第9章 向量与空间解析几何 9.1 空间直角坐标系与向量的概念 9.2 向量的数量积与向量积 9.3 平面方程与空间直线方程 9.4 曲面与空间曲线 xtk 习题课

9.1 空间直角坐标系与向量的概念 了解空间直角坐标系,并掌握两点间的距离公式 理解向量的有关概念及其运算 理解向量的坐标表示式,并熟练掌握其运算 2/34/120

重点 向量的坐标表示法 向量的坐标运算 难点 坐标表示法 3/34/120

9.1 空间直角坐标系与向量的概念 9.1.1 空间直角坐标系 9.1.2 向量的概念及其运算 4/34/120

注意 1. 空间直角坐标系定义： 过空间定点 O 作三条互相垂直的数轴， 它们都以 O 为原点， z x y o 它们都以 O 为原点， 这三条数轴分别称为 x 轴(横轴)，y 轴(纵轴)，z 轴(竖轴). 并且通常取相同的长度单位. 图 8 – 1 注意 三个坐标轴正向一般构成 右手系 5/34/120

Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 八个卦限 空间直角坐标系共有 6/34/120

在空间直角坐标系中, 点 P 的坐标 点P 有序数组 纵坐标 横坐标 竖坐标 7/34/120

2.两点之间的距离公式 求它们之间的距离 d = |M1M2|. 设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), △M1QM2 是直角三角形 z 图 8 - 4 z2 z1 M2 M1 P △M1PQ 是直角三角形 Q y1 y2 x1 O y x2 x 8/34/120

z 图 8 - 4 z2 z1 M2 M1 P Q y1 y2 x1 O y x2 x 9/34/120

? 2.两点之间的距离公式 设空间两点 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ), 则它们之间的距离为 特别地， 点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离为 ? 10/34/120

求A、B 间的距离. 例 1 已知 A (－3 , 2 , 1)、B (0 , 2 , 5). 解 由两点间距离公式可得

1、向量的概念 如力、位移、速度、加速度等. 既有大小又有方向的量， 这类量称为向量， 或称为矢量. 模等于 1 的向量称为单位向量. 　　　　　　　　　　　　　如力、位移、速度、加速度等. 　　既有大小又有方向的量， 这类量称为向量， 或称为矢量. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　模等于 1 的向量称为单位向量. 向量 a 的大小称为该向量的模， 记作 | a |; 与 a 同向的单位向量记为 a ， 　记为 0 ，零向量没有确定的方向，也可以说其方向是任意的. 模等于 0 的向量称为零向量， 本张共两层:对象5-12,textbox13 为第一层;第二层:按顺序textbox14,group22,object14,15;group36 B A

如果方向相同、模相等， 两个向量 a 与 b 不论起点是否一致， 即经平行移动后，两向量完全重合. 则它们是相等的， 记为 a = b . 注意：向量可以在空间自由而平行地移动. 13/34/120

2、向量的运算 (1) 向量的加法(加法运算) 以 a 、b 为边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图， 定义 9.1 这就是向量加法的平行四边形法则. 记为 a + b， 则由 a 的起点到 b 的终点的向量. 若以向量 a 的终点作为向量 b 的起点， 也是 a 与 b 的和向量. 这是向量加法的三角形法则. a a+b a+b b b b a a 14/34/120

2、向量的运算 (1) 向量的加法(加法运算) 向量 a 与 b 的和向量 a + b 定义9.1 a+b a+b 平行四边形法则 三角形法则 平行四边形法则 15/34/120

三角形法则可以推广到任意有限个向量相加的情形. d ? a+b+c+d c b a 16/34/120

如图所示，有F1, F2, F3, F4四个力，求它们的合力． ? 17/34/120

(2) 向量与数的乘法(即数乘运算)  是一个非零实数， 定义9. 2 设 a 是一个非零向量， 则 a 与  的乘积仍是一个向量， 且 ( 1 ) | a | = |  | | a |; 与 a 同向，当  > 0; 与 a 反向，当  < 0. ( 2 ) a 的方向 如果  = 0 或 a = 0， 规定 a = 0. a 2a a -2a 18/34/120

