选修3-5 第一章 动量守恒定律及其应用

考纲 考情 三年30考　高考指数：★★★★★ 1.动量、动量定理、动量守恒定律及其应用　Ⅱ 2.弹性碰撞和非弹性碰撞　Ⅰ 3.实验：验证动量守恒定律 说明：只限于一维

【知识梳理】 知识点1 动量、动量定理、动量守恒定律及其应用　 1.动量： (1)定义：运动物体的_____与_____的乘积。 (2)表达式：p=___。 (3)单位：________。 (4)标矢性：动量是矢量,其方向与_____的方向相同。 质量 速度 mv kg·m/s 速度

(5)动量、动能、动量变化量的比较。 名称 项目 定　义 定义式 矢标性 特　点 关联 方程 动　量 物体的质量和 _____的乘积 p=___ _____ 状态量 动　能 物体由于_____ 而具有的能量 Ek=_______ 标量 动量变化量 物体末动量与初 动量的_______ Δp=______ 矢量 _______ 运动 速度 矢量差 mv p′-p 矢量 过程量

2.动量定理： (1)内容：物体在一个过程始末的___________等于它在这个过程中 所受力的冲量。 (2)表达式：p′-p=I或_________________。 (3)冲量：力与力的作用时间的乘积,即I=F(t′-t)。 动量变化量 mv′-mv=F(t′-t)

3.动量守恒定律： (1)内容：如果一个系统_________,或者____________________, 这个系统的总动量保持不变。 (2)四种表达式。 ①p=____,系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量p′。 ②m1v1+m2v2=____________,相互作用的两个物体组成的系统,作用 前的动量和等于作用后的动量和。 不受外力 所受外力的矢量和为0 p′ m1v1′+m2v2′

-Δp2 ③Δp1=_____,相互作用的两个物体动量的增量等大反向。 ④Δp=__,系统总动量的增量为零。

4.动量守恒定律的三种守恒条件： (1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零,不是系统内每个物体 所受的合外力都为零,更不能认为系统处于_____状态。 (2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力_______它所受到的 外力。如碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等现象中系统的动量近似守恒。 (3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零,则 系统_____________动量守恒。但值得注意的是,系统的总动量可能 不守恒。 平衡 远大于 在这一方向上

知识点2 弹性碰撞和非弹性碰撞　 1.碰撞：物体间的相互作用持续时间_____,而物体间相互作用力 _____的现象。 2.特点：在碰撞现象中,一般都满足内力_______外力,可认为相互 碰撞的系统动量守恒。 很短 很大 远大于

3.分类： 　　两类守恒 碰撞类型　　　 动量是否守恒 机械能是否守恒 弹性碰撞 守恒 _____ 非完全弹性碰撞 有损失 完全非弹性碰撞 损失_____ 守恒 最大

4.反冲现象： (1)在某些情况下,原来系统内物体具有相同的速度,发生相互作用后 各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用的过程中系统 的动能_____,且常伴有其他形式能向动能的转化。 (2)反冲运动的过程中,如果合外力为零或外力的作用_______物体间 的相互作用力,可利用动量守恒定律来处理。 增大 远小于

5.爆炸问题：爆炸与碰撞类似,物体间的相互作用力很大,且_______ 系统所受的外力,所以系统动量_____,爆炸过程中位移很小,可忽略 不计,作用后从相互作用前的位置以新的动量开始运动。 远大于 守恒

知识点3 实验：验证动量守恒定律 1.方案一：利用气垫导轨完成一维碰撞实验(如图所示)。 (1)测质量：用_____测出滑块质量。 (2)安装：正确安装好气垫导轨。 (3)实验：接通电源,利用配套的_________装置测出两滑块各种情况 下碰撞前后的速度。(①改变滑块的质量。②改变滑块的初速度大小 和方向。) (4)验证：一维碰撞中的动量守恒。 天平 光电计时

