代数学 数学起源与早期发展

数学起源与早期发展 1.1 数与形概念的产生 数的概念的形成大约是在30万年以前 记数是伴随着计数的发展而发展的 ● 手指记数 1.1 数与形概念的产生 数的概念的形成大约是在30万年以前 记数是伴随着计数的发展而发展的 ● 手指记数 亚里士多德：采用十进制是因为多数人生来具有十个手指 ● 石子记数 基普（印加） ● 结绳记数 ● 刻痕记数 幼狼胫骨（捷克） 《周易·系辞下》：上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。

大约五千年前，出现书写记数及相应的 记数系统。   几种古老文明的早期记数系统：

记数系统的出现使数与数之间的运算成为可能 ◆玛雅数字：二十进制 ◆巴比伦数字：六十进制 ◆其余数字：十进制

最初的几何知识从人们对形的直觉中萌发出来。这组照片显示了早期人类不止是对圆、三角形、正方形等一系列几何形式的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何性质的应用。 在不同地区，几何学的来源不尽相同： ● 古埃及： 土地的丈量 ● 古印度：宗教实践 ● 古代中国：天文观测

1.2 河谷文明与早期数学 兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。早期数学，就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。 1.2.1 埃及数学 埃及文明以古老的象形文字和巨大的金字塔为象征，从公元前3100年左右美尼斯统一上、下埃及建立第一王朝起，到公元前332年亚历山大大帝灭最后一个埃及（波斯）王朝（第三十一王朝）止，前后绵延三千年。 埃及象形文字产生于公元前3500年左右，约公元前2500年被简化为一种更易书写的“僧侣文”，后又发展成所谓“通俗文”。长期以来，这些神秘的文字始终是不解之谜。

1799年，拿破伦远征军的士兵在埃及古港口罗赛塔发现一块石碑，碑上刻有用三种文字----希腊文、埃及僧侣文和象形文记述的同一铭文，才使精通希腊文的学者找到了解读埃及古文字的钥匙。 古埃及人在一种用纸莎草压制成的草片上书写，这些纸草书有的幸存至今。我们关于古埃及数学的知识，主要就是依据了两部纸草书----莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。 ● 莱茵德纸草书最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱茵德(H.Rhind)购得，因名。该纸草书现存伦敦大英博物馆,见图

有时人们也称这部纸草书为阿姆士纸草书，以纪念一位叫阿姆士的人，他在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，而根据阿姆士所加的前言可知，他抄录的是一部已经流传了两个多世纪的更古老的著作，其中涉及的数学知识一部分可能得传于英霍特普(Imhotep)，此人是法老卓塞尔的御医，同时也是一位传奇式的建筑师，曾督造过这位法老的金字塔。 ●莫斯科纸草书又叫戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆。据研究，这部纸草书是出自第十二王朝一位佚名作者的手笔（约公元前1890年），也是用僧侣文写成。 这两部纸草书实际上都是各种类型的数学问题集。 △莱茵德纸草书：主体部分由48个问题组成 △莫斯科纸草书：包含了25个问题 这两部纸草书无疑是古埃及最重要的传世数学文献。

这种记数制以不同的特殊记号分别表示10的前六次幂：简单的一道竖线表示1，倒置的窗或骨（∩）表示10，一根套索表示100，一朵莲花表示1000，弯曲的手指表示10 000，一条江鳕鱼表示100 000，而跪着的人像（可能指永恒之神）则表示1 000 000.其他数目是通过这些数目的简单累积来表示的，如数12 345则被记作 100 1 000 10 000 100 000 1000 000 12345 在两部纸草书中，象形文字被简化为僧侣文数字: 28在象形文字中被表示为 ，而在僧侣文中被写成 ， 值得注意的是这里把代表较小数字的8（记二个4）的符号（=）置 于左边而不是右边。