向量的加法满足交换律: a + b = b + a 向量的加法满足结合律: (a + b ) + c = a + (b + c) 向量的数乘满足结合律: (a ) = (  ) a 向量的数乘满足分配律:  ( a + b ) = a + b (  +  ) a = a +  a (其中 ， 是数量) 19/34/120

由向量的数乘运算可知， 两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 设 a 是非零向量， 由数乘向量的定义可知， 向量 的模等于 1 ， 向量 的模等于 1 ， 且与 a 同方向， 所以有 因此任一非零向量 a 都可以表示为 20/34/120

(3) 向量的减法(减法运算) 定义9. 3 如果向量 b 与 a 的长度相等, 方向相反, 那么称 b 为 a 的负向量, 记为 b = - a . 定义9. 4 a - b = a +(- b ). b c = a  b a 21/34/120

3、向量的坐标表达式 与x 轴、y 轴、z 轴的正向同向的单位向量分别记为 i、 j、k， 在空间直角坐标系中， 称为基本单位向量. 如图所示. z A B C Q P k a y i O j x 22/34/120

3、向量的坐标表达式 终点为 P(x, y, z). 设向量 a 的起点在坐标原点 O， 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐标轴， 则点 A 在 x 轴上的坐标为 x ， 设垂足依次为 A， B ，C， 根据向量与数的乘法运算得向量 同理， x z A B C Q a i j P O y k 于是,由向量的三角形法则,有 23/34/120

称 a = xi + yj + zk 为向量 a 的坐标表达式， 记作 或 z C P a k B j i y O A Q x 24/34/120

这就是已知向量的起点和终点坐标，求向量坐标的计算公式. 已知 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， 例 1 求向量 a 的坐标表达式. B(x2, y2 , z2)为终点的向量， 解 这就是已知向量的起点和终点坐标，求向量坐标的计算公式. z A a B y O x 25/34/120

A O 它的终点为 A(ax , ay , az)， 设向量a 的起点为原点， 则它的坐标为 a = {ax , ay , az}， 由两点间距离公式可知 这就是已知向量的坐标，求向量模的计算公式. z A O y x 26/34/120

设 则 ( 为数量). 或 27/34/120

例 2 已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， 求 a + b , a - b , 3a - 2b . 解 a + b a - b 3a - 2b 28/34/120

例 3 求平行于向量 的单位向量. 解 则与 a 同方向的单位向量为 则与 a 反方向的单位向量为 29/34/120

设向量 由数乘运算知 因为 即 所以 我们约定相应的分子为零，例如: 注意:当 bx，by，bz 中出现零时， 应理解为: 30/34/120

《高等数学习题课教程》 练习题 1~4 31/34/120

教材 习题9 5、6 32/34/120

9.2 向量的数量积与向量积 理解向量点积和叉积的定义 掌握用向量坐标计算向量的点积和叉积

重点 用向量的坐标计算向量的点积和叉积 难点 两向量平行和垂直的充要条件 叉积的坐标计算 34/58/120

9.2 向量的数量积与向量积 9.2.1 两向量的数量积 9.2.2 两向量的向量积 35/58/120

复习 前面我们介绍了向量的基本概念、向量的坐标和加减法及数乘运算. 本节我们将介绍向量的乘法--------向量的点积与叉积. z 向量 a 的坐标： a = xi + yj + zk P a k 或 j i O y 此张下面有两层:对象8-11,13,TB16,17为第一层 或 x 本节我们将介绍向量的乘法--------向量的点积与叉积. 36/58/120