2.方案二：利用等长悬线悬挂等大小球完成一维碰撞 实验(如图所示)。 (1)测质量：用_____测出两小球的质量m1、m2。 (2)安装：把两个_____小球用等长悬线悬挂起来。 (3)实验：一个小球_____,拉起另一个小球,放下时它们相碰。 (4)测速度：可以测量小球被拉起的_____,从而算出碰撞前对应小球 的速度,测量碰撞后小球摆起的_____,算出碰撞后对应小球的速度。 天平 等大 静止 角度 角度

(5)改变条件：改变碰撞条件,重复实验。 (6)验证：一维碰撞中的动量守恒。

3.方案三：在光滑桌面上两车碰撞完成一维碰撞实验(如图所示)。 (1)测质量：用天平测出两小车的质量。 (2)安装：将打点计时器固定在光滑长木板的一端,把纸带穿过打点 计时器,连在小车的后面,在两小车的碰撞端分别装上_____和橡皮泥。 撞针

(3)实验：接通电源,让小车A运动,小车B静止,两车碰撞时撞针插入 橡皮泥中,把两小车连接成一体运动。 (4)测速度：通过纸带上两计数点间的距离及时间由v=____算出速度。 (5)改变条件：改变碰撞条件,重复实验。 (6)验证：一维碰撞中的动量守恒。

4.方案四：利用斜槽上滚下的小球验证动量守恒定律(如图所示)。 (1)用天平测出两小球的质量,并选定_______的小球为入射小球。 (2)按照如图所示安装实验装置,调整固定斜槽使斜槽底端_____。 质量大 水平

(3)白纸在下,复写纸在上,在适当位置铺放好。记下_______所指的 位置O。 (4)不放被撞小球,让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下,重复 10次。用_____画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面,圆心P就是 小球落点的平均位置。 重垂线 圆规

(5)把被撞小球放在_________,让入射小球从斜槽同一高度自由滚下, 使它们发生碰撞,重复实验10次。用步骤(4)的方法,标出碰后入射小 球落点的平均位置M和被碰小球落点的平均位置N。如图所示。 斜槽末端

(6)连接ON,测量线段OP、OM、ON的长度。将测量数据填入表中。最 (7)整理好实验器材放回原处。 (8)实验结论：在实验误差范围内,碰撞系统的动量守恒。

【思维诊断】 (1)动量具有瞬时性。(　　) (2)物体动量的变化等于某个力的冲量。(　　) (3)动量守恒定律中的速度是相对于同一参考系的速度。(　　) (4)质量相等的两个物体发生碰撞时,一定交换速度。(　　) (5)系统的总动量不变是指系统总动量的大小保持不变。(　　) (6)利用斜槽做“验证动量守恒定律”实验时,入射小球每次开始滚下的位置是固定的。(　　)

提示：(1)√。动量是描述物体运动状态的物理量,是针对某一时刻而言的,具有瞬时性。 (2)×。物体动量的变化等于物体受到的所有力的总冲量。 (3)√。动量守恒定律中,系统中各物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性系,各物体的速度通常均为相对于地的速度。 (4)×。只有质量相等的两个物体发生一维的弹性碰撞时,系统的总动量守恒,总动能守恒,才会交换速度,否则不会交换速度。

(5)×。系统总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变。 (6)√。入射小球每次都应从斜槽上同一位置由静止开始滚下,以保证入射小球每次与被碰小球碰撞时的速度都相同。

【小题快练】 1.(多选)下列四幅图所反映的物理过程中,系统动量守恒的是(　　)

【解析】选A、C。A中子弹和木块组成的系统在水平方向不受外力,竖直方向所受合力为零,系统动量守恒;B中在弹簧恢复原长过程中,系统在水平方向始终受墙的作用力,系统动量不守恒;C中木球与铁球的系统所受合力为零,系统动量守恒;D中木块下滑过程中,斜面始终受挡板作用力,系统动量不守恒,选项A、C正确。

2.(多选)关于物体的动量,下列说法中正确的是(　　) A.物体的动量越大,其惯性也越大 B.同一物体的动量越大,其速度一定越大 C.物体的加速度不变,其动量一定不变 D.运动物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻的速度方向

【解析】选B、D。物体的动量越大,即质量与速度的乘积越大,不一定惯性(质量)越大,A错;同一物体,质量一定,动量越大,速度一定越大,B对;物体的加速度不变,速度一定变化,其动量一定变化,C错;动量是矢量,动量的方向与速度的方向相同,D对。

