第七章 空间解析几何与向量代数 1、空间直角坐标系； 2、向量及其线性运算； 3、向量的坐标、数量积、向量积； 4、平面、曲面、空间曲线、空间直线 及其方程； 5、常见的二次曲面及其图形；
基本要求： 1、了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及线 段的定比分点公式； 2、理解向量概念，熟悉单位向量、向量的方向余弦及 向量的坐标表示，熟悉向量在空间有向线段上的投 影与向量的分解； 3、掌握向量的线性运算（加法、减法和向量与数的乘 法）、数量积（点乘）和向量积（叉乘）； 4、熟悉两向量间夹角及两向量平行、垂直的条件； 5、理解曲面方程概念，了解常用二次曲面的方程及其 图形；
基本要求（续） 6、了解空间曲线方程的概念，熟悉空间曲线的参数方 程及其在坐标面上的投影曲线方程； 7、熟悉平面的点法式、一般式和截距式方程，了解两 平面的夹角及平行、垂直的条件； 8、熟悉空间直线的参数式、一般式和对称式方程，熟 悉两直线的夹角和平行、垂直的条件，熟悉直线与 平面的夹角、交点和平行、垂直的条件；
第一节 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系与点的坐标 三个坐标轴的正方向符合右手系. 竖轴 定点 纵轴 横轴 空间直角坐标系
三个坐标平面将整个空间分成八个部分空间 Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限
设M是空间的一点, 过点M做平行于坐标面的三个平面, 该三个平面与坐标轴的三个截距值x,y,z就是点M的坐标. 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点
二、空间两点间的距离 过点M1 , M2 分别作平行于坐标面的平面, 形成一个 六面体.
空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为
解 设P点坐标为 所求点为
解 设P点坐标为 所求点为
三、小结 空间直角坐标系 （轴、面、卦限） （注意它与平面直角坐标系的区别） 空间两点间距离公式
思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
第二节 向量及其线性运算 一、向量的概念 | | 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 或 向量的模： 向量的大小. 或 单位向量： 第二节 向量及其线性运算 一、向量的概念 向量： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 或 向量的模： 向量的大小. 或 | | 单位向量： 模长为1的向量. 或 零向量： 模长为0的向量.
自由向量： 不考虑起点位置的向量. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量.
二、向量的加减法与数乘 [1] 加法： （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向
向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法
例1 化简 解
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 与 平行且相等, 结论得证.
[2] 向量与数的乘法
按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.
数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 两个向量的平行关系
证 必要性
充分性: ‖ 两式相减，得
例3 设u轴上的点P1和P2 , 其坐标为u1 和 u2 . 证
例3 试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形. 例3 试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点的连线构成平行四边形. E F G H 证: 只要证 结论得证.
思考题 已知平行四边形ABCD的对角线 试用 表示平行四边形四边上对应的向量.