《 University Physics 》 Revised Edition 普通物理 (上冊) 《 University Physics 》 Revised Edition 歐亞書局

第 9 章 線動量 9.1 線動量 9.2 線動量守恆 9.3 一維彈性碰撞 9.4 衝量 9.5 線動量與動能的比較 9.6 二維彈性碰撞 第 9 章 線動量　 9.1 線動量 9.2 線動量守恆 9.3 一維彈性碰撞 9.4 衝量 9.5 線動量與動能的比較 9.6 二維彈性碰撞 9.7 火箭推進力 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.207

9.1 線動量 笛卡兒（Rene‘ Descartes，圖 9.1）認為：一個物體由於受到別的物體的衝擊，其自身必須承受一些速度上的改變；而且，這種改變並不是任意的。 笛卡兒是一位「機械論」哲學家，他相信上帝所創造的這個世界就像是一完美而永不改變的時間機構，此機構本身蘊涵著固定量的「物質」和「運動」。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.208

圖9.1 笛卡兒（Ren'e Descartes，1596-1650）。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P. 208

現在有兩個黏性油灰球質量皆為 m，速率皆為u，但其運動方向正好相反。若這兩個球發生碰撞，則初運動量即為 2mu。 就細部來說，例如兩質點間的相互碰撞，個別質點的速率雖會有所改變，但是總的「運動量」卻是維持不變的。這個「運動量」笛卡兒將之定義為質量乘上速率。 現在有兩個黏性油灰球質量皆為 m，速率皆為u，但其運動方向正好相反。若這兩個球發生碰撞，則初運動量即為 2mu。 碰撞後兩球相連結而靜止，故運動量為零。顯然這種定義下的運動量本身並不守恆。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.208

質量 m 乘上其速度 v 這個乘積，就叫做該質點的線動量（linear momentum）： 1668 年，人們很快地便了解到：若將運動量的定義由純量「質量 × 速率」重新定義成向量「質量 × 速度」，則對於上文所說的兩個油灰球碰撞的情況中，這個新定義的運動量在碰撞前後的淨值就都會等於零。 質量 m 乘上其速度 v 這個乘積，就叫做該質點的線動量（linear momentum）： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.208

到了1669 年，John Wallis 說：其實當兩個獨立的物體相互碰撞並結合起來時，其線動量的總和是守恆的。因而，若令 p1 和 p2 分別為這兩個物體的動量，則 另外，海更斯（Christiaan Huygens）以及Christopher Wren 兩人各自獨立地作出這樣的結論： mυ2（動能的兩倍）這個量在硬球（hard balls）碰撞的前後為守恆。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.209

於是，牛頓這些由實驗推演出來的守恆律便取代了笛卡兒的形上觀念；並且，他還由 9.2 式的結果，得出第二定律跟第三定律。 稍後，牛頓對各種物質間的碰撞細心地進行了許多實驗，結果發現 mv 這個向量總是會守恆，而純量 mυ2 則只在像硬球間的碰撞這種較特殊的情況下才會守恆。 於是，牛頓這些由實驗推演出來的守恆律便取代了笛卡兒的形上觀念；並且，他還由 9.2 式的結果，得出第二定律跟第三定律。 牛頓的第二定律，用他自己的話來說，他認為：作用在質點上的「動力（motive force）」會等於動量的改變量Δp。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.209

1752 年，數學家尤拉（L. Euler）修正了牛頓的定義，併入「時間」這個明顯的因素。故現在我們都將牛頓第二定律敘述為： 作用在質點上的淨力等於線動量對時間的變化 率。 若物體質量不變，則 F ＝ d（mv）/dt ＝ mdv/dt ＝ ma。故 9.3 式與 5.2 式一致。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.209

9.2 式中，動量變化由作用在每一物體上的力所引起。以 F12 代表物體二作用在物體一上的力，並運用第二定律Δp ＝ FΔt，即可看出： 由9.2 式，我們可說：對任何Δt 而言，Δ（p1＋p2）＝ 0。 因此（F12＋F21）Δt ＝ 0，或即 F12＝－F21，此乃第三定律！ 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.209

9.2 線動量守恆 圖 9.2 表兩質點（質量 m1、m2）間之碰撞，它們的初速度分別為 u1、u2 而末速度為 v1、v2。 9.2 線動量守恆 圖 9.2 表兩質點（質量 m1、m2）間之碰撞，它們的初速度分別為 u1、u2 而末速度為 v1、v2。 當它們開始互相作用時，它們之間可能真的有身體上的碰觸，也可能只是互相排斥而已。它們的初速度及末速度遵守線動量守恆原理： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.210