3.如图所示,一铁块压着一纸条放在水平桌面上,当以速度v抽出纸 条后,铁块掉在地面上的P点,若以2v速度抽出纸条,则铁块落地点为 (　　) A.仍在P点 B.在P点左侧 C.在P点右侧不远处 D.在P点右侧原水平位移的两倍处

【解析】选B。以v或2v抽纸条时,纸条给铁块的摩擦力不变。以2v抽纸条时,纸条对铁块作用的时间短,对铁块的冲量小,铁块获得的速度小。根据平抛运动的知识,可知落点在P点的左侧。故选项B正确。

4.如图所示,物体A静止在光滑的水平面上,A的左边固定有轻质弹簧,物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞,A、B始终沿同一直线运动,mA=2mB。当弹簧压缩到最短时,A物体的速度为(　　) A.0　　　　B. v　　　　C. v　　　　D.v 【解析】选B。由动量守恒定律知mBv=(mA+mB)v共, 而mA=2mB,得v共= ,B正确。

5.(多选)在利用悬线悬挂等大小球进行验证动量守恒定律的实验中,下列说法正确的是(　　) A.悬挂两球的线长度要适当,且等长 B.由静止释放小球以便较准确地计算小球碰前的速度 C.两小球必须都是刚性球,且质量相同 D.两小球碰后可以粘合在一起共同运动

【解析】选A、B、D。两线等长能保证两球正碰,以减小实验误差,A正确;由于计算碰撞前速度时用到了mgh= mv2,B正确;本实验对小球的弹性性能无要求,C错误;两球正碰后,有各种运动情况,D正确。

考点1 动量定理的理解和应用 1.对动量定理的理解： (1)公式p′-p=Ft是矢量式,右边是物体受到所有力的总冲量,而不是某一个力的冲量。其中的F是研究对象所受的包括重力在内所有外力的合力,它可以是恒力,也可以是变力,如果合外力是变力,则F是合外力在t时间内的平均值。

(2)动量定理说明的是合外力的冲量I合和动量的变化量Δp的关系,不仅I合与Δp大小相等,而且Δp的方向与I合方向相同。 (3)公式p′-p=Ft说明了两边的因果关系,即合力的冲量是动量变化的原因。 (4)动量定理说明的是合力的冲量与动量变化量的关系,反映力对时间的积累效果,与物体的初、末动量无必然联系,动量变化量的方向与合力的冲量方向相同。而物体在某一时刻的动量方向跟合力的冲量方向无必然联系。

(5)动量定理的研究对象是单个物体或物体系统。系统的动量变化等于在作用过程中组成系统的各个物体所受外力冲量的矢量和。而物体之间的作用力不会改变系统的总动量。 (6)动力学问题中的应用： ①在不涉及加速度和位移的情况下,研究运动和力的关系时,用动量定理求解一般较为方便。 ②因为动量定理不仅适用于恒力作用,也适用于变力作用,而且也不需要考虑运动过程的细节。

2.用动量定理解释现象： (1)用动量定理解释的现象一般可分为两类： 一类是物体的动量变化量一定,这种情况下力的作用时间越短,力就越大;力的作用时间越长,力就越小。 另一类是作用力一定,这种情况下力的作用时间越长,动量变化量越大;力的作用时间越短,动量变化量越小。 分析问题时,要把哪个量一定、哪个量变化搞清楚。

(2)用动量定理解释现象时,关键分析清楚作用力、时间及动量变化量的情况。

3.总冲量的两种求解方法： (1)若各力的作用时间相同,且各外力为恒力,可以先求合力,再乘以时间求冲量,I合=F合·t。 (2)若各外力作用时间不同,可以先求出每个外力在相应时间的冲量,然后求各外力冲量的矢量和,即I合=F1t1+F2t2+…

【典例1】如图所示,一高空作业的工人重为600 N,系一条长为L=5 m的安全带,若工人不慎跌落时安全带的缓冲时间t=1 s,则安全带受的冲力是多少?(g取10 m/s2)