随着青铜文化的崛起，分数概念与分数记号应运而生。 埃及象形文字用一种特殊的记号来表示单位分数（即分子为一的分数）：在整数上方画一个长椭圆； 纸草书中采用的僧侣文，则用一点来代替长椭圆号。在多位数的情形，则点号置于最右边的数码之上。 例如 象形文字 僧侣文字

单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。埃及人将所有的真分数都表示成一些单位分数的和。为了使这种分解过程做起来更为容易，莱茵德纸草书在阿姆士的前言之后给出了一张形如 2/k（k 为从5到101的奇数）的分数分解为单位分数之和的表。利用这张表，可以把例如7/29这样的分数表成单位分数之和： 埃及人最基本的算术运算是加法。乘法运算是通过逐次加倍的程序来实现的。如69×19是这样来进行的：将69加倍到138，又将这个结果加倍到276，再加倍到552，再加倍到1104(此即69的16倍)。因为19=16+2+1，所以69×19的答数应为1104+138+69=1311。在除法运算中，加倍程序被倒过来执行，除数取代了被除数的地位而被拿来逐次加倍。

纸草书中有些问题可以被归之为我们今天所说的代数学范畴，它们相当于求解形如 或 的一次方程。 埃及人称未知数为“堆”(aha,读作“何”)。如莱茵德纸草书第24题：已知“堆”与七分之一“堆”相加为19，求“堆”的值。 纸草书作者所用的解法实质是一种算术方法，即现在所谓的“假位法”： 先假设一个特殊的数作为“堆”值（多半是假值），将其代入等号左边去运算，然后比较得数与应得结果，再通过比例方法算出正确答数。 在上例中，数7作为未知数 的试验值，于是 ，而应得结果是 ，这两个结果之比为 等于 ，将7乘以 （ ）即得正确的 “堆”值为 。 19

埃及几何学是尼罗河的赠礼。古希腊历史学家希罗多德在公元5世纪曾访问考察过埃及，并在其著作《历史》一书中写道： 西索斯特里斯……在埃及居民中进行了一次土地划分。……假如河水冲毁了一个人所得的任何一部分土地，国王就会派人去调查，并通过测量来确定损失地段的确切面积。……我认为，正是由于这类活动，埃及人首先懂得了几何学，后来又把它传给了希腊人。 莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中确实包含有许多几何性质的问题，内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。现存的纸草书中可以找到正方形、矩形、等腰梯形等图形面积的正确公式，例如莱茵德纸草书中的第52题，通过将等腰梯形转化为矩形的图形变换，得出了等腰梯形面积的正确公式。 埃及人对圆面积给出了很好的近似。莱茵德纸草书第50题假设一直径为9的圆形土地，其面积等于边长为8的正方形面积。如果与现代公式相比较，就相当于取值为 。

埃及人在体积计算中达到了很高的水平，代表性例子是莫斯科纸草书中的14题。这道题给出了计算平截头方锥体积的公式，用现代符号表示相当于： 这个公式是精确的，并且具有对称的形式。 埃及数学是实用数学,但也有个别例外，例如莱茵德纸草书第79题： 7座房，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特。 有人认为这是一个数谜：7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子、猫、老鼠、麦穗和粮食各数值总和。也有将房子、猫等解释为不同幂次的名称，即房子表示一次幂，猫表示二次幂，等等。无论如何，这是一个没有任何实际意义的几何级数求和问题，带有虚构的数学游戏性质。

埃及文明在历代王朝的更迭中表现出一种静止的特性，这种静止特性也反映在埃及数学的发展中。莱茵德纸草书和莫斯科纸草书中的数学，就像祖传家宝一样世代相传，在数千年漫长的岁月中很少变化。加法运算和单位分数始终是埃及算术的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复。古埃及人的面积、体积算法对精确公式与近似公式往往不作明确区分，这又使它们的实用几何带上了粗糙的色彩。这一切都阻碍埃及数学向更高的水平发展。公元前4世纪希腊人征服埃及之后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。

