第九章 欧几里得空间 学时：18学时。 教学手段： 基本内容和教学目的： 重点和难点： 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的： 基本内容：欧几里得空间定义与基本性质；标准正交基；同构；正交变换；子空间；对称矩阵的标准形；向量到子空间的距离、最小二乘法。 教学目的： 欧几里得空间定义与基本性质。 掌握标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。 了解向量到子空间的距离、最小二乘法。 重点和难点： 重点：标准正交基、同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。 难点：同构、正交变换、子空间、对称矩阵的标准形。

9.1 欧氏空间定义及其性质

一 概念引入 物理学上力F所做之功： W=SFcosθ F 空间解析中, 矢量的数 量积一般表示：ξ,η∈V3 Fcosθ 一 概念引入 物理学上力F所做之功： W=SFcosθ F 空间解析中, 矢量的数 量积一般表示：ξ,η∈V3 Fcosθ 1) ξ,η均不为0：ξη=|ξ||η|cos<ξz,η>∈R； 2) ξ或η为0：规定ξη=0. → 由数量积最本质的属性出发，采用公理化方法在线性空间中引入内积概念，从而建立欧几里德几何的基本特征. Θ

这时，称V是欧几里德空间. 定义1 V是R上的线性空间，V上定义二元实值函数，称为 内积，是指 对任意的α,β,γ∈V，对任意的k∈R, 存在唯 一的(α,β)∈R, 使得 1) (α,β) = (β,α)； 2) (kα,β) = k(α,β) 3) (α+β,γ) = (α,γ) + (β,γ) 4) (α,α)≥0 ，并且α = 0 当且仅当 (αα) = 0 这时，称V是欧几里德空间. 公理1称为对称性，公理2，3合称为线性性，公理4称为恒正性. 对称性，线性性和恒正性正是数量积（如功）的基本属性. 在此基础上可进一步建立向量长度、夹角、距离等概念，这均为几何空间的特征，是以欧氏几何为基础的，故称为欧氏空间.

例1 Rn中，对任意的ξ= (x1, ···, xn), η= (y1,···, yn )∈Rn, 规定 (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn , 则Rn 对此构成欧式空间. 对任意的ξ,η,ζ∈Rn, k∈R, 1) (ξ,η) = x1y1 + ··· + xnyn = y1x1 + ··· + ynxn = (η,ξ). 2) (kξ,η) = kx1y1 + ··· +k xnyn = k(x1y1 + ··· + xnyn) = k (ξ,η) . 3) (ξ+η, ζ) = (x1+ y1)z1 + ··· + (xn+yn)zn = (x1z1+ ··· + xnzn ) + (y1z1 + ··· + ynzn ) = (ξ,ζ) + (η,ζ). 4) (ξ,ξ) = x12 + ··· + xn2≥0 . 而 ξ= 0 当且仅当 x1 = x2 = ··· = xn = 0 当且仅当 (ξ,ξ) = x12 + ··· + xn2 = 0. 故 Rn 关于 (ξ,η) 构成一个欧氏空间. □

例2 C(a, b) = {定义在[a, b]上的实值连续函数}关于如下规定的二元函数构成R上的欧氏空间. 对任意的f(x), g(x)∈C(a, b), 证明分析： 根据定积分的性质，易证欧氏空间定义中 4条公理成立，故C(a, b)关于（f, g）构成欧氏空间. 注： R[x], R[x]n 关于如上 定义的（f, g）也构成欧氏空间. a f(x) b

二 基本性质 5） (α, kβ) = k(α, β) (α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) . 二 基本性质 5） (α, kβ) = k(α, β) (α, kβ) = ( kβ,α) = k (β,α) = k (α,β) . 6) (α,β+γ) = (α,β) + (α,γ) (α,β+γ) = (β+γ,α) = (β,α) + (γ,α) = (α,β) + (α,γ) . 7) (0,α) = (α,0) = 0 ( 对任意的α∈V ) (0,α) = (0·0,α) = 0 (0,α) = 0 = (α,0) . 8) 对任意的β∈V，(αβ) = 0, 则α= 0 取β=α, 则 (αα) = 0, 据公理4得α= 0 . 9)