【破题关键】 关键信息 思考方向 缓冲时间 安全带与工人作用的时间 安全带受的冲力 转换研究对象,先以人为研究对象,利用动量定理求出人受安全带的冲力,再利用牛顿第三定律求安全带受的冲力

【解析】解法一(程序法)：设工人刚要拉紧安全带时的 速度为v,v2=2gL,得v= 经缓冲时间t=1 s后速度变为0,取向下为正方向,工人受 两个力作用,即拉力F和重力mg,对工人由动量定理知, (mg-F)t=0-mv,F= 将数值代入得F=1 200 N。 由牛顿第三定律,工人给安全带的冲力F′为1 200 N,方向竖直向下。

解法二(全过程整体法)：在整个下落过程中对工人应用动量定理,重 力的冲量大小为mg( ),拉力F的冲量大小为Ft。初、末动量都 是零,取向下为正方向,由动量定理得 mg( )-Ft=0 解得F= =1 200 N。 由牛顿第三定律知工人给安全带的冲力F′=F=1 200 N,方向竖直向下。 答案：1 200 N,方向竖直向下

【总结提升】用动量定理解题的基本思路 (1)确定研究对象。在中学阶段用动量定理讨论的问题,其研究对象一般仅限于单个物体。 (2)对物体进行受力分析。可以先求每个力的冲量,再求各力冲量的矢量和——合力的冲量;或先求合力,再求其冲量。 (3)抓住过程的初末状态,选好正方向,确定各动量和冲量的正负号。 (4)根据动量定理列方程,如有必要还需要其他补充方程,最后代入数据求解。

【变式训练】(2013·北京高考)正方体密闭容器中有大量运动粒子,每个粒子质量为m,单位体积内粒子数量n为恒量。为简化问题,我们假定：粒子大小可以忽略;其速率均为v,且与器壁各面碰撞的机会均等;与器壁碰撞前后瞬间,粒子速度方向都与器壁垂直,且速率不变。利用所学力学知识,导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。

【解析】一个粒子每与器壁碰撞一次对器壁的冲量为 I0=2mv 如图所示,以器壁上的面积S为底、以vΔt为高构成柱体,由题意可知, 柱体内的粒子在Δt时间内有 与器壁发生碰撞,碰撞的粒子总数为 N′= nSvΔt

在Δt时间内粒子对器壁的冲量为 I=N′I0= nSmv2Δt 面积为S的器壁受到粒子的压力为F= = nSmv2 则器壁单位面积上所受到粒子的压力为 f= = nmv2 答案：f= nmv2

【加固训练】起跳摸高是学生常进行的一项活动。某中学生身高 1.80 m,质量80 kg。他站立举臂,手指摸到的高度为2.10 m。在一次 摸高测试中,如果他先下蹲,再用力蹬地向上跳起,同时举臂,离地后 手指摸到的高度为2.55 m。设他从蹬地到离开地面所用的时间为 0.2 s。不计空气阻力(g取10 m/s2)。求： (1)他跳起刚离地时的速度大小。 (2)上跳过程中他对地面平均压力的大小。

【解析】(1)跳起后重心升高h=2.55 m-2.10 m=0.45 m 根据机械能守恒定律 mv2=mgh 解得v= =3m/s (2)对人由动量定理(F-mg)t=mv-0 即F= +mg 解得F=2.0×103N

根据牛顿第三定律可知： 人对地面的平均压力F′=2.0×103N 答案：(1)3 m/s　(2)2.0×103N

考点2 动量守恒定律及其碰撞规律 1.动量守恒定律的“五性”： 矢量性 动量守恒定律的表达式为矢量方程,解题应选取统一的正方向 相对性 各物体的速度必须是相对同一参考系的速度(一般是相对于地面) 同时性 动量是一个瞬时量,表达式中的p1、p2……必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量,p′1、p′2……必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量

系统性 研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统 普适性 动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统,还适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统