规定两向量 a , b 的正方向之间不超过 180º 的夹角为向量 a 与 b 的夹角, 记为 或 ． 若有一质点在常力 (大小与方向均不变) F 的作用下， 则位移 ， 由点 A 沿直线移动到点 B， 由物理学可知， 力 F 所做的功为 F A s B 37/58/120

W = F  s 设 a 、b 为任意两个向量， 则称 定义9. 5 为向量 a 、b 的点积或数量积或内积， 记为 a  b ， 即 由点积的定义， 上述作功问题可以表示为 W = F  s 38/58/120

向量的点积满足下列运算规律: 交换律 结合律 分配律 注意: 由点积的定义可知 所以 (2) 两个非零向量 a 和 b 的夹角为 (3) 两个向量互相垂直的充要条件是 a  b = 0 . 39/58/120

(3) 两个向量互相垂直的充要条件是 a  b = 0 . 若两个非零向量 a、b 互相垂直， 即a  b. 当 a、b 均为非零向量， (3) 两个向量互相垂直的充要条件是 a  b = 0 . 若两个非零向量 a、b 互相垂直， 即a  b. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当 a、b 均为非零向量， 则 cos ( a , b ) = 0. 即有a  b = 0； 反之， 且 a  b = 0 时， 则 cos ( a , b ) = 0， 　　　　　　　　　　　　　　　　　当 a 、b 中至少有一个是零向量时， 即 a 与 b 垂直. 　　　　　　　　　　我们规定零向量与任何向量都垂直. 所以, 两个向量互相垂直的充要条件是 a  b = 0. 由这个结论可得 40/58/120

(4) 点积的坐标计算式 利用点积的运算规律有： 即 两向量的点积等于它们对应坐标乘积之和. 因此， 41/58/120

(5) 两非零向量夹角余弦的坐标表示式 均为非零向量， 由两向量的点积定义可知: (6) 两个向量互相垂直的充要条件是 42/58/120

例 1 已知 a = i + j， b = i + k， 求a  b 及 解 由公式可得 43/58/120

例 2 设 a = ， b = ， 试确定 k 使 解 (1) 因为 所以 解得 (2) 因为 所以 即 则 44/58/120

设向量 因为 由数乘运算知 即 所以 我们约定相应的分子为零，例如: 注意:当 bx，by，bz 中出现零时， 应理解为: 45/58/120

设轴L上A点受到恒力F作用, O为轴L的支点, F与 的夹角为 ． 由力学知识知道，恒力Ｆ对支点Ｏ的力矩 Ｍ 也是一个向量． Ｍ 的模等于力的大小与臂的乘积， 即 M O L A F F 两层:TB2,10,11,6,7,9,对象5,3为第一层 O A M 的方向垂直于 与Ｆ所在的平面，其正方向按右手法则确定． 46/58/120

是一个向量，用 a × b ，即 c = a × b 表示，并且 定义 9.2 设 a，b 为任意两个向量 ，则它们的叉积 是一个向量，用 a × b ，即 c = a × b 表示，并且 且a , b , c 符合右手法则. (2) c 垂直于 a 和 b ， c 叉积也称为向量积或外积. 由叉积的定义知 b a 47/58/120

叉积具有下列运算规律： c = a×b b a 注意：叉积不满足交换律 b×a 48/58/120

(1) 向量 a 和 b 的叉积的模 |a ×b | 等于以 a、b 为邻边的平行四边形面积. 由叉积的定义可得: (1) 向量 a 和 b 的叉积的模 |a ×b | 等于以 a、b 为邻边的平行四边形面积. b |a×b| a 49/58/120

(2) 两个向量平行的充要条件是 a  b = 0. 事实上， 若a // b ， 则 ( a , b ) = 0 或  ， 即有 反之， 当 a、b 为非零向量， 且 a  b = 0 时，则 sin (a , b) = 0. 所以 sin (a , b) = 0. 从而断定 (a , b) = 0 或 ， 当 a ，b 中至少有一个为零向量时， 我们规定零向量与任何向量平行. 即 a // b . 这样, 两个向量平行的充要条件是 a  b = 0. 50/58/120

