第四章 矩阵 学时： 教学手段： 基本内容和教学目的： 本章的重点和难点： 18学时。 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 基本内容和教学目的： 基本内容： 矩阵的运算，可逆矩阵，初等矩阵及其性质和意义，分块矩阵。 教学目的： 1．使学生理解和掌握矩阵等价的相关理论 2．能熟练地进行矩阵的各种运算(包括求逆，分块等) 本章的重点和难点： 掌握矩阵的运算以及它们的运算规律；伴随矩阵的概念及其在矩阵求逆中的应用；基本关系式的应用；初等方阵的概念，性质和应用；矩阵的分块及意义。
4.2 矩阵的运算
一、 矩阵的加法 矩阵加法： 1. 具有相同行、列数的矩阵(即同型矩阵)方可相加； 2. 同型矩阵A, B的对应元素相加组成同型矩阵A＋B.
例. 由产地A1，A2调运大米和面粉到销地B1，B2，B3
性质5 max{r(A), r(B)}≤r(A, B)≤r(A)＋r(B). 特别： r(A)≤r(A,β)≤r(A)＋1，β为非零列向量. 证明：矩阵A的最高阶非零子式总是(A, B)的非零子式 → r(A)≤r(A, B). 同理可以推出 r(B)≤r(A, B) → max(r(A), r(B))≤r(A, B). 设r(A) = r, r(B) = t, 把A，B分别作列变换化成列阶 梯形矩阵A，B , 则A，B分别含r个和t个非零列，可设 A→A = (α1,···,αr,0, ···, 0)；B→B = (β1, ···,βt, 0, ···, 0), 即矩阵(A, B)经过列变换化成为(A ，B)，而(A ，B)中 只含有r + t个非零列 → r(A ，B)≤ r + t → r(A, B) = r(A ，B)≤ r + t，即 r(A,B) ≤ r + t .
性质6 r(A ＋ B)≤r(A) ＋ r(B) 证明： 设A，B均为 s×n 矩阵，且 A = (α1, α2, ···, αn), B = (β1, β2, ···, βn). 对矩阵 (A＋B, B) = (α1 +β1, α2+ β2, ···, αn+ βn, β1, β2, ···, βn) 作列变换： (－1)×cn+i＋ci上，则将矩阵(A＋B, B) 化 成矩阵 (A, B), 于是据性质6，就有 r(A＋B)≤r(A＋B, B) = r(A, B)≤r(A)＋r(B). 矩阵加法满足结合律，交换律；减法作为加法的逆 运算，不是一个独立的运算；矩阵加(减)法中有关秩的 性质5，6是不同于我们以往所学代数运算性质研究的 两个独特的性质，应特别予以重视.
矩阵乘法： 两矩阵A = (aik)，B = (bkj)相乘为AB = (cij) A的列数 = B的行数，两矩阵A，B方可相乘； AB的第 i 行、第 j 列元素cij等于A的第 i 行与B的 第 j 列对应元素乘积的和 .
实例：将直角坐标系xoy旋转θ度到x1oy1,再旋转φ度到 x2oy2 实例：将直角坐标系xoy旋转θ度到x1oy1,再旋转φ度到 x2oy2 . 设M点在三个坐标系下的坐标依次为(x,y), (x1,y1),(x2,y2)，利用平面解析几何的坐标旋转公式有 x ·M y1 y2 x2 x1 θ φ x Y
4.3 矩阵乘积的行列式与秩
4.4 矩阵的逆
一 矩阵逆的概念 矩阵相仿复数，有加、减、乘运算，是否也可以引 入除法运算？ → 对任意的A∈Mn(P)，AE = EA = A , 一 矩阵逆的概念 设 Mn(P) = {A|A是数域P上的n阶矩阵} ； 矩阵相仿复数，有加、减、乘运算，是否也可以引 入除法运算？ → 对任意的A∈Mn(P)，AE = EA = A , 而对任意的x∈P, 1x = x1 = x , 即n阶单位矩阵 E 与 数 1 起的作用是类似的 → 当 x ≠ 0 时，xx －1 = 1 , 相仿的，可引入以下概念： 定义7-8 A(∈Mn(P))称为可逆矩阵，若存在B∈Mn(P) 使得 AB = BA = E (1) 这时称 B 为 A 的逆矩阵， 记为 A－1 = B.