2.碰撞现象满足的三个规律： (1)动量守恒：即p1+p2=p′1+p′2。 (2)动能不增加：即Ek1+Ek2≥E′k1+E′k2或 (3)速度要合理。 ①若碰前两物体同向运动,则应有v后>v前,碰后原来在前的物体速度 一定增大,若碰后两物体同向运动,则应有v前′≥v后′。 ②碰前两物体相向运动,碰后两物体的运动方向不可能都不改变。

3.对反冲现象的三点说明： (1)系统内的不同部分在强大内力作用下向相反方向运动,通常用动量守恒来处理。 (2)反冲运动中,由于有其他形式的能转变为机械能,所以系统的总机械能增加。 (3)反冲运动中平均动量守恒。

4.爆炸现象的三个规律： (1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的,爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力,所以在爆炸过程中,系统的总动量守恒。 (2)动能增加：在爆炸过程中,由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能,所以爆炸前后系统的总动能增加。 (3)位置不变：爆炸的时间极短,因而作用过程中,物体产生的位移很小,一般可忽略不计,可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动。

【典例2】(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图,质量分别为 mA、mB的两个弹性小球A、B静止在地面上方,B球距地 面的高度h=0.8m,A球在B球的正上方。先将B球释放, 经过一段时间后再将A球释放。当A球下落t=0.3s时, 刚好与B球在地面上方的P点处相碰,碰撞时间极短,碰 后瞬间A球的速度恰为零。已知mB=3mA,重力加速度大小g=10m/s2, 忽略空气阻力及碰撞中的动能损失。求： (1)B球第一次到达地面时的速度。 (2)P点距离地面的高度。

【解题探究】 (1)B球下落过程做什么运动? 提示：B球下落过程做自由落体运动。 (2)A、B两球碰撞过程满足的规律是什么? 提示：碰撞过程同时满足动量守恒和动能守恒。

【解析】(1)设B球第一次到达地面时的速度大小为vB,由运动学公 式有 vB= 　 ① 将h=0.8 m代入上式,得 vB=4m/s ② (2)设两球相碰前后,A球的速度大小分别为v1和v1′(v1′=0),B球的速度分别为v2和v2′。由运动学规律可得 v1=gt　 ③

由于碰撞时间极短,重力的作用可以忽略,两球相碰前后的动量守恒, 总动能保持不变。规定向下的方向为正,有 mAv1+mBv2=mBv2′　 ④ 　 ⑤ 设B球与地面相碰后的速度大小为vB′,由运动学及碰撞的规律可得 vB′=vB　 ⑥

设P点距地面的高度为h′,由运动学规律可得 联立②③④⑤⑥⑦式,并代入已知条件可得 h′=0.75m 答案：(1)4m/s　(2)0.75 m

【典例3】(2015·包头模拟)两物块A、B用轻弹簧相连,质量均为2kg,初始时弹簧处于原长,A、B两物块都以v=6m/s的速度在光滑的水平地面上运动,质量为4kg的物块C静止在前方,如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中： (1)当弹簧的弹性势能最大时,物块A的速度为多大? (2)系统中弹性势能的最大值是多少?

【解题探究】 (1)弹簧的弹性势能最大的条件是什么? 提示：弹簧的压缩量最大,A、B、C速度相等。 (2)如何求解弹簧的弹性势能的最大值? 提示：利用能量守恒求弹簧弹性势能的最大值。

【解析】(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。 (mA+mB)v=(mA+mB+mC)vABC 解得vABC= m/s=3m/s

(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒,设碰后瞬间B、C两者速度 为vBC,则mBv=(mB+mC)vBC,vBC= m/s=2 m/s 设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep, 根据能量守恒Ep= 答案：(1)3m/s　(2)12 J

【易错提醒】(1)没有注意到B与C碰撞过程中有能量损失,导致计算弹性势能的最大值时出错。 (2)B与C碰撞过程将“B与C组成的系统动量守恒”错误地理解成“A、B、C系统动量守恒”,实际上B、C碰撞时A并没有参与碰撞,B、C碰撞瞬间A速度不变。

【总结提升】动量与能量的综合在碰撞中的求解技巧 (1)处理这类问题,关键是区分物体相互作用的情况,分清物体的运动过程,寻找各相邻运动过程的联系,弄清各物理过程所遵循的规律。 (2)对于发生弹性碰撞的物体,其作用过程中系统机械能守恒,动量守恒;对于非弹性碰撞来说,系统的动量守恒但机械能不守恒,系统损失的机械能等于转化的内能。

