三角形的全等性質 設計者：張嵐雄

一、主題分析 數學單元主題內容教材分析 學生學習切入點分析 學習鋪成規劃分析

數學單元主題內容教材分析 全等三角形的定義及性質 SSS作圖與SSS全等性質 SAS作圖與SAS全等性質 ASA作圖與ASA全等性質 AAS作圖與AAS全等性質 RHS全等性質 SSA性質的討論

全等三角形的定義及性質 圖形的全等：兩個圖形經過移動後疊合在一起，使兩圖形完全重合，這樣的兩個圖形稱為全等。 用相同的半徑畫兩個圓，則此兩圓全等 兩個全等圖形的形狀、大小都是相同的

全等三角形的定義及性質 全等三角形：兩個三角形，經過適當的搬動後，它們可以頂點和頂點、邊和邊、角和角處處疊合在一起，則這兩個三角形全等。

全等三角形的定義及性質 兩個三角形全等，則： (1)對應邊相等 (2)對應角相等

SSS作圖與SSS全等性質 若兩個三角形的三個邊對應相等，則這兩個三角形全等，叫做SSS全等性質。 例：

SSS作圖與SSS全等性質 已知三角形三邊，求作此三角形，叫作SSS作圖。 在GSP上使用SSS全等性質來繪製全等的三角形。

SAS作圖與SAS全等性質 若兩個三角形的兩個邊和它們的夾角對應相等，則這兩個三角形全等，叫做SAS全等性質。 例：

SAS作圖與SAS全等性質 已知三角形的兩邊及它們的夾角，求作此三角形，叫做SAS作圖。 在GSP上使用SAS全等性質來繪製全等的三角形。

ASA作圖與ASA全等性質 兩個三角形的兩個角和它的夾邊對應相等，則這兩個三角形全等，叫做ASA全等性質。 例：

ASA作圖與ASA全等性質 已知三角形的兩角及夾邊，求作此三角形，叫做ASA作圖。 在GSP上使用ASA全等性質來繪製全等的三角形。

AAS作圖與AAS全等性質 若兩個三角形有兩個角和其中一個角的對邊分別對應相等，則這兩個三角形全等，這個全等性質，用AAS全等性質來表示。 例：

AAS作圖與AAS全等性質 已知三角形的兩個角及一角的對邊，求作此三角形，叫做AAS作圖。 在GSP上使用AAS全等性質來繪製全等的三角形。

RHS作圖與RHS全等性質 若兩個直角三角形的斜邊和一股對應相等，則這兩個直角三角形全等，叫做RHS全等性質。其中：R-直角、H-斜邊、S-一股(另一邊)。 例：

RHS作圖與RHS全等性質 已知直角三角形的斜邊和一股，求作此直角三角形，叫做RHS作圖。 在GSP上使用RHS全等性質來繪製全等的直角三角形。

SSA性質的討論 若兩個三角形的兩個邊和其中一角(此角不為兩邊的夾角)對應相等，則這兩個三角形不一定全等。 利用GSP來展示為什麼SSA性質不一定全等。

學生學習切入點分析 先複習在小學透過幾何操作所得到直觀上「平面圖形全等」的意義，也就是這兩個圖形可以完全重疊。因此可以讓學生從操作中發現，當兩圖形全等時，它們的形狀一樣，大小(面積)也相等。

學生學習切入點分析 引進三角形全等的符號。不一定表示 A 和 D、B 和 E、C 和 F 是對應點，不過希望教師可以要求學生還是能依照對應關係寫好，養成良好的習慣。 引導學生思考，在兩個三角形中，有三組角、三組邊，如果要確定兩個三角形是否全等，該選擇哪些資料來作比對？是全部六組資料都要比對呢，還是只要選擇其中幾組資料出來比對即可。

學生學習切入點分析 因為要讓學生體會以最少條件得到兩個三角形全等，所以從兩個條件談起，當發現兩個條件仍不足時，此時考慮再增加一個條件，討論是否構成兩個三角形全等的充分條件。 一方面請學生熟練 SSS 作圖，另一方面可以發現每一位學生所做出來的三角形可以完全重疊，而證實三角形的 SSS 全等性質。

學生學習切入點分析 一方面請學生熟練 SAS 作圖，另一方面可以發現每一位學生所做出來的三角形可以完全重疊，而證實三角形的 SAS 全等性質。 若兩個三角形中，已知它們的兩邊和其中一邊所對的角對應相等，則無法確定這兩個三角形是否全等，即沒有 SSA 或 ASS全等性質。同樣要讓學生明白，在已知兩邊和其中一邊所對的角對應相等時，無法確定是否全等，而不是不會全等。