因為此式為一向量方程式，故每一方向上的分量亦須各自守恆： 為使線動量守恆能適用，須無淨外力作用在這個系統上。我們且設作用在 m1、m2 上的外力分別 為 F1e 及 F2e。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.210

由 9.3 式，得（F1e ＋ F2e）＝ dp1/dt（對 m1 而 言）、及（F2e ＋ F1e）＝ dp2/dt（對 m2 而言）。兩式相加，並應用牛頓第三定律 F12＋F21 ＝ 0 得： 這項結果可擴展至「任意質點數」之系統。因系統中的內力必成對地相互抵消，故牛頓第二定律便成為： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.210

不妨再提一點：若只 x、z 兩方向有淨外力作用，而 y 方向沒有，則線動量在 y 方向的分量仍為守恆。 式中 FEXT ＝ ΣFie 表作用在系統上的淨外力，而P ＝ΣPi 表系統內諸質點的線動量和 。由 9.6 式，我們可對線動量守恆的適用情況作此推論： 若作用在系統上的淨外力為 0，則總線動量會 守恆。 不妨再提一點：若只 x、z 兩方向有淨外力作用，而 y 方向沒有，則線動量在 y 方向的分量仍為守恆。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.210

碰撞的類型（Types of Collision） 「碰撞」一詞，通常意指兩物體間所進行的一種簡捷而有力的交互作用。碰撞的期間（duration），必須短得讓我們只願去討論碰撞前跟碰撞後的情況。 碰撞可分彈性（elastic）和非彈性（inelastic）。而對這兩種情況，線動量均為守恆。完全彈性碰撞的定義是：碰撞期間，所有質點的總動能不變： （彈性碰撞） 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.211

在彈性碰撞期間，動能有時會先全部或部分轉化成位能，然後才又回復成動能。 「非彈性」碰撞時，各質點的總動能則會有所改變：有些動能會轉化成位能而不會立即回復，並使系統內部結構或狀態產生變化。 有些動能會被用來提昇系統（如：原子）的能階狀態；有些動能則轉變成與原子或分子振動有關之熱能，或轉變成光、聲音，或者其他的能量形式等。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.211

完全非彈性碰撞時，進行碰撞的兩個物體會互相連結或黏合。另外超彈性碰撞（superelastic collision）這個字眼，它指的是一種可能性，即：碰撞後，系統總動能增加。這可能發生在壓縮彈簧或爆炸性物質被觸發後而釋出能量的情況下。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.211

解題指引：線動量守恆 (a) 先知道事件前後所有有關的速度（包括它們 的方向）。(b) 建立座標系。 3. 各分量的符號須與你在你所建立的座標系中確定下來的速度方向相配合。將未知的速度表為類似 v ＝ υxi ＋ υyj 的形式，則從你所解出的解裡，可以看出 υx 及υy 的符號為何。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.211

例題 9.1 一輛質量 2000kg 之凱迪拉克轎車以 10m/s 向東之速度撞上另一輛 1000kg，速度 26m/s 向西之Honda Prelude。設碰撞為完全非彈性，且發生在無摩擦之路面上。(a) 求碰撞後之共同速度；(b) 動能損失百分比是多少？ 解 (a) 圖形及座標軸繪如圖 9.3，以標號「1」代表凱迪拉克。設末速度為 V，方向在＋x 方向上，亦即V＝ ＋Vi。守恆律之向量及分量之方程式各為： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.213

由各已知值，求得 V ＝ －2 m/s，意即 V＝ －2i m/s。 例題 9.1 (續) 由各已知值，求得 V ＝ －2 m/s，意即 V＝ －2i m/s。 (b) 初動能及末動能分別是： 故動能變化之百分比為： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.213

例題 9.1 (圖 9.3) 圖9.3 完全非彈性碰撞，將未知之末速度 V 設為在＋x 方向上。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.213

例題 9.2 (續) 圖 9.4，得： 由給定位值我們可求出 故 v2 ＝ 2.89 i m/s。 (b) 以線動量來表出動能較為方便。因 p ＝ mυ，K ＝ ½mυ2，故 K ＝ p2/2m。因 p1＝ m1υ1，p2 ＝ m2υ2 且p1 ＝ p2，故動能比為： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.213

