觀察圖中葉序，我沒會發現： 從最上面開始呈螺線旋轉 3葉轉了1圈 5葉轉了2圈 8葉轉了3圈 13葉轉了5圈 這些都是費波納奇數列相隔 兩項的值 植物的葉子沿樹枝生長，傾向朝曝曬到最多陽光、淋到最多雨水、呼吸到最多空氣的方向生長 葉子的生長行徑，稱為葉序(葉子的排列) 十五世紀達文西注意到葉序呈螺線排列，對應一個2/5轉的角度 第一個以直覺發現葉序與費波納奇數列之間關係的是克卜勒

植物葉序

植物葉序 一片一片剝下萵苣 的葉子 看看他與費波納契 數列的關係

螺旋星系 對數螺線的另一名稱為等角螺線 遊隼就是透過這樣的飛行路徑讓它可以持續鎖定獵物，不須把頭歪向一邊，又可以保持高速俯衝

葛根漢美術館

達文西「維特魯威人」

黃金矩形與對數螺線

黃金比例與藝術 蒙特里安畫作 達文西畫作中頭像

黃金矩形 許多作家宣稱在所有的矩形中黃金矩形最具有美感 心理學家費區那曾在1860年代展開第一批矩形實驗，得到有76%選擇具有1.75,1.62,1.5長寬比的矩形，其中又以1.62的居多 1974年心理學家高奎奇就黃金矩形是最受人喜歡的矩形這一點提出質疑