(3) 对基本单位向量 i , j , k 有 i ×j = k ， j ×k = i ， k×i = j ; i j k o 51/58/120

- j (4) 叉积的坐标计算公式 利用叉积的运算规律有： k -k i j - i i ×j = k ， j ×k = i ， j ×i = -k ， k×j = -i ， i×k = -j ; 52/58/120

(4) 叉积的坐标计算公式 则 53/58/120

例 1 设 解 由公式得 注意! 所求向量 a×b 同时垂直于向量 a 和 b . 54/58/120

《高等数学习题课教程》 P88 习题9-2 题3. 4. 55/58/120

教材 习题9 9、11、12(只求叉积) 56/58/120

9.3 平面方程与空间直线方程 熟练掌握平面的点法式方程 掌握平面的一般方程和截距式方程 熟练掌握直线的点向式方程 掌握直线的一般式方程和参数参数方程

重点 平面的点法式方程 直线的点向式方程 难点 平面的截距式方程 直线的一般式方程 58/85/120

9.3 平面方程与空间直线方程 9.3.1 平面方程 9.3.2 空间直线方程 59/85/120

复习 a  b = a b = 两向量垂直的充要条件是 a  b = 0. 两向量平行的充要条件是 a b = 0. 则 已知向量的起点 A( x1, y1, z1 )和终点 B(x2, y2 , z2)，求向量坐标的计算公式.

1. 平面的点法式方程 与平面  垂直的非零向量称为该平面的法向量. 设平面  过点 现在来建立平面  的方程. 是平面  的法向量. 在平面  上任取一点 P(x, y, z)， n z x y o 则向量  P P0 由立体几何知识有 即 所以 该方程称为平面  的点法式方程. 61/85/120

求过点(2, 1, 1)且垂直于向量 i + 2j + 3k 的平面方程 . 例 1 平面的点法式方程: 求过点(2, 1, 1)且垂直于向量 i + 2j + 3k 的平面方程 . 例 1 显然，所求平面的法向量 n = {1 , 2, 3} 解 所以由公式可得该平面方程为 又因为平面过( 2, 1, 1 )， 即 x + 2y + 3z－7 = 0 . 62/85/120

2、平面的一般方程 平面的点法式方程 ① 将方程 ① 展开， 得 令 D = -Ax0 - By0 – Cz0 , 则方程变为 ② 所以平面方程是一个 x，y，z 的三元一次方程. 反之，对任意一个 x，y，z 的三元一次方程 ② 任取满足该方程的一组数 x0，y0，z0 ，即 ③ 由方程 ② - ③ 得 这是一个平面的点法式方程. 63/85/120

2、平面的一般方程 ② 由此可知 x，y，z 的三元一次方程 ② 表示一个平面， 方程 ② 称为平面的一般方程. 其中系数 A，B，C 表示法向量的坐标. 64/85/120

3、平面的截距式方程 设一个平面不通过原点 , 也不与任何坐标轴平行, 并与 x , y , z 轴分别交于 M1( a, 0, 0 )， 设一个平面不通过原点 , 也不与任何坐标轴平行, 并与 x , y , z 轴分别交于 M1( a, 0, 0 )， M2( 0, b, 0 ) 和 M3(0, 0 , c ) 三点, 如图所示, z c 因为点 M1，M2，M3 在平面上， M3 所以 M2 O y b M1 a x 解此方程组，可得 65/85/120

代入平面的一般方程 Ax + By + Cz + D = 0 中, 有 由于平面不通过原点 , D ≠ 0 , 消去 D , 得 ④ 其中 a，b，c 分别称为在 x 轴，y 轴，z 轴上的截距. 方程 ④ 称为平面的截距式方程， 66/85/120