三 向量长度

四 向量夹角 为在V中引入夹角概念，先研究如下性质： 柯西: 法国数学家（1789-1857年） 其主要贡献在微积分，复变函数和 四 向量夹角 为在V中引入夹角概念，先研究如下性质： 12） (α,β)2 ≤ (αα)(ββ) ( 或 |(α,β)|≤|α||β| ) 其中等号成立当且仅当 α,β线性相关. 该不等式称为柯西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式. 柯西: 法国数学家（1789-1857年） 其主要贡献在微积分，复变函数和 微分方程方面，许多定理和公式均 以他的名字命名. 布涅柯夫斯基是俄国数学家，施 瓦茨是德国数学家，他们各自都发 现如上结论，故历史上一般称为柯 西-布涅柯夫斯基-施瓦茨不等式. 柯 西

五 向量的距离 15) ｜α+β｜≤｜α｜+｜β|（三角不等式） 证明： |α+β|2 =(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β) 五 向量的距离 15) ｜α+β｜≤｜α｜+｜β|（三角不等式） 证明： |α+β|2 =(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β) +(β,β)≤|α|2 + 2|α||β|+|β|2 =(|α|+|β|)2 → ｜α+β｜≤｜α｜+｜β|. □ 几何意义：几何空间中，两边之和大于第三边. 定义5 向量α,β的距离 d(α,β)=|α－β| 几何意义如图示. 16) α≠β,则 d(α,β)＞0. α－β 17) d(α,β)= d(β,α). β 18) d(α,γ)≤d(α,β)＋d(β,γ). α 证明： d(α,γ)=|α－γ|≤|α－β|＋|β－γ|= d(α,β)＋d(β,γ). 19）欧氏空间的子空间关于其内积也构成欧氏空间. 故可引入欧氏空间的子空间的概念.

六 度量矩阵

9.2标准正交基

一. 概念及基本性质 定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组. 一. 概念及基本性质 定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组. 单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向量组中找不到两个向量不正交）. 性质1 {α1 ,α2 , ···,αm}是正交组，则α1 ,α2 , ···,αm线性无关 . 证明： 设 k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm= 0, 用αi (i =1, ···, m)于该式两边作内积，即 (αi , k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm ) = k1(αi , α1) + ··· + ki(αi , αi) + ··· + km(αi , αm) = (αi , 0) = 0 → ki(αi , αi) = 0 → 因αi≠ 0 ，得 (αi , αi) ≠ 0，故 ki = 0 (i =1, ···, m) → α1 ,α2 , ···,αm线性无关 . □ dimV = n 时，V中两两正交的向量不会超过 n 个 (如平面上找不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量).

定义2 n维欧氏空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.

二 标准正交基的计算

该定理的证明过程给出了求标准正交基的方法：

三 正交矩阵

9.3欧氏空间同构

一. 同构概念 证明: 必要性 若V≌V/ → 作为线性空间来说，V与V/仍然同构，据线性空间理论即知dimV=dimV/ . 一. 同构概念 定义8 实数域R上的欧氏空间V与V/同构，如果存在双射σ：V→V/，满足：对任意的αβ∈V，k∈R， 1） σ(α+β) =σ(α) + σ(β)； 2） σ(kα) = kσ(α)； 3） (σ(α) ,σ(β) ) = (α,β) . 该映射σ称为V到V/的同构映射，并记为V≌V/. 由该定义可知欧氏空间V到V/的同构映射一定是线性空间V到V/的同构映射，故得如下性质： 性质1 有限维欧氏空间V≌V/当且仅当dimV=dimV/ . 证明: 必要性 若V≌V/ → 作为线性空间来说，V与V/仍然同构，据线性空间理论即知dimV=dimV/ . 充分性 设dimV=dimV/ . 当n = 0时，它们显然同构.

