耕作学实验三 作物布局优化方案设计

一、目的 1.学会用线性规划方法确定一个生产单位的作物布局优化方案 2.掌握利用LINDO软件求解线性规划问题的方法

二、内容说明 线性规划是研究多变量函数在变量约束条件下的最优化问题，即求一组非负变量Xj (j=1，2，……，n)在满足一组条件（线性等式或不等式）下，使一组线性函数取得最大值或最小值。 用线性规划方法确定作物布局（也可应用于复种或整个种植制度），其参数比较容易取得，便于借助于计算机求解。

三、方法简介 1. 线性规划的一般形式 求一组变量xj（j=1，2，……n），满足条件： Xj>0（j=1，2，……n） 使目标函数F1=Ｃ1X1+Ｃ2X2+……+ＣmXn为最大值或最小值

2. 线性规划的标准形式 　　为求解方便，需把一般式化成标准形式，即引入松弛变量t，将不等式改为等式 （1）若约束方程为： 则在不等式左边加非负变量ti，即有： 　　xj，ti>0（j=1，2，……n；i=1，2，……m） （2）若约束方程为：

（3）若原目标函数f取最大值时： 令f1= -f 于是化为：

3. 线性规划问题的求解方法 　　线性规划问题的解法很多，如图解法、单纯形法等，以单纯形法最为常用。主要步骤用框图表示如下：

线性规划法进行作物布局的一般步骤 收集资料、制定目标 建立约束条件 建立数学模型 整理成初始单纯形表 判别是否有最优解 YES 读出最优解 NO 确定主元 用迭代法求新表 验算计算结果对？ NO 改正错误 YES

四、线性规划举例 某生产单位，欲在12亩同类型土地上种植玉米、大豆、小麦3种作物，并可为此提供48个劳动力和360元资金。并已知玉米和大豆每亩各需6个劳动力，小麦每亩需2个劳动力。玉米、大豆、小麦每亩各需资金分别为36元、24元和18元。又知种植玉米、大豆和小麦每亩可获得净收入分别为40元、30元和20元。问三种作物各种多少亩才能使纯收入最高？

1. 建立数学模型 设玉米、大豆和小麦的种植亩数分别为X1、X2、X3亩，于是上述问题就变成了一组Xi满足下列条件： 使得净收益

将此线性方程划成标准形式。即： 这里引入松弛变量X4、X5、X6，表示实际未利用资源，即为资源剩余量。因为任何资源的剩余均不能产生生产效益，故松弛变量系数为0，未列入目标函数。

2.建立初始单纯形表 即把线性方程组系数及常数项写成矩阵形式 表实3-2：初始单纯性表 非基变量 基变量 X1 X2 X3 X4 X5 X6 b1 1 6* 36 6 24 2 18 12 48 360 f1 40* 30 20

3.判定是否有最优解 单纯形表中最后一行，由40到0六个数成为检验数Cj。根据最优解判别定律，若全体检验数都为负数或零时，有最优解，即规划为最优规划。如检验数还有正数，说明规划有进一步完善的余地。本题中有三个检验数为正，故需逐步完善。

4.确定主元 确定主元是完善规划的第一步。在最大检验数40的右上方打上星号，用该列的正数去除bi行对应的数字，取其中最小的一个比值的分母为主元。即取： 则取6为主元，并在其右上方打上星号

5. 用迭代法求新单纯形表 进行矩阵的初等变换，将主元所在列的数字除去主元化为1外，其余均化为0，矩阵初等变换有行变换和列变换两种。根据初等变换的性质： （1）将矩阵某一行（列）通乘一个不为零的数，矩阵的秩不变； （2）将i行通乘不为零的整数K加到i行上去，矩阵的秩不变。故表实3-2经初等变换得表实3-3：

表实3-3检验数还有正数，故需进一步迭代，此时主元2/3*，经迭代得 表实3-3：新单纯性表 非基变量 基变量 X1 X2 X3 X4 X5 X6 b1 1 -12 2/3* 1/3 6 -1/6 1/6 -6 4 8 72 f1 -10 20/3 -20/3 表实3-3检验数还有正数，故需进一步迭代，此时主元2/3*，经迭代得

