4 光波衍射与变换 §4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换

主要内容 4 光波衍射与变换 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 1. 衍射光场的傅里叶分解 2. 二维傅里叶变换的基本性质 3. 夫琅禾费衍射的再讨论 4. 菲涅耳衍射的再讨论 5. 干涉与衍射的区别和联系

4 光波衍射与变换 4.5.1 衍射光场的傅里叶分解 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 基本思想： 将波前上所有源点发射的球面次波中具有相同传播方向的成分集合在一起，便构成一束平面波。各球面子波中不同传播方向的成分分别构成不同方向的平面波分量。这些不同方向的平面波分量，代表着波前上包含的不同空间频率成分。因此，任何一个复杂单色波场的波前，都可以看作是一系列具有不同振幅和传播方向的基元单色平面波的线性叠加。 E(x, y) S z 图4.5-1 光波场的傅里叶分解 图4.5-1 光波场的傅里叶分解

4 光波衍射与变换 4.5.1 衍射光场的傅里叶分解 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 数学描述： 一个任意的解析函数，可以看作是由一系列具有不同周期或频率的基元简谐函数的线性叠加。一个二维的光波场复振幅E(x, y)，也可以分解成一系列具有不同空间频率的基元简谐波场复振幅的线性叠加，即 (4.5-1) exp[i2p(ux+vy)]：沿x和y方向空间频率分别为u和v的基元简谐波的相位因子，或方向余弦为cosa=lu，cosb=lv的单色平面波相位因子。 E(u, v)：该基元平面波占整个光波场E(x, y)的权重，反映了光波场E(x, y)的空间结构特征，即光波场的空间频谱复振幅分布： (4.5-2)

4 光波衍射与变换 4.5.1 衍射光场的傅里叶分解 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 数学意义： E(u, v)：E(x, y)的傅里叶变换 (4.5-3a) E(x, y)：E(u, v)的逆傅里叶变换 (4.5-3b) E(x, y) z E(u, v) f f ' 光波场傅里叶变换的意义 结论： 透过衍射屏的光波场，实际上可看作是一系列具有不同传播方向或空间频率的单色平面波分量的线性叠加。每个平面波分量的空间取向和相对相位由其空间频率(u, v)决定，振幅由权重因子E(u, v)决定。

4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的基本性质 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 (1) 线性性质 设二维函数g(x, y)和h(x, y)均为解析函数，其各自的傅里叶变换分别为G(u, v)和H(u, v)，则对于任意常数a和b，有如下性质： (1) 线性性质 (4.5-4) 意义：两个函数线性叠加的傅里叶变换等于各个函数傅里叶变换的线性叠加。 (2) 比例性质（尺度缩放性质） (4.5-5) 意义：空间域的坐标比例放大，导致频率域坐标比例缩小。

4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的性质 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 (3) 相移性质 (4) 微积分性质 (4.5-6a) (4.5-6b) 意义：空间域的坐标平移，引起频率域的相移；空间域的相移，引起频率域的平移。 (4) 微积分性质 (4.5-7a) (4.5-7b)

4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的性质 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 (5) 能量守恒性质 (6) 卷积性质 (4.5-8) 意义：光波场在空间域的总能量等于其在频率域的总能量。 (6) 卷积性质 卷积运算的定义： (4.5-9) 卷积性质： (4.5-10a) (4.5-10b) 意义：两个函数卷（乘）积的傅里叶变换等于其各自傅里叶变换的乘（卷）积。

4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的性质 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 (7) 相关性质 互相关运算的定义： (4.5-11a) 自相关运算的定义： (4.5-11b) 相关性质： (4.5-12a) (4.5-12b) 意义：两个函数相关的傅里叶变换等于第一个函数傅里叶变换共轭与第二个函数傅里叶变换的乘积。

4 光波衍射与变换 4.5.2 二维傅里叶变换的性质 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 (8) 共轭性质 (9) 循环性质 (4.5-13a) (4.5-13b) 意义：一个函数共轭的傅里叶变换等于其傅里叶变换的共轭且频率坐标反转。 (9) 循环性质 (4.5-14a) (4.5-14b) 意义：一个函数经两次傅里叶变换后又得到函数自身，但空间坐标反转；经四次变换后还原为函数本身。

4 光波衍射与变换 4.5.3 夫琅禾费衍射的再讨论 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 考虑夫琅禾费近似下的衍射积分式，并假设衍射屏孔径的大小与波前函数的取值范围相同，即 (4.5-15) 取k=2p/l ，u=x/lz，v=y/lz，得 (4.5-16) (4.5-17)