1.2.2美索不达米亚数学 底格里斯河与幼发拉底河所灌溉的美索不达米亚平原，也是人类文明的发祥地之一。早在公元前四千年，苏美尔人就在这里建立起城邦国家并创造了文字。自公元前4世纪中叶阿卡德人第一次入侵建立阿卡德王国（约公元前2371-前2230），以后又有阿摩利人、加喜特人、伊兰人、赫梯人、亚述人、伽勒底人和波斯人等相继等上统治舞台。令人惊讶的是，两河流域在这种错综复杂的民族战乱中却维系着高度统一的文化，史称“美索不达米亚文明”，契形文字的使用可能是这种文化统一的粘合剂。 两河流域的居民用尖芦管在湿泥板上刻写楔形文字，然后将泥板晒干或烘干。迄今已有约50万块泥板文书出土。对楔形文字的释读比埃及文字要晚，关键的一步是在19世纪70年代迈出的，当时发现的贝希斯敦石崖，上面用三种文字（波斯文、埃及文和巴比伦文）记载着波斯王大流士一世的战功。对波斯文的知识使人们得以揭开古巴比伦文字的奥秘。

现存泥板文书中大约有300块是数学文献。它们主要分属两个相隔遥远的时期：有一大批是公元前两千纪头几个世纪（古巴比伦王国时代）的遗物，还有许多泥板文书则来自公元前一千纪的后半期（新巴比伦王国和波斯塞琉古时代），对这些泥板文书的研究揭示了一个远比古埃及人先进的美索不达米亚早期数学文化。 美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统。这种记数制对60以内的整数采用简单十进累记法，例如59记作 。对于大于59的数，则采用六十进制的位制记法。同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置而赋予不同的值，这种位值原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空。 例如 这一写法中，右边的 表示两个单位；中间的 表示基数（60）的2倍；而左边的 则表示基数（60）的平方的2倍，因此这个数字是指 ，用十进制写出来就是7322。

这种位值制是不彻底的，因为其中没有零号。这样，美索不达米亚人表示122和7202的形式是相同的，人们只能根据上、下文来消除二义性。不过在公元前3世纪的泥板文书中开始出现一个专门的记号，用来表示没有数字的空位。这记号是由两个斜置的小楔形组成。有了这个空位记号，人们就很容易将数 与 区分开来了。当然，这样的“准”零号并未能彻底消除混乱，因为在现存的泥板文书中没有发现零号置于尾端的情形。因此， 这个记号仍然可以表示形如 为整数）的无限多个数中的任何一个。美索不达米亚人从未实施过绝对的位值制。 美索不达米亚人的记数制远远胜于埃及象形数字之处，还在于他们巧妙地将位值原理推广应用到整数以外的分数。这就是 说 不仅表示 ，同时也可以表示 以及其他取相似形式的分数。因此，美索不达米亚人对分数能够跟对整数一样运算自如。

美索不达米亚人长于计算，这不只是与他们优良的记数系统有关。美索不达米亚的学者还表现出发展程序化算法的熟练技巧。他们创造了许多成熟的算法，开方根计算就是有代表性的例子之一。这种开方程序既简单又有效：设 是所求平方根，并设 是这根的首次近似；由方程 求出第二次近似 ，若 偏小，则 偏大，反之亦然。取算术平均值 为下一步近似，因为 总是偏大，再下一步近似 必偏小，取算术平均值 将得到更好的结果。这一程序实际上可以无限继续下去。耶鲁大学收藏的一块古巴比伦泥板（编号7289），其上载有 的近似值，结果准确到六十进制三位小数，用现代符号写出来是1.414 213，是相当精确的逼近。 美索不达米亚人还经常利用各种数表来进行计算，使计算更加简捷。例如，他们做除法是采用了将被除数乘以除数的倒数这一途径，倒数则通过查表而得。在现有的300多块数学泥板文书中，就有200多块是数学用表，包括乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，甚至还有指数（对数）表。