当n ≥0时，设α1,α2,···,αn 与β1,β2,···,βn分别为V及V/的标准正交基，则 f : α= x1α1+x2α2+ ··· +xnαn → f(α) =β= x1β1+x2β2+ ··· +xnβn 是线性空间V到V/ 的同构映射，且 取γ= y1α1+y2α2+ ··· +ynαn , 有 (α,γ) = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn= ( f (α), f (γ) ), 即 f 是欧氏空间V到V/的同构映射， V≌V/ . □ 性质2 任一n维欧氏空间V都与Rn同构. 证明：据题设dimV= dimRn 及性质1，即知V≌Rn. □ 性质3 欧氏空间之间的同构关系具有自反性、对称性、传递性. 证明： 略.

9.4正交变换

一 正交变换的概念及性质 定义9 V是欧氏空间，A (∈L(V))称为正交变换，如果对任意的α,β∈V, (Aα,Aβ) = (α,β). 3) ε1,ε2, ···,εn 是V的标准正交基，则Aε1,Aε2, ···,Aεn 是V的标准正交基； 4) 在任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

性质2 正交变换是可逆的线性变换. 证明： 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵可逆，故正交变换可逆 性质2 正交变换是可逆的线性变换. 证明： 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵可逆，故正交变换可逆. □ 性质3 正交变换是V到V的同构映射. 证明： 正交变换A 可逆，故是双射. A 是线性变换，故 A (α+β) = A (α) +A (β)； A (kα) = kA (α). A 是正交变换，故 (Aα, A β) = (α, β). 所以A 是V到V的同构映射. □ 性质4 A , B 是正交变换，则 A －1, AB 是正交变换. 证明： 设A , B 在标准正交基下的矩阵是A, B → A, B是正交矩阵，且A－1，AB 是正交矩阵 → A －1, AB 是正交变换.

性质5 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应 性质5 在标准正交基下，正交变换与正交矩阵一一对应. * 设正交变换A 对应的正交矩阵为A，则｜A｜=±1 → 称｜A｜为正交变换A 的行列式；当｜A｜= 1时，称A 为第一类正交变换 (或旋转)；当｜A｜=－1时，称A 为第二类正交变换. 性质6 正交变换保持向量夹角不变，反之则不一定. 证明： 设σ是正交变换 → 对任意的α,β∈V , (σ(α),σ(β)) = (α,β)； ｜α｜= ｜σ(α)｜, ｜β｜=｜σ(β)｜. 当α,β中有一个为0，则σ(α),σ(β))中有一个为0，故 〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉= 900；若α,β均非0向量，则 〈α,β〉= arccos (σ(α),σ(β))/｜σ(α)｜｜σ(β)｜ = arccos (α,β)/｜α｜｜β｜= 〈σ(α),σ(β)〉, 即 σ保持向量夹角不变. 反之，则不一定，如数乘变换保持夹角不变，但不是正交变换.

例1 V2中将每一向量按逆时针方向旋转θ度的变换是正交变换σ 例1 V2中将每一向量按逆时针方向旋转θ度的变换是正交变换σ. 取标准正交基ε1= (1, 0), ε2 = (0, 1), 则 容易验证矩阵A是正交矩阵，且｜A｜= 1，故σ是第一类正交变换. 例2 令π是过原点的平面， α σ是V3关于π的镜面反射. 取ε1,ε2 为π的标准正交 基，即过原点互相垂直的 o π 单位向量构成基. 取ε3为 过原点且垂直π的单位向 量，则ε1,ε2, ε3为V的标 σ(α) 准正交基. 由镜面反射的定