例題 9.2 一 3.24 kg 之步槍初為靜止，射出一 11.7 g 之子彈，子彈在槍口時的速率為 800m/s。(a) 求步槍反彈（後座）速度；(b) 子彈對步槍動能比為何？ 解 (a) 子彈初發射時所受的步槍之推進力，乃是遵守線動量守恆的結果。嚴格說來，步槍跟子彈並非真的是孤立的，因為步槍槍托是抵在人的肩上的，而持槍的人可以被看作是固定在地面上。 然而，我們仍可設想當槍是被輕握著且不抵緊肩窩的情況（這當然很危險）。系統初動量為零，故由 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.213

例題 9.2 (續) 這是個有趣的結果。它表示，即使兩物體的動量大小相等，動能卻是反比於其質量：K∞1/m。故在本例中，K2 / K1＝（11.7 × 10－3kg）/（3.24 kg）＝3.8 × 10－3。步槍動能僅為子彈動能之 0.38％。 例題 9.2 已涵蓋了火箭推進的基本物理問題。火箭就像是一挺連續快速發射子彈的機槍一樣，「子彈」即是向後高速排出的氣體分子。故火箭問題，是受線動量守恆原理支配的。 火箭與氣體分子間的內力，並無法改變火箭–氣體這個系統的總動量。然而，由牛頓第三定律可知，當火箭向後排出氣體時，它們之間的交互作用將會使火箭向前推進。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.214

例題 9.2 (圖 9.4) 圖9.4 步槍靜止時發射出一發子彈，其後座之動量應與子彈的動量大小相等、方向相反。 P.214 圖9.4 步槍靜止時發射出一發子彈，其後座之動量應與子彈的動量大小相等、方向相反。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.214

例題 9.3 一球質量 m1＝3 kg 初速度 10 m/s、向東偏南20°。另一球質量 m2 ＝ 5 kg 速度 5m/s、向北偏西40°。此二球相互碰撞後黏在一起，求碰撞後之共同速度。 解 圖形及座標軸繪如圖9.5。此類問題最常犯的錯誤在於將動量視為一純量來處理。在此二維情況下，有兩個分量方程式： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.214

例題 9.3 (續) 將所有已知的值代入，得 V ＝1.52i ＋ 1.11j m/s。須注意到：我們把未知速度 V 的分量表為（Vx , Vy），而不是（V cosθ ,Vsinθ）。這樣做會使各分量方程式的未知數數目由二簡併為一，省卻了許多麻煩。V 跟θ的大小則可以從直角座標分量直接看出。（這種技巧在遇到彈性碰撞的問題時就沒這麼好用了！） 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.214

例題 9.3 (圖 9.5) 圖9.5 二維碰撞，動量之分量亦皆守恆。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.214

圖9.6 (a) Robert H. Goddard（1882-1945）及他的第一枚火箭。(b) 引發真空瓶中手槍裡的空包彈，Goddard 說明了：火箭在太空中可以照常運行。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.215

例題 9.4 一輛向東行駛的 Chevrolet m1 ＝950 kg，撞上另一輛向北行駛的Ford m2 ＝1350 kg，如圖 9.7。兩輛車雖然都剎車了，但還是因繼續滑行而相撞，並聯結在一起。相撞以後，車子在路面上拖出一道長 6 m 的剎車痕，方向是東偏北 37°，如果動摩擦係數為 0.6，則：兩輛車是否都超過速限 15 m/s 呢？ 解 我們須由所給的資料求車子碰撞前的速率。首先，由胎痕及動摩擦係數求碰撞後之共同速度。由牛頓第二定律知 f k＝ma 其中 f k＝μk N。故： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.216

υ0 表胎痕這個方向上之初速度，d 表胎痕長度。式子裡的負號是必需的，因 (i) υ0 和 a 的方向相反。由此推得： 例題 9.4 (續) 則 a＝μkg。由 υ2＝ υ2 ＋ 2aΔx，得： υ0 表胎痕這個方向上之初速度，d 表胎痕長度。式子裡的負號是必需的，因 (i) υ0 和 a 的方向相反。由此推得： 此即碰撞後之共同速度。 其次，須應用線動量守恆原理。此即假設在碰撞過程中，車子之間的內力比來自於路面摩擦的外力大很多。向量及其分量方程式可寫為： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.216