美索不达米亚数学在代数领域内达到了相当的高度。埃及代数主要是讨论线性方程，对于二次方程则只涉及到最简单的情 。而来自古巴比伦时代的一些泥板文书则表明，已能卓有成效地处理相当一般的三项二次方程。 例如，耶鲁大学收藏的一块泥板文书中有这样的问题： 已知依几布姆(igibum)比依古姆(igum)大7。问依几布姆和依古姆各为多少？ 这里igibum和igum是古巴比伦数学文献中表示互为倒数的两个数的专有术语，在十进制中则相当于乘积为六十之幂的两个数。若以x表示igibum，y表示igum，则该题相当于求解方程组 这又相当于先求解一个一元二次方程： 题中给出的算法相当于:

也就是今天熟知的二次方程 的求根公式： 由于正系数二次方程没有正根，因此在古代与中世纪，甚至在近代早期，二次方程一直是被分成以下三类（其中 ）： 来研究。所有这三类方程在古巴比伦泥板文书中都可以找到，并都给出了正确的解算程序。 古埃及人没有留下解三次方程的纪录，美索不达米亚泥板文书中却不乏三次方程的例子。像 这样的纯三次方程，主要是通过查立方表或立方根表来求解。形如 的混合三次方程也是籍现成的表来求解。巴比伦人编有专门的 的数值表（其中 为整数）。

美索不达米亚几何也是与测量等实际问题相联系的数值计算。美索不达米亚学者以掌握三角形、梯形等平面图形和棱柱、平截头方锥等一些立体图形体积的公式。他们还知道并利用图形的相似性概念。 在美索不达米亚河谷地区，圆面积通常被取作半径平方的三倍，也就是说取圆周率 为3，其精确度自然在埃及人之下。但也有学者采用 作为 的近似值，与埃及人至少是旗鼓相当。 有一些泥板文书上的数学问题说明美索不达米亚数学除了实用的动机外，有时也表现出理论兴趣。这方面最典型的例子是一块叫“普林顿322”的泥板文书。该泥板文书最初来源不明因曾被一位叫普林顿(G.A.Plimpton)的人收藏而得名（322是普林顿的收藏编号），现存美国哥伦比亚大学图书馆,如图

其年代当在公元前1600年以前

普林顿322实际上是一张表格，由4列15行六十进制数字组成：

1945年，美籍德国学者诺依格包尔首先揭示了普林顿322的数论意义。 根据诺依格包尔等人的研究，普林顿322数表与所谓“整勾股数”有关。满足关系式 的一组整数 叫整勾股数，西方文献中也成“毕达哥拉斯数”。 计算表明：普林顿322数表第Ⅱ、Ⅲ列的相应数字，恰好构成了毕达哥拉斯三角形中的斜边 与直角边 。如第一行 ，在十进制下， 易见 只有四处例外，即第2，9，14，15行。诺依格包尔将它们解释为某种笔误，并将表中相应行中带*的数字(3,12,1)、(9,1)、(7,12,1)和53分别修正为(1,20,25)、(8,1)、(2,41)和(1,46)。 至于第Ⅳ列数字（以下记作 ），诺依格包尔在恰当补出空缺数字后发现有如下关系： 即 相当于边 所对应的正割平方。进一步计算还表明：第Ⅳ数字实际上给出了一张从至的正割三角函数表 。

普林顿322是古代巴比伦最异彩夺目却又相对孤立的一块数学泥板文书。对它的解释带有推测的成分并存在争议。对美索不达米亚数学的理论水平不易过分渲染。总的来说，古代美索不达米亚数学与埃及数学一样主要是解决各类具体问题的实用知识，处于原始算法积累时期。几何学作为一门独立的学问甚至还不存在。埃及纸草书和巴比伦泥板文书中汇集的各种几何图形面积、体积的计算法则，本质上属于算术的应用。当然，古代实用算法积累到一定阶段，对他们进行系统整理与理论概括必然形成趋势，但这一任务并不是由早期河谷文明本身来担当的。 向理论数学的过渡，是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，那里一个崭新的、更加开放的文明—历史学家常称“海洋文明”，带来了初等数学的第一个黄金时代—以论证几何为主的希腊数学时代。