写出平面 4 x – 3 y + 6 z -12 = 0 的截距式方程，并在空间直角坐标系中画出该平面. 例 2 解 将原方程化为平面的截距式方程为 A x B y C z o 则此平面通过点 A( 3, 0, 0 )， C(0, 0 , 2 ) , B( 0, -4, 0 ) 和 如图所示. 67/85/120

例3 求过点 P1(0, 1, 3), P2(1, 1, 2), P3(1, 2, 2) 的平面方程. 解 因为向量 = {1 , 2, 5 } 和 = {2 , 1, 0 } 所以可取所求平面的法向量为 在所求的平面上， 由平面的点法式方程得 5( x  0) + 10( y  1) + 5( z + 3) = 0 简化，即得所求平面方程为 x + 2 y + z + 1 = 0 68/85/120

复习上次课主要内容 平面的点法式方程 平面的一般方程 其中系数 A，B，C 表示法向量的坐标. n  P P0 o x z y 69/85/120

复习 两个向量 a，b 平行的充要条件是 我们约定相应的分子为零，例如: 注意:当 bx，by，bz 中出现零时， 应理解为: 70/85/120

1. 直线的点向式方程 与直线 l 平行的非零向量称为该直线的方向向量． 提示： 直线要注意它的方向向量. 平面要注意它的法向量. l z s 直线要注意它的方向向量. 平面要注意它的法向量. y x 71/85/120

(当 m，n，p 中有一个或两个为零时， 就理解为相应的分子是零). 设直线 l 过点 P0( x0, y0, z0)， 　　设 P(x, y, z)是直线 l 上任意一点， 是直线 l 的方向向量.　 则 且 由两向量平行的充要条件可知 ① z l s P 方程组 ① 称为直线的点向式方程或标准方程 (当 m，n，p 中有一个或两个为零时， 就理解为相应的分子是零). P0 y x 72/85/120

直线的点向式方程： 例 1 求过点 P( 1, -4, 6 )且垂直于平面  : 2x  3y + 5z  7 = 0 的直线方程. 解 由于直线垂直于平面  ， 所以可取 s = n， 即 s =  m , n , p  = 2 , 3 , 5  由直线的点向式方程得所求的直线方程为 73/85/120

2. 直线的参数方程 ① 在直线方程 ① 中， 记其比值为 ， 即 = 则直线方程可变成 ② 称为直线的参数方程， 为参数. 记其比值为 ， 即 = 则直线方程可变成 ② 称为直线的参数方程， 为参数. 74/85/120

复习:平面解析几何中曲线方程的概念 若一条曲线C 与一个方程 F( x, y ) = 0 之间符合 (2)坐标满足方程 F ( x , y ) = 0 的点一定都在曲线C上. 则称方程 F ( x , y ) = 0 而曲线C 就称为方程 F( x , y ) = 0 的图形. 为曲线 C 的方程. y C F( x, y ) = 0 曲线上的点 方程的解 o x M( x, y ) 75/85/120

3. 直线的一般式方程 表示这两个平面的交线， 方程组 称为空间直线的一般方程. 如图所示. 76/85/120

又因为所求直线的方向向量s 分别垂直于两平面的法向量 n1 = 2, 1, 3， n2 =  3, 2, 4 . 所以 例 2 将直线的一般式方程 化为点向式方程及参数方程. 解 令 z = 0 代入原方程得 即点( 1, 4, 0 )在所求直线上. 解得 x = 1，y = 4 ， 又因为所求直线的方向向量s 分别垂直于两平面的法向量 n1 = 2, 1, 3， n2 =  3, 2, 4 . 所以 则直线的点向式方程为 77/85/120

例 2 将直线的一般式方程 化为点向式方程及参数方程. 则直线的点向式方程为 令上式等于 ， 得直线的参数方程为 78/85/120

(2)两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角. 补充： (1)两平面法向量的夹角 称为两平面的夹角. (2)两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角. (3)一直线方向向量与一平面法向量的夹角称为 直线与平面的夹角. 79/85/120

