第五章 多元函数微分学
Introduction of Geometry in Space 预备知识 5.1 空间解析几何简介 Introduction of Geometry in Space 王翠霞
内容简介 空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几何图形联系起来，是数形结合的典范。本节简单介绍一些空间解析几何的基本知识。
一、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. z 轴(竖轴) 坐标原点Origin Ⅱ Ⅲ 坐标轴 Axis Ⅳ 坐标面Plane Ⅰ zox面 卦限(八个)octant y轴(纵轴) Ⅶ Ⅵ Ⅴ Ⅷ x轴(横轴)
在直角坐标系下 点 M 有序数组 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
坐标轴 : 坐标面 :
二、空间任意两点的距离 O
三、空间曲面及其方程 1、曲面方程的概念 2、柱面 3、二次曲面 P403
1、曲面方程的概念 引例 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程. 即 化简得 轨迹方程 一、曲面方程的概念 P403 化简得 轨迹方程
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: 定义1. (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
曲面研究的两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面方程 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面方程 (2) 已知方程时, 研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ).
解 根据题意,有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.旋转曲线和定直线依次叫着旋转曲面的母线和轴． 轴 母线
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
2、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴．
建立旋转曲面S的方程： 如图，yOz坐标面上一已知曲线C,它的方程为 C
由此得：
圆锥面方程
例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程． 双叶旋转双曲面 单叶旋转双曲面
旋转椭球面 旋转抛物面
3、柱面 定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线 . 观察柱面的形成过程: 母线 准线C
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定准线C移动的直线L
柱面举例 平面 抛物柱面
二元方程F(x,y)=0 在空间表示的曲面S是什么？
所以，二元方程在空间直角坐标系中表示柱面。 例 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴 平面 // 轴 、// 轴
4、二次曲面 三元二次方程的图形曲面称为二次曲面． 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状 了解(画)曲面的形状的一种方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状 ——截痕法。 几种特殊的二次方程的曲面：
——椭球面 1、方程 曲面与坐标面的交线： 椭圆 曲面与平面 的交线
——单叶双曲面 2、方程 曲面与坐标面的交线： 椭圆 双曲线 曲面与平面 的交线
——双叶双曲面 3、方程 曲面与坐标面的交线： 双曲线 椭圆
——抛物面 4、方程 x y z o 曲面与坐标面的交线： z x y o 抛物线 椭圆
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面） ( p , q 同号) x y z o
x y z o 曲面与坐标面的交线： 抛物线 双曲线
*6、方程 *7、方程 *8、方程 *9、方程 *10、方程 *11、方程 二次曲面只有这十一种形状。 ——（椭圆）锥面 ——（椭圆）柱面 ——（双曲）柱面 *9、方程 ——（抛物）柱面 —— 一对（相交）平面 *10、方程 *11、方程 —— 一对（平行）平面 二次曲面只有这十一种形状。
3. 双曲面 (1) 单叶双曲面
(2) 双叶双曲面
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 单叶双曲面 双叶双曲面
4. 椭圆锥面
四、空间曲线及其一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设曲线C是曲面S1与S2的交线, 而曲面的方程分别为 S1 F(x, y, z)=0, S2 G(x, y, z)=0, 则点P在曲线C上当且仅当点P的坐标满足方程组 因此, 曲线C可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程.
例1 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O, 半行为1. 解 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面, 由于它的准线是zOx面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组所表示的是上述平面与圆柱面的交线.
例2 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半行为2a的上半球面. 方程组中第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是 xOy 面上的圆 这圆的圆心在点(a 0) 半行为a 因此, 方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.
二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数: 当给定t=t1时, 就得到C上的一个点(x1, y1, z1); 随着t的变动便得曲线C上的全部点. 上述方程组叫做空间曲线的参数方程.
例3 空间一动点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度w绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数), 试建立动点轨迹的参数方程. 解 取时间t为参数. 设当t=0时, 动点位于x轴上的一点A(a, 0, 0)处. 经过时间t, 动点由A运动到M(x, y, z). 因为 x=acoswt, y=asinwt, z=vt, 所以动点轨迹的参数方程为