第一节 空间解析几何的基本知识 １、空间直角坐标系 ２、几种特殊的曲面 ３、空间曲线
一、空间直角坐标系 1.建立坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手规则. 竖轴 定点 纵轴 横轴 空间直角坐标系
Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 返回
2.空间两点间的距离
2.空间两点间的距离
空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为
解 原结论成立.
. . . 3.空间平面 方程: 截距式方程: 其中:a、b、c分别被称为平面x、y、z轴上 的截距 平面 R(0,0,c) Q(0,b,0) . P(a,0,0) 其中:a、b、c分别被称为平面x、y、z轴上 的截距
4.空间曲面 曲面方程的概念
解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为
二、几种特殊的曲面 1.柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 解:在 xoy 面， 表示圆C, 在圆C上任取一点 过此点作 二、几种特殊的曲面 1.柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 解:在 xoy 面， 表示圆C, 在圆C上任取一点 过此点作 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 的坐标也满足方程 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间 表示圆柱面
定义 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线. 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.
表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面. 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
一般地,在三维空间 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1. 柱面, 母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2. 柱面, 母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3.
2、二次曲面 三元二次方程 (二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考虑其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．这种方法叫做截痕法。
1. 椭球面 (1)范围： 椭圆 (2)与坐标面的交线：
为正数) (3) 截痕: 与 的交线为： 椭圆 同样 及 的截痕 也为椭圆.
为正数) (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; (5)当a＝b＝c 时为球面.
2.椭圆抛物面 ( p , q 同号) (1)范围：仅讨论 情况 (2) 时, 曲面在 平面上方 当 时, 曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫做椭圆抛物线的顶点
( p , q 同号) (3) 截痕: 与 的交线为： 椭圆
( p , q 同号) 坐标平面 截割 (4) 截痕: 的交线为： 抛物线 抛物线 与 的交线为：
( p , q 同号) 坐标平面 截割 (5) 截痕: 的交线为： 抛物线 抛物线 与 的交线为：
( p , q 同号) 如果 (6) 方程为： 为旋转抛物面 与 的交线为： 圆 (7) 为双曲抛物面
椭圆抛物面的图形如下： z x y o x y z o
3. 双曲面 (1)单叶双曲面 椭圆. 平面 上的截痕情况: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
时, 截痕为 相交直线: 时, 截痕为 双曲线: (实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
(2) 双叶双曲面 双曲线 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 单叶双曲面 图形 双叶双曲面
4. 椭圆锥面 椭圆 ① 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到)
三、小结 空间直角坐标系 （轴、面、卦限） 空间两点间距离公式 椭球面、抛物面、双曲面 柱面的概念(母线、准线). （注意它与平面直角坐标系的区别） 空间两点间距离公式 椭球面、抛物面、双曲面 （熟知这几个常见曲面的特性） 柱面的概念(母线、准线).