平面的点法式方程 已知点 A( 2, -1, 2 ) 和 B( 8, -7, 5) , 求过点 B 且垂直于 的平面方程. 分析: 由题意知, 所求平面的法向量就是 因此由平面的点法式方程得: 80/85/120

因为所求直线的方向向量 s 同时垂直与两平面的法向量 分析 练习 一直线过点 (2, 3, 4)， 且与两平面 和 平行，求该直线方程. 因为所求直线的方向向量 s 同时垂直与两平面的法向量 分析 n1 = 1, 1, -2 , n2=1, 2, 1 又因为所求直线过点(2, 3, 4)，因此求直线方程为 81/85/120

补充： 将直线的点向式方程化为一般方程： 解：直线的一般方程为 即 82/85/120

教材 习题9 16、18 83/85/120

9.4 曲面与空间曲线 了解曲面方程的概念 熟练掌握常见的二次曲面的方程 知道空间曲线的方程和它在坐标面上的投影 84/120/120

重点 常见的二次曲面的方程 难点 旋转曲面的方程的求法 空间曲线在坐标面上的投影 85/120/120

9.4 曲面与空间曲线 9.4.1 曲面方程的概念 9.4.2 几种常见的二次曲面 9.4.3 空间曲线及其在坐标面上的投影 86/120/120

聚光式太阳灶的镜面设计，大都采用旋转抛物面的聚光原理。在数学上若抛物线绕主轴旋转一周，所得的面，即称为“旋转抛物面”。

卫星接收天线 抛物面天线：抛物面天线是把来自空中的卫星信号能量反射聚成一点。把电磁场能变为高频电能的装置。

雷达

复习:平面解析几何中曲线方程的概念 若一条曲线C 与一个方程 F( x, y ) = 0 之间有下列关系: (2)坐标满足方程 F ( x , y ) = 0 的点一定都在曲线C上. 则称方程 F ( x , y ) = 0 而曲线C 就称为方程 F( x , y ) = 0 的图形. 为曲线 C 的方程. y C F( x, y ) = 0 曲线上的点 方程的解 o x M( x, y ) 90/120/120

若一曲面  与一个方程 F( x, y, z ) = 0 之间有下列关系: 上. 而曲 面  就称为方程 F( x , y ,z ) = 0 的图形. 则称方程 F ( x , y , z) = 0 为曲面  的方程. 91/120/120

动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 1.母线平行于坐标轴的柱面方程 动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 称为柱面， L 定曲线 C 称为柱面的准线. 动直线 L 称为柱面的母线， C 92/120/120

动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 称为柱面. 1.母线平行于坐标轴的柱面方程 动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 称为柱面. 93/120/120

动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 称为柱面. 1.母线平行于坐标轴的柱面方程 动直线 L 沿给定曲线 C 平行移动形成的曲面， 称为柱面. L 母线 准线 C 94/120/120

现在来建立以 xOy 坐标面上的曲线 C : f ( x , y ) = 0 为准线， 的柱面方程. 平行于 z 轴的直线 L 为母线 过M 作平行于 z 轴的直线交 x y 坐标面于点 设 M (x, y, z)为柱面上的任一点， 由柱面定义可知 所以 的坐标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 . 必在准线 C 上. 所以点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . 由于方程 f (x , y)= 0 不含 z， 而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线 与 x y 坐标面的交点必不在曲线 C 上， z L M 也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0. 即 坐标满足方程 f (x , y)= 0 的点 O y C x 一定在柱面上. 95/120/120

在空间表示以 xOy 坐标面上的曲线为准线， 所以，不含变量 z 的方程 f (x , y)= 0 平行于 z 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 xOy 坐标面上的曲线为准线， 在空间表示以 xOy 坐标面上的圆为准线、 例1 方程 称为圆柱面. 平行于z 轴的直线为母线的柱面. x y z O x y o 96/120/120