4 光波衍射与变换 4.5.3 夫琅禾费衍射的再讨论 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 结论： ① 夫琅禾费近似下，观察平面上的衍射光场复振幅分布正比于衍射屏透射光场复振幅的傅里叶变换。由于常数因子-ieikz/lz并不影响衍射光场的强度分布特征，因此也可以说，夫琅禾费衍射过程，实际上是光学系统对透过衍射屏的光波的一次傅里叶变换过程。若以单色平面波垂直照明衍射屏，则其衍射图样的相对光强分布，实际上就是衍射屏的傅里叶变换谱。 ② 夫琅禾费衍射过程中，透过衍射屏的光波场中的不同平面波分量将被透镜会聚到像方焦平面上不同点。观察平面上衍射图样的分布，反映了衍射屏透射光场中具有不同方向平面波衍射分量的分布。不同方向的平面波代表不同的空间频率，因此，衍射图样就是衍射屏透射光波场的空间频率分布。利用夫琅禾费衍射过程，可实现对二维图像的傅里叶变换操作。能够实现夫琅禾费衍射的装置就是一个光学傅里叶变换器。

4 光波衍射与变换 4.5.3 夫琅禾费衍射的再讨论 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 ③ 横向平移衍射屏，只引起衍射光波产生一个相对相移，并不会改变其衍射图样的强度分布。这就是为什么由多缝或多孔产生的衍射图样等同于单缝或单孔衍射与多光束干涉的综合效应。利用这种平移不变性，可以测量大量随机分布的微小颗粒或细丝的平均直径，而无须知道其分布的确切状态。这一原理也可以解释在有沙尘或水汽悬浮的环境下，月亮周围的光晕现象。

4 光波衍射与变换 4.5.4 菲涅耳衍射的再讨论 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 将菲涅耳近似下的衍射积分式中的指数因子展开，利用屏函数的边界条件，并取u=x/lz，v=y/lz，得 (4.5-18) (4.5-19)

4 光波衍射与变换 4.5.4 菲涅耳衍射的再讨论 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 结论： ① 在菲涅耳近似下，除了一个常数因子-ieikz/lz和一个二次相位因子exp[ip(x2+y2)/lz]外，观察平面上的衍射光场复振幅分布，正比于衍射屏透射光场复振幅与二次相位因子exp[ip(x02+y02)/lz]乘积的傅里叶变换。与夫琅禾费衍射情况类似，变换式外的二次相位因子并不影响衍射光场的强度分布，但变换式内的二次相位因子的存在，将对衍射光场强度的分布产生重要影响。也就是说，在菲涅耳近似条件决定的区域内，衍射光场的强度分布依赖于观察平面到衍射屏的距离z，位于不同位置的观察屏将接收到不同的衍射图样。此即菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射的主要区别。 ② 当观察平面距离衍射屏相对较远时，该二次相位因子的影响可以忽略，于是过渡到夫琅禾费衍射。因此也可以说，夫琅禾费衍射仅仅是菲涅耳衍射在远场的一种特殊情况，两者在本质上是统一的。

4 光波衍射与变换 4.5.5 干涉与衍射的区别和联系 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 ① 叠加图样：同为亮暗相间的条纹，但条纹图样的强度分布存在着均匀（干涉）和相对集中（衍射）的不同。 ② 物理本质：同属光波的相干叠加问题，研究问题的关键都在相位差上，并且极大值和极小值所要求的相位差条件相同，但两者参与叠加的对象不同。干涉对应有限多束光波的叠加，衍射对应着无限多子波的叠加。 ③ 数学本质：数学处理方法不同。干涉对应着有限项求和，衍射对应着无限项积分。 ④ 理论基础：干涉问题没有离开几何光学的直线传播理论，衍射问题却与几何光学模型相矛盾。当参与叠加的各光波可以近似地用几何光学直线传播模型描述时，则叠加纯属干涉问题；若参与叠加的各光波自身的传播行为明显地不符合几何光学模型，则对每一束光波而言，均存在着衍射，同时各光波之间又存在着干涉。

4 光波衍射与变换 结 论 4.5.5 干涉与衍射的联系 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 结 论 干涉与衍射是本质上统一，但形式上、分布规律及数学处理方法上略有不同而又紧密相关的同一类物理现象。

本节重点 4 光波衍射与变换 4.5 衍射光场的分解与傅里叶变换 1. 衍射光场的分解与傅里叶变换的关系 2. 二维傅里叶变换的基本性质及物理意义 3. 从傅里叶变换角度看夫琅禾费衍射的特点 4. 从傅里叶变换角度看菲涅耳衍射的特点 5. 干涉与衍射的区别和联系