例題 9.4 (續) 由 (i)、(ii)、(iii) 得 u1 ＝16.4 m/s，u2 ＝ 8.7m/s。顯然，Chevrolet 這輛車超速了，故可推斷車子的速率可能比上面計算的結果還快些！： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.216

例題 9.4 (圖 9.7) 圖9.7 兩輛車間之完全非彈性碰撞。設兩輛車之間相互作用的力比來自於路面的作用力大很多，此時，可運用線動量守恆原理。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.216

例題 9.5 1742 年，Benjamin Robins 設計了一個簡單而精巧的裝置，稱為衝擊擺（ballistic pendulum），用以測量子彈的速度。設有一質量 m ＝ 10 g 的子彈，其速率為 u，射入一木塊（M ＝ 2 kg），如圖 9.8 所示。子彈射入後嵌在木塊裡面，並將之舉高 H＝ 5 cm。(a) 如何由 H 求 u？(b) 產生了多少熱能？ 解 (a) 設若碰撞所發生的時間很短，則基本上當子彈停止以後，懸線仍應是垂直的。故可說水平方向上並無外力存在，對此方向運用線動量守恆原理： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.217

例題 9.5 (續) V 表碰撞後之共同速度。因碰撞為完全非彈性的，子彈的初動能（½mu2）的一部分轉化為熱能，只有子彈─木塊這個系統（碰撞後）的動能可被用來將系統本身舉起。由力學能守恆，得： 故 V＝ (2gH)1/2。將此式代入 (i)，得 由各已知值，求得 u ≈ 200 m/s。 (b) 碰撞前後之動能各為： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.217

碰撞結果使動能改變了－199J。故可說幾乎子彈所有的動能都轉化為熱能。 例題 9.5 (續) 碰撞結果使動能改變了－199J。故可說幾乎子彈所有的動能都轉化為熱能。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.217

例題 9.5 (圖 9.8) 圖9.8 衝擊擺。木塊被子彈舉起的高度可被用來求出子彈的速率。這中間須運用到兩個守恆律。 P.217 圖9.8 衝擊擺。木塊被子彈舉起的高度可被用來求出子彈的速率。這中間須運用到兩個守恆律。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.217

9.3 一維彈性碰撞 圖 9.9 畫出了兩個球間的一維彈性碰撞，為便於分析起見，所有的速度都畫為同一方向。u 跟 υ 這兩個量代表的是速度的大小，亦即：u ＝ ui，v ＝ υi。 當然，為使碰撞確實可以發生，我們應設 u1 ＞ u2，或 u2 ＜ 0。線動量之 x 分量以及動能均守恆，故重寫 9.4 式及 9.7 式為： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.217

利用恆等式 a2 － b2 ＝ (a － b)(a ＋ b) 將 9.9a 式改為： 9.9b 式除以 9.8 式，得 (u1 ＋ υ1) ＝ (u2 ＋ υ2)，此即 （彈性碰撞） 質點間進行一維彈性碰撞後，相對速度的大小 會維持不變，但方向會相反。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.218

圖9.9 一維彈性碰撞。為簡化分析計，所有的速度均畫為同一方向。 圖9.9 一維彈性碰撞。為簡化分析計，所有的速度均畫為同一方向。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.218

例題 9.6 一物塊 m1 ＝ 2 kg 初速 u1 ＝ 4i m/s 與另一物塊m2 ＝ 3 kg 初速 u2 ＝ 2i m/s 兩者進行一維彈性碰撞。求兩物之末速度。 解 初動量之 x 分量為 (2 kg × 4 m/s) ＋ (3 kg × 2 m/s) ＝ 14 kg‧m/s，因線動量之 x 分量亦為守恆，故 m2 相對於 m1 之初速為： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.218

將 (ii) 中之 υ2 ＝ υ1 ＋2 代入(i)，求得 υ1 ＝ 1.6 m/s 而 υ2 ＝ 3.6 m/s。 例題 9.6 (續) 由 9.10 式知： 將 (ii) 中之 υ2 ＝ υ1 ＋2 代入(i)，求得 υ1 ＝ 1.6 m/s 而 υ2 ＝ 3.6 m/s。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.218