义，σ(ε1) =ε1, σ(ε2) =ε2, σ(ε3) = －ε3 义，σ(ε1) =ε1, σ(ε2) =ε2, σ(ε3) = －ε3 . 对任意的α∈V3 ，设α= x1ε1 + x2ε2 + x3ε3 , 则 σ(α) = x1σ(ε1) + x2σ(ε2) + x3σ(ε3) = x1ε1 + x2ε2 －x3ε3 , 故 ｜σ(α)｜2 = x12 + x22 + x32 = ｜α｜, 即推出 ｜σ(α)｜= ｜α｜，所以σ是正交变换. 由如上过程可知以下等式成立，即σ的行列式｜B｜= －1，即σ是第 二类正交变

9.5 子空间

几何空间V3中，xoy平面，oz轴，ox轴分别标为W1、W2 、W3 , 则它 定义10 设V1, V2是欧氏空间V的子空间，称V1 , V2正交，记为V1⊥V2 ，如果对任意的α∈V1 , β∈V2 ， (α,β) = 0. 称ξ(∈V)与V1正交，记为ξ⊥V1，如果对任意的 α∈V1 ， (ξ,α) = 0. 几何空间V3中，xoy平面，oz轴，ox轴分别标为W1、W2 、W3 , 则它 们都是V3的子空间，且 W1⊥W2 ，W2 ⊥W3 . 取oz轴上的向量ξ，则 ξ⊥W1 .

性质1 V1 ⊥V2，则 V1∩V2 = {0}. 对任意的α∈ V1∩V2 → α∈ V1 且α∈ V2 → 由正交的定义即知(α,α) = 0 → α = 0 → V1∩V2 = {0}. □ 性质2 α⊥V1 ，且α∈V1 ， 则 α= 0. 由题设即知 (α,α) = 0 → α = 0 . □ 性质3 （定理5） 子空间V1 , V2 , ···, Vs 两两正交，则 V1 + V2 + ··· + Vs 是直和. 证明： 设 0 = α1 +α2 + ··· +αs , αi∈Vi , i = 1, 2, ···, s . 用αi对等式两边作内积得 (αi ,α1) + ··· + (αi ,αi) + ··· + (αi ,αs) = 0, 由题设正交推出(αi ,αi) = 0，故αi = 0， i = 1, 2, ···, s ， 即 0 的分解式唯一，故V1 + V2 + ··· + Vs 是直和. □

定义11 设V1 , V2是V的子空间，V1称为V2的正交补，如果 V1⊥V2 且 V1 + V2 = V . 如几何空间中，xoy平面与oz轴互为正交补.oy轴与oz轴正交，但不构成正交补. 性质4 (定理6) V的任一子空间V1都有唯一的正交补. 证明： A） 存在性： 1) V1 = {0}, 则其正交补是V. 2) V1 ≠ {0}, 在V1 中取正交基ε1 ,ε2 , ···,εm 并扩充为V的正交基ε1 ,ε2 , ···,εm, εm+1 , ···,εn → 取 V2 = L(εm+1 , ···,εn ), 则V1 + V2 = V ．

9.6实对称矩阵的标准形

定义12 A（∈L(V)）称为对称变换，如果对任意的 Α,β∈V, (Aα,β) = (α,Aβ) . 引理3 A 是对称变换，V1是A - 子空间，则V1⊥是A -子空间. 证明： V1是A - 子空间 → 对任意的β∈V1, 有A β∈V1, 故(α,A β) = 0 (对任意的α∈V1⊥) → 由A 是对称变 换可知 (Aα,β) = (α,Aβ) = 0 → Aα∈V1⊥,即V1⊥是 A -子空间. □ 引理4 A是对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量正交 . 证明： 如引理2，在R中引入线性变换A，设λ,μ是A 的

A λ1 λ2 ·········· λs α Vλ1 β Vλ2 VλS 不同的特征值，α,β是A 的分属于λ,μ的特征向量 → Aα=λα, A β=μβ → 因A 是对称变换， (Aα,β) = (α,A β) → (λα,β) = (α,μβ) , 即λ(α,β) = μ(α,β) → 因λ－μ≠0，故得(α,β) = 0，即α⊥β. Rn中对称变换A 的所有特征子空间两两正交. λ1 λ2 ·········· λs A α Vλ1 β Vλ2 VλS