表实3-4：新单纯性表 非基变量 基变量 X1 X2 X3 X4 X5 X6 b1 1 -12 3/2 -1/2 -9 -1/4 1/4 1 -12 3/2 -1/2 -9 -1/4 1/4 -9/2 6 36 f1 -10 -5 表实3-4中所有的判别系数都为负值，因此表实3-4就为最优方案，且最优解为： X1=6；X2=0；X3=6；X4=X5=0；X6=36。 因此，只有种植玉米6亩，小麦6亩即可获得最高收入，且最高收入为360元。X6=36，表明还有36元资金未用。

6.实际可行性及灵敏度分析 上述最优解只是数学中的一个可行解，而在实际问题中是否可行还要进一步判定，如上题中不种大豆净收益最高，但实际生活中需要豆类，故最优解还是根据实际进行调整；或改变线性方程组中的参数，使数学上的可行性与实际生产中的可行性趋于一致 灵敏度分析是将各资源的限制量，如劳动力、资金量分别增加一定量，求最优解的变化情况，方法同上。灵敏度分析比较繁琐

五、LINDO计算软件简介 LINDO(Linear, Interactive, and Discrete Optimizer)是一个专门求解数学规划问题的软件，版权由美国Lindo系统公司所拥有。 对于非线性规划，可以用LINGO 或其他软件求解。 Lindo软件的特点是程序执行速度快，易于方便地输入、修改、求解和分析一个数学规划问题，因此受到了广泛的应用和普遍的欢迎。有关该软件的最新信息可以从Lindo系统公司的网站http://www.Lindo.com上获取 Lindo可以用来解决线性规划（LP），整数规划（IP）和二次规划（QP）问题。

LINDO软件应用练习 某生产单位，欲在12亩同类型土地上种植玉米、大豆、小麦3种作物，并可为此提供48个劳动力和360元资金。并已知玉米和大豆每亩各需6个劳动力，小麦每亩需2个劳动力。玉米、大豆、小麦每亩各需资金分别为36元、24元和18元。又知种植玉米、大豆和小麦每亩可获得净收入分别为40元、30元和20元。问3种作物各种多少亩才能使净收入最高？

作 业 宁夏某生产单位有耕地1000亩，种植水稻、小麦、玉米、大豆、棉花和葡萄6种作物。各作物亩需劳动力数、单产水平及净收益等资料见表1；另外，在安排作物结构时还要求粮食（谷物）总产量至少达到240200kg，养地作物面积不少于50亩，葡萄面积不能超过90亩，问：该单位应采取怎样的作物布局方案，才能获得最大净收益？

表1 各作物亩产量、用工量及纯收益资料 项目 水稻 小麦 玉米 大豆 棉花 葡萄 单产（kg） 568 417 785 238 241 表1 各作物亩产量、用工量及纯收益资料 项目 水稻 小麦 玉米 大豆 棉花 葡萄 单产（kg） 568 417 785 238 241 859 亩用工（个） 20 16 18 12 26 24 净收益（元） 484 189 553 202 588 840

线性规划方法的局限性？ 第一、线性规划的约束方程中，将构成目标函数和约束条件的等式及不等式联立方程都认为是线性的，而实际农业中生物与环境因素的关系往往不是线性的。故采用线性规划方法会导致一定偏差。 　　　克服办法？ 第二、线性规划中资源的数量、投入产出系数、资源决策变量等都被看作是固定的、静态的，而农业生产中许多因素却是动态的、变化的。线性规划较难处理这种动态变化。 有人提出非线性规划方法；线性规划较难处理这种动态变化。故有人提出用动态的方法。有的学者还将非线性规划与动态规划结合起来，比较好地解决了农业问题的非线性和动态性。

第三、在线性规划中的目标函数只能是一个，即在产量最高、经济效益最高、生产成本最低、生态效益最高等目标中选择一个，而生产实践中往往是多目标的。 　　　　克服办法？ 第四、农业生产系统中诸多因素是未知的，或者是难以量化的，有些量化指标，其确定性也因环境的变化而变化。由于农业的这种复杂性、不确定性和未知性，给农业系统中各种优化方法带来了许多偏差，有时数学上的优化与实际相差甚远。 单目标函数的线性规划的优化结果，往往与实际要求不相符合。为克服这一矛盾，可采用目标规划来解决多目标的问题。 由于农业的这种复杂性、多目标性和不确定性，给农业系统中各种优化方法带来了许多偏差，有时数学上的优化与实际相差甚远。这就要求将优化结果与实际情况进行核对和修正。也有人提出用灰色系统的方法来解决农业系统中问题的复杂性、不确定性和未知性。