碰撞問題中的兩個特例：第一，兩個質點等質量；第二，兩個質點的其中一個，例如 m2，初始時為靜止。 （i）兩質點等質量： m1 ＝ m2 ＝ m 9.4 式變成 u1 ＋ u2 ＝ υ1 ＋ υ2 ，由 9.10 式可知 u1 － u2 ＝ －υ1 ＋ υ2 。很容易即可解出： 如圖 9.10a 所示，兩個速度互相交換了！舉例來說，若 m2 初為靜止（u2 ＝ 0），則 υ1 ＝0 且 υ2 ＝ u1 ，亦即 m1 會停止下來，而 m2 會以 m1 的初速度離去。這種情況在撞球檯上很常見。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.219

（ii）質量不相等， m1 ≠ m2 。 m2 靜止： u2 ＝ 0 9.4 式變成 m1 u1 ＝ m1 υ1 ＋ m2 υ2 ，而 9.10 式為 u1 ＝－υ1 ＋ υ2 。 我們可利用這兩個式子，將末速度均以 u1 來表出（參見下文中之練習題 5）： (a) 當 m1 >> m2 時， m2 相對於 m1 而言可被忽略，故υ1 ≈ u1而υ2 ≈ 2u1 ，此意謂著： m1 會大 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.219

約保持其初速，並將此速度的兩倍輸與 m2 （參見圖 9.10b）。常見的例子像：揮（高爾夫球）桿擊高爾夫球即是。 (b) 當 m1 << m2 時， m1 相對於 m2 而言可被忽略。故 υ1 ≈ － u1 而 υ2 ≈ 0 亦即： m1 以相同的速率被彈回來，而 m2 看起來仍像是不動，如圖 9.10c。乒乓球對保齡球的衝撞即屬這種情況。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.219

圖9.10 一維彈性碰撞的特例。(a) 兩質點等質量，則速度相交換；(b) m1 >> m2 而 u2 ＝ 0，則 m2 的末速度約為 m1 的兩倍；(c) m1 << m2 而 u2 ＝ 0， m1 以原速彈回。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.219

例題 9.7 一質點質量 m1，與另一質量 m2 且靜止的質點發生一維彈性碰撞，則有多大比例的初動能傳遞給了 m2？ 解 m1 的初動能及末動能各為 Kli＝ ½2m1 u2 及 Klf ＝ m1υ2。因 u2 ＝ 0 故可由 9.11 式求出 m1 所保存下來的初動能比例 f1： 當 m1＝ m2 時，可立即看出Klf ＝ 0，意即 m1 的初動能全部傳給了m2。 1 1 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.220

示：要使那些質量與中子相近的質點較有效地參與反應，必須想辦法讓它們的速度慢下來。 例題 9.7 (續) 動能轉移的極大值發生在質點等質量時，這個結果在核反應爐的控制上有很重要的應用。在 235U 產生核分裂以後，中子以 107m/s 的速率射出。而實際上，慢中子（103 m/s）較易被捕捉以激發其他原子核產生分裂，造成鏈反應。故上面的討論顯 示：要使那些質量與中子相近的質點較有效地參與反應，必須想辦法讓它們的速度慢下來。 最理想的「減速劑（moderator）」便是水了，因它可供應大量的質子。不幸，中子和質子很容易結合變成氘（deuteron）：n ＋ p → D。因而許多反應爐乃改用「重水（heavy water；D2O）」，中子 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.220

例題 9.7 (續) 可在此有效地減速而不致被捕捉。另一種常用的減速劑是碳。石墨棒雖不像重水那樣有效，但它有個好處，便是可在較高的溫度下操作，而仍能維持很低的中子捕獲率。當然任何一種減速劑的有效性都不能達到上面的式子的要求，因為不是所有的碰撞都是一維的。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.220

9.4 衝量 一個質點所承受的衝量（impulse；I）定義為「該質點的線動量變化」： （衝量） 9.4 衝量 一個質點所承受的衝量（impulse；I）定義為「該質點的線動量變化」： （衝量） 衝量是一種向量，它的單位跟線動量一樣（kg‧m/s），而它的方向則與線動量變化的方向一致。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.220

利用牛頓第二定律 F＝ dp/dt。我們可寫出衝量跟（作用在質點上的）力的關係：因Δp ＝∫dp ＝∫F dt，故 此式對任何時間間隔 Δt ＝ tf － ti 均為有效，但通常只被用在所謂衝力的情況下。 這種力開始於某一特定的時間點 ti 時，以一種未知的方式增加，並在另一時間 tf 時突然停止。此種變化大略如圖 9.11 所示，而實際上可能不止一個峰點。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.221

圖9.11 圖中所繪出的 F-t 曲線下的面積，則表質點所受的衝力大小。平均力的大小則定為使矩形面積與曲線下之面積相等時之 Fav。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.221