补充命题1 dimV= n, A ∈L(V),则以下条件等价： 1） 对任意的α,β∈V, (A α,β) = (α, A β) ； 2） A 在某标准正交基下的矩阵是实对称矩阵； 3） A 在任一标准正交基下的矩阵是实对称矩阵. 证明： 1) => 2) 设A 在标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn下的矩阵是A = (aij) ,aij∈R. 只要证明 aij = aji 即可. 因为A εi = a1iε1 + a 2iε2 + a niεn (i=1,2,···,n)，故 a ji = (A εi , εj ) = (εi , A εj ) = aij . 2) => 3) 设A 在任一标准正交基Ⅰ下的矩阵是B，则n维欧氏空间由标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn到标准正交基Ⅰ的过渡矩阵T是正交矩阵，即 T/ = T－1，且 B = T －1 AT = T/AT → B/ = (T/AT)/ = T/AT = B , 即 A 在任一标准正交基下的矩阵都是实对称矩阵.

3) => 1) 设在标准正交基ε1 ,ε2 ,···, εn下的矩阵A是实对称矩阵，即A / = A ，对任意的αβ∈V， α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)X, β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)Y, 则 A α= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AX , A β= (ε1 ,ε2 ,···, εn)AY → (A α, β) = (AX)/ Y = X/A/Y =X/AY；(α, A β) = X/(AY) = X/AY, 即 (A α, β) = (α, A β) → 是对称变换. □ 补充命题2 1) 单位变换是对称变换； 2) A ，B 是对称变换，则kA ，AB 仍是对称变换 (对任意的k∈R ). 证明： 略. 定理7 对任意的实对称矩阵A , 存在n阶正交矩阵T, 使得 T/AT = T－1AT 是对角矩阵.

L(V) Rn×n A A T B=T/AT =T－1AT ε1, ε2, ···,εn η1, η2 , ···,ηn 证明分析： 在Rn中, 设A在给定的标准正交基ε1, ε2, ···, εn 下定义的线性变换是A , 问题即：寻找一标准正交基η1,η2, ···,ηn , 使在该基下的矩阵是对角矩阵B → 如图 (η1, η2, ···,ηn ) = (ε1,ε2, ···, εn )T, T 即为要找的正交矩阵 → 证明的关键： 有n个特征向量构成标准 正交基即可, T 即是这 n 个特征向量 ξ1,ξ2, ···,ξn作列向量构成的, 即 T = (ξ1,ξ2, ···, ξn). ε1, ε2, ···,εn η1, η2 , ···,ηn L(V) A Rn×n A T B=T/AT =T－1AT

δ γ－δ 四 二次曲面方程化简及分（略） 五（补充）向量到子空间的距离 1. 内射影定义： 称α1为α在V1的内射影（如图） 四 二次曲面方程化简及分（略） 五（补充）向量到子空间的距离 1. 内射影定义： 称α1为α在V1的内射影（如图） V中内射影的几何直观很明确，一般欧氏空间中就不具有这一直观性，但其欧氏几何的特征是一致的 命题： 向量到子空间各个向量的 距离以垂线最短. → 设W是V的子空间,β∈V, γ∈W, β－γ∈W⊥ , 则 对任意的δ∈W， β β－γ ┃β－γ┃≤┃β－δ┃. γ β－δ 证明：β－δ=(β－γ)+(γ－δ) 因W是子空间，γ,δ∈W → δ γ－δ

γ－δ∈W，因为β－γ⊥W，故 β－γ⊥γ－δ， 据勾股定理┃β－γ┃2+┃γ－δ┃2＝┃β－δ┃2 → ┃β－γ┃2 ≤┃β－δ┃2 ，即有 ┃β－γ┃≤┃β－δ┃成立. □