在空间表示以 xOy 坐标面上的曲线为准线， 所以，不含变量 z 的方程 f (x , y)= 0 平行于 z 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 xOy 坐标面上的曲线为准线， 在空间表示以 xOy 坐标面上的圆为准线、 例1 方程 称为圆柱面. 平行于z 轴的直线为母线的柱面. x y z O x y o 97/120/120

在空间表示以 xOy 坐标面上的曲线为准线， 所以，不含变量 z 的方程 f (x , y)= 0 平行于 z 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 xOy 坐标面上的曲线为准线， 类似地， 不含变量 x 的方程 f( y , z)= 0 平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 yOz 坐标面上的曲线为准线， 而不含变量 y 的方程 f (x , z)= 0 平行于 y 轴的直线为母线的柱面. 在空间表示以 xOz 坐标面上的曲线为准线， 98/120/120

在空间表示以 xOy 坐标面上的抛物线为准线、 方程 y = x2 称为抛物柱面. 平行于z 轴的直线为母线的柱面. x y o 99/120/120

在空间表示以 xOy 坐标面上的抛物线为准线、 方程 y = x2 称为抛物柱面. 平行于z 轴的直线为母线的柱面. z x y o O y x 100/120/120

在空间表示以 xOz 坐标面上的直线为准线， 方程 母线平行于 y 轴的柱面. z x o 3 x y z O 3 101/120/120

在空间表示以 xOz 坐标面上的直线为准线， 方程 母线平行于 y 轴的柱面. ------平行于 y 轴的平面. z x o 3 x y z O 3 3 102/120/120

平面曲线 L 绕同一平面上定直线 C 旋转所形成的曲面， 称为旋转曲面， 定直线 C 称为旋转轴. 2.旋转曲面 　　平面曲线 L 绕同一平面上定直线 C 旋转所形成的曲面， 称为旋转曲面， 定直线 C 称为旋转轴. 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面 的方程. 现在来建立 yOz 面上曲线 L : f ( y , z ) = 0 z 设 M( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点， 过点 M 作平面垂直于 z 轴， P M0 交 z 轴于点 P ( 0, 0, z )， L M 交曲线 L 于点M0( 0, y0, z0 ). 由于点 M 可 以由点 M0 绕 z 轴旋转得到， O y x 因此有 103/120/120

① 对于 所以 即 ② 又 M0 在曲线 L 上， 所以 f ( y0 , z0 ) = 0 O M M0 P L 即 ② 又 M0 在曲线 L 上， 所以 f ( y0 , z0 ) = 0 将 ①、② 代入 f ( y0 , z0 ) = 0， 即得旋转曲面方程: x 结论: 在 yOz 面上曲线 L : f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面 的方程为 104/120/120

同理，曲线 L : f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转成的曲面方程为 在 y z 面上曲线 L : f ( y , z ) = 0 同理，曲线 L : f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转成的曲面方程为 105/120/120

类似地，该椭圆绕 z 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 例 2 xOz 坐标面上的椭圆 绕 x 轴 旋转，所得旋转曲面方程为 ( x 保持不变， 而将 z 换成 ) 　　类似地，该椭圆绕 z 轴旋转而得的旋转曲面的方程为 这两种曲面称为旋转椭球面. 106/120/120

3.椭球面 由方程 所表示的曲面称为椭球面. z O y x 107/120/120

yOz 坐标面上的抛物线 z = ay2( a > 0 ) 例3 yOz 坐标面上的抛物线 z = ay2( a > 0 ) z 该曲面称为旋转抛物面. 注意: 当 a < 0 时，旋转抛物面的开口向下. 一般地， 方程 O y x 所表示的曲面称为椭圆抛物面。 108/120/120

b < n < b ，c < h < c) x y z O 椭球面 其特征是: 用坐标面或平行于 坐标面的平面 x = m ， y = n， 截曲面所得到的交线均为椭圆. z = h ( a < m < a ， b < n < b ，c < h < c) 即为旋转椭球面. 当 a，b，c 中有 a = b 或 b = c 或 a = c 时， 当 a = b = c 时，方程变为 它表示球心在原点， 半径为 a 的球面方程. 109/120/120