衝力的作用時間很短，因而比起別種作用力來要大很多。 當網球被拍擊中之時（參見圖 9.12），重力跟空氣阻力在這當下的作用並不明顯，球之所以會有動量上的變化主要地還是因受到來自於球拍的衝力所致。 因此，雖說 9.14 式中的 F 指的應是作用在球上的淨力，我們卻儘須只考慮球拍的作用力就夠了。有時，我們稱此為「衝量近似」。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.221

圖9.12 網球受到來自於球拍的衝力。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.221

在圖 9.11 中，我們可將衝量解釋為曲線下的面積。為方便起見，定義作用在質點上的平均力為：（參考9.3 式） 這個式子其實只是牛頓定律的變形而已。撇去力的變化不談，我們改用一個在Δt 內大小固定的力來代替，並使得矩形下的面積保持不變，見圖9.11。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.221

圖9.13 則說明了另一點：一個已知的動量變化Δp 可能由一較大的力作用一段短時間所引起，也可能由一較小的力作用一段較長的時間引起。 如果你想讓某物停下來，比如說一個球向你飛來，最好是使你的作用時間越長越好。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.221

圖9.13 由一較大的力作用一段短時間所引起的衝量，可由一較小的力作用一段較長的時間來取代。 圖9.13 由一較大的力作用一段短時間所引起的衝量，可由一較小的力作用一段較長的時間來取代。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.221

例題 9.8 一棒球重 150kg，以 30m/s 的速率進入本壘，被球棒打中後以 40m/s 的速率反向飛出。若球與球棒接觸時間為10－2秒，求作用在球上的平均力。 解 設球一開始的方向為 ＋x，則： 平均力為 須注意到的是：此力遠比球的重量（1.5N）大。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.222

9.5 線動量與動能的比較 線動量跟動能兩者皆是質量和速度的函數，兩者（線動量跟動能）間的不同之處： 9.5 線動量與動能的比較 線動量跟動能兩者皆是質量和速度的函數，兩者（線動量跟動能）間的不同之處： (i) mv 跟 mυ2 這兩個量都是十七世末研究碰撞問 題時才開始因為是守恆量而引人注目。 (ii) 動量是一向量，而動能則是純量。 (iii) 線動量跟動能皆與「要改變質點的速度所需作 的努力」有關。動量變化的大小，乃指作用在 物體上的衝量，Δ p ＝ FΔt；而動能的變化， 則為作用在物體上的功，ΔK＝FΔx。我們可 推論： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.222

力，即是動量對時間的改變率；或即動能對􀒜􀽉的改變率。如果該力的大小並非常數，則由這兩個式子所得到的「平均力」將會有所不同，一個是對時間的平均力，另一個則是對空間的平均力。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.222

9.6 二維彈性碰撞 考慮在原子核物理或高能物理裡常碰到的一種情況：一個質點初為靜止（u2 ＝ 0）的情況（見圖9.14）。 9.6 二維彈性碰撞 考慮在原子核物理或高能物理裡常碰到的一種情況：一個質點初為靜止（u2 ＝ 0）的情況（見圖9.14）。 我們須同時在兩個方向上運用線動量守恆。碰撞後，兩質點分別以與 u1 夾θ1、θ2 角的方向離去。 由線動量的各分量守恆及動能守恆，得： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.223

三個方程式中，有四個未知數：υ1、υ2、θ1 及θ2。通常，θ1 或θ2 會有一個先給定。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.223

圖9.14 m2 初為靜止之二維彈性碰撞。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.223

例題 9.9 一質子速度 u1＝ 5 km/s 與另一初為靜止之質子作彈性碰撞。設θ1＝ 37°，求 υ1、υ2、及θ2。 解 圖形及座標軸均如圖 9.14。將已知值代入上文中之式子裡： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.224

消去三角項：υ2 cosθ2 ＝ 5 － 0.8 υ1 而 υ2 sinθ2＝ 0.6 υ1 。兩式平方相加，得： 例題 9.9 (續) 消去三角項：υ2 cosθ2 ＝ 5 － 0.8 υ1 而 υ2 sinθ2＝ 0.6 υ1 。兩式平方相加，得： 由 (iii)、(iv) 得 υ1＝ 4 m/s 而 υ2 ＝ 3 m/s，θ2 ＝ 53°。因θ1＋θ2＝ 90°這表示兩個末速度互相垂直，圖 9.15 顯示兩相同質量的質點碰撞的情形。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.224