學生學習切入點分析 適時提醒學生，所謂 RHS 全等性質就是直角三角形的SSA 性質。 對於 AAA 非全等性質的情況，僅用一個反例加以說明，如果學生感到疑惑，老師可以簡單舉例說明，但切忌著墨太多，反而偏離了本節的主題。 一方面請學生熟練 ASA 作圖，另一方面可以發現每一位學生所做出來的三角形可以完全重疊，而證實三角形的 ASA全等性質。

學生學習切入點分析 AAS 全等性質可以經教師導引下，由學生發現AAS 全等性質是透過 ASA 全等性質轉化而來。

學生學習切入點分析 利用引導的方式，讓學生可以做簡單的推理，並藉由推理的結果去驗證：到一個角的兩邊等距離的點，必在此角的角平分線上。 利用引導的方式，讓學生可以做簡單的推理，並藉由推理的結果去驗證：若有一點到某線段兩端點距離相等，則這個點會在該線段的垂直平分線上。

學習鋪成規劃分析 1.教學節奏為： →全等與三角形全等的意義。 →三角形之SSS、SAS、RHS 尺規作圖、全等性質討論，三角形滿足SSA 性質討論。 →三角形之ASA、AAS 尺規作圖、全等性質討論，三角形滿足AAA 性質討論。 →三角形全等性質的應用。

學習鋪成規劃分析 2. 本節教學內容著重在三角形全等性質的尺規作圖、介紹和簡單應用，不涉及推理證明。 3. 全等與三角形全等的概念發展： 兩個全等的平面圖形能完全疊合，任何平面圖形都可以。 建立三角形全等的相關概念。 提出疑問：如果兩個三角形全等，則同時滿足三雙對應邊相等和三雙對應角相等時， 反過來說也成立，但是需要這麼強的條件嗎？

學習鋪成規劃分析 理解在已知兩雙對應邊相等的兩個三角形，不一定會全等，因此增加一雙對應邊或對應角相等看看是否能全等。 4. 三角形之SSS、SAS、RHS 尺規作圖、全等性質的概念發展： 理解在已知兩雙對應邊相等的兩個三角形，不一定會全等，因此增加一雙對應邊或對應角相等看看是否能全等。 增加一雙對應邊形成SSS 全等性質 能作三角形的SSS 尺規作圖→能理解三角形的SSS 全等性質。 增加一雙對應角形成SAS 全等性質 能作三角形的SAS 尺規作圖→能理解三角形的SAS 全等性質。 增加一雙對應角形成SSA 的情形 能理解滿足SSA 的情形，不一定能做出一個三角形 能理解三角形沒有SSA 或ASS 全等性質，能理解兩個直角三角形RHS 全等性質。

學習鋪成規劃分析 5. 三角形之ASA、AAS 尺規作圖、全等性質的概念發展： 理解已知兩雙對應角相等的兩個三角形不一定會全等，因此增加一雙對應角或對應邊相等看看是否能全等。 增加一雙對應角形成AAA 情形 能理解滿足AAA 的情形，不一定做出一個三角形 能理解三角形沒有AAA 全等性質。 增加一雙對應邊形成ASA 全等性質 能作三角形的ASA 尺規作圖→能理解三角形的ASA 全等性質。 增加一雙對應邊形成AAS 全等性質 利用ASA 全等性質推論出AAS 全等性質→能作三角形的ASA 尺規作圖。

二、教學網頁設計理念 利用互動網頁來增加學習的興趣 多媒體教材的使用，避免冷冰書本的疏遠感 GSP的呈現跟操作，讓學生更有參與感 線上測驗的自我評量，評估自己了解的程度

三、教學網頁教學目標 藉由動畫呈現來強固心中的全等性質 了解全等性質並能產生興趣，進而延伸 能活用全等性質解決基本幾何問題 GSP的操作與初步熟悉 以後幾何相關問題的推演能順暢進行

四、網頁設計規劃流程 學習動機引起 操作拼湊七巧板 全等概念引入

四、網頁設計規劃流程 主要教學內容呈現： 投影片播放 動手操作 GSP操作

四、網頁設計規劃流程 學習成效評估： 線上測驗使用 學習單下載

四、網頁設計規劃流程 自我挑戰延伸： 全等性質使用於證明 中垂線性質證明 角平分線性質證明

五、參考資料 翰林版國中數學課本第四冊 翰林版國中數學教師手冊第四冊 康軒版國中數學課本第四冊 康軒版國中數學教師手冊第四冊

六、其他