当 a = b = c 时，方程变为 它表示球心在原点， 半径为 a 的球面方程. 110/120/120

1.空间曲线 z C ∑1 ∑2 称为空间曲线C的一般方程. O y x 方程组 表示什么曲线? 例 4 111/120/120

方程组 表示什么曲线? 例 4 z 4 O y 2 x 112/120/120

方程组 表示什么曲线? 例 4 z 4 O 2 y 2 x 113/120/120

称为空间曲线 C 关于 xOy 坐标面的投影柱面. 而投影柱面与 xOy 坐标面的交线 称为曲线 C 在 xOy 坐标面的投影曲线. 2、空间曲线在坐标面上的投影 平行于 z 轴的直线为母线的柱面， 设 C 为已知空间曲线， 则以 C 为准线， 称为空间曲线 C 关于 xOy 坐标面的投影柱面. 而投影柱面与 xOy 坐标面的交线 称为曲线 C 在 xOy 坐标面的投影曲线. 类似地， 可以定义曲线 C 关于 yOz 坐标面、zOx 坐标面的投影柱面及投影曲线. 设空间曲线 C 的方程为 消去 z ，得 F( x , y )= 0. 114/120/120

可知满足曲线 C 的方程一定满足方程 F( x, y) = 0 ， 而 F(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程， 就是曲线 C 关于 xOy 坐标面的投影柱面. 因此，柱面 F( x , y ) = 0 而 就是曲线 C 在 xOy 坐标面上的投影曲线的方程. 就可得到 C 关于 yOz 坐标面 同理， 从曲线 C 的方程中消去 x 或者 y， 　 或 zOx 坐标面的投影柱面方程， 从而也可得到在相应的投影曲线的方程. 115/120/120

它是曲线 C 关于xOy 坐标面的投影柱面方程， 上的投影柱面和投影曲线的方程. 例 5 求曲线 解 从曲线 C 的方程中消去 z ，得 4y2 = 6x +25， 它是曲线 C 关于xOy 坐标面的投影柱面方程， 曲线C 在 xOy 坐标面上投影曲线方程是 116/120/120

117/120/120

教材 习题9 20、21 118/120/120

1.向量 2.空间解析几何 一．复习本章所学的主要内容 (1)基本概念 向量的模和坐标表示法 (2)基本运算、加减法、数乘、点积和叉积 (1)基本概念 向量的模和坐标表示法 (2)基本运算、加减法、数乘、点积和叉积 (3)两向量垂直及平行的充要条件 2.空间解析几何 (1)空间直角坐标系、两点间的距离. (2)平面的点法式方程和一般方程. (3)直线的点向式方程、参数方程和一般方程. (4)常见的二次曲面及其方程 119

5. 指出下列各方程在平面内或在空间内所表示的图形的名称: 二．课堂练习 1．设向量 求 (1) (4) 同时垂直于 及 的向量． 2．已知向量 且 求实数 m . 3．已知一平面过 三点，求(1)此平面的方程； (2)过点Ａ且垂直于平面的直线方程． 4．求直线 与平面 的夹角． 5. 指出下列各方程在平面内或在空间内所表示的图形的名称: 120

参考答案 1．（1）3; (2) {6,7,4} {2,1,0} ; (3) 21; （4） 2．m = -1 3. （1） （2） 4． 1．（1）3; (2) {6,7,4} {2,1,0} ; (3) 21; （4） 2．m = -1 3. （1） （2） 4． 5. (1)在平面内是一条直线, 在空间内是一个平面. (2)在平面内是一条抛物线, 在空间内是抛物柱面. 121