例題 9.9 (圖 9.15) 圖9.15 兩等質量質點間之碰撞，其中一質點初為靜止。兩個末速度相互垂直。(a) 兩個硬塑膠球間之碰撞；(b) 兩原子核之碰撞。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.224

9.7 火箭推進力 在處理這類跟火箭有關的問題時，所給定的排氣速率通常指的是相對於火箭的速率；亦即：vex＝vGR。 9.7 火箭推進力 在處理這類跟火箭有關的問題時，所給定的排氣速率通常指的是相對於火箭的速率；亦即：vex＝vGR。 若說火箭相對於地球之速度為 vRE 則氣體相對於地球之速度即為 vGE ＝ vGR＋ vRE。 若有一火箭質量 M 攜有質量 Δm 之燃料。它們的共同速度相對於某一慣性系為 v，如圖 9.16a。當火箭引擎發動後，廢氣向後以 vex ＝ －υex i 的速度相對於火箭而排出。這是固定的量，其大小決定於引擎的設計及燃料的種類。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.224

若 Δυ 及 Δm 相較於 υ 及 M 而言都太小，則其乘積 ΔυΔm 比起其他的項來可被忽略，故只剩下： 若此時火箭速度變成 v ＋Δv（相對於已指定的慣性系），則廢氣相對於此慣性系的速度即是 vgas＝ vex ＋ v ＝Δv ＝（－υex ＋υ＋Δυ）i，如圖9.16b 所示。線動量守恆律的分量式變成： 消去兩相等的項，得： 若 Δυ 及 Δm 相較於 υ 及 M 而言都太小，則其乘積 ΔυΔm 比起其他的項來可被忽略，故只剩下： 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.225

接著，因排氣質量之增加意味著火箭系統本身質量之減少，故Δm ＝－ΔM。取極限ΔM→0（i）就變成 dυ ＝－ υexdM/M。兩邊積分 得： 可以看出速度變化量正比於排氣速率。又因速度變化量決定於 Mi（火箭＋燃料的質量）對 Mf（只火箭本身的質量）的比值，故燃料質量應是越大越好。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.225

當火箭快速推進時，它從（固定量的）燃料處所獲得的動能，比當它慢速度前進時所獲得的要多。 火箭速率較慢時，廢氣相對於慣性系的速率接近於 υex，故分掉了很大的一部分動能。 當火箭速率達到υex 時，廢氣相對於慣性系是靜止的，此時火箭分掉了所有的動能！ 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.225

例題 9.10 火箭質量（不含燃料）為 MR ＝ 104 kg，排氣速率 υex ＝ 103 m/s（相對於火箭）。若一開始火箭是靜止的（相對於地球），則需多少質量的燃料（MF）以使火箭能達到 υex 之速率？ 解 令υi ＝ 0 並將 υf 之足碼去掉，則 9.16 式變成： 利用指數與對數間之關係：若 ex ＝ A，則 x ＝ ln A 因而 (i) 式可變成為 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.226

例題 9.10(續) 火箭到達排氣速率時，υ＝υex；故 Mf ＝ Mie－1，或即 Mi ＝ eMf ＝ 2.718 Mf。因 Mi ＝ MR ＋ MF ，且 Mf ＝ MR ，故知 MR ＋ MF ＝2.718 MR ，亦即： 須知：上面將對數轉換成指數，這一步並不是必要的。我們這樣做只是想讓你知道一種常用的技巧而已。當燃料比上面求出之 Mf 更多時，火箭的末速會超過 υex ，此時廢氣的運動方向將會開始跟火箭的方向一致。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.226

圖9.17 海更斯（Christiaan Huygens，1629-1695） 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.226

圖9.18 海更斯在「論物體之碰撞運動」中，所舉之一例。 圖9.18 海更斯在「論物體之碰撞運動」中，所舉之一例。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.227

圖9.19 船座標系中所測出的兩球碰撞前後的速度。 圖9.19 船座標系中所測出的兩球碰撞前後的速度。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.227

圖9.20 地座標系中所測出的兩球碰撞前後的速度。 圖9.20 地座標系中所測出的兩球碰撞前後的速度。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.227

麻省理工學院的 Harold Edgerton 建議用此方法來做蘋果果醬。曝光時間：0.33 μs。 歐亞書局 第 9 章 線動量 P.227