【变式训练】(2015·杭州模拟)如图所示,在光滑的水平面上有一长 为L的木板B,上表面粗糙,在其左端有一光滑的 圆弧槽C,与长木板接 触但不相连,圆弧槽的下端与木板上表面相平,B、C静止在水平面上。 现有滑块A以初速度v0从右端滑上B,并以 v0滑离B,恰好能到达C的最 高点。A、B、C的质量均为m,试求： (1)木板B上表面的动摩擦因数μ。 (2) 圆弧槽C的半径R。

【解析】(1)当A在B上滑动时,A与BC整体发生作用,由于水平面光 滑,A与BC组成的系统动量守恒,mv0=m +2mv1,得v1= 系统动能的减小量等于滑动过程中产生的内能,Q=μmgL,ΔEk= ,得μ=

(2)当A滑上C,B与C分离,A与C发生作用,设到达最高点时速度相等为v2, 由于水平面光滑,A与C组成的系统动量守恒,m +mv1=(m+m)v2,得 v2= A与C组成的系统机械能守恒, 得R= 答案：(1) 　(2)

【加固训练】如图所示,质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上,其右端固定一根轻质弹簧,弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0 【加固训练】如图所示,质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上,其右端固定一根轻质弹簧,弹簧的自由端C到滑板左端的距离L=0.5m,这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ=0.2,而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑。木块A以速度v0=10m/s由滑板B左端开始沿滑板B表面向右运动。已知木块A的质量m=1kg,g取10m/s2。求： (1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度。 (2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能。

【解析】(1)弹簧被压缩到最短时,木块A与滑板B具有相同的速度,设为v,从木块A开始沿滑板B表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中,A、B系统的动量守恒： mv0=(M+m)v 解得v= 代入数据得木块A的速度v=2m/s。

(2)木块A压缩弹簧过程中,弹簧被压缩到最短时,弹簧的弹性势能 最大。 由能量关系,最大弹性势能 Ep= (m+M)v2-μmgL 代入数据得Ep=39J。 答案：(1)2m/s　(2)39J

考点3 动量守恒与其他知识的综合 1.动量守恒与动能定理、功能关系、圆周运动、运动学知识、牛顿 运动定律综合。 2.动量守恒与机械能守恒、运动学公式、牛顿运动定律综合。 3.动量守恒与机械能守恒、平抛运动规律综合。 4.动量守恒与能量守恒、核反应知识综合。 5.动量守恒与运动学知识综合。 6.动量守恒与混合场(重力场和电场)、向心力、平抛运动、能量综合。

【典例4】(2014·北京高考)如图所示,竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切,小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放,A与B碰撞后结合为一个整体,并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑,半径R=0.2m;A和B的质量相等;A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ=0.2。取重力加速度g=10m/s2。求：

(1)碰撞前瞬间A的速率v。 (2)碰撞后瞬间A和B整体的速率v′。 (3)A和B整体在桌面上滑动的距离l。

【解题探究】 (1)滑块A在圆弧轨道上运动时满足什么规律? 提示：满足机械能守恒。 (2)滑块A和滑块B碰撞过程满足什么规律? 提示：满足动量守恒。 (3)试分析A和B整体在桌面上运动时的受力。 提示：滑块A、B受重力、桌面支持力和桌面的摩擦力三个力的作用。

【解析】(1)从圆弧最高点到最低点机械能守恒,有： mAv2=mAgR,可得v=2m/s (2)在底部和B相撞,满足动量守恒,有：(mA+mB)v′=mAv 可得v′=1m/s (3)根据动能定理,AB一起滑动过程有： -μ(mA+mB)gl=0- (mA+mB)v′2,可得l=0.25m 答案：(1)2m/s　(2)1 m/s　(3)0.25 m

【总结提升】动量守恒与其他知识综合问题的求解方法 (1)动量守恒与其他知识综合问题往往是多过程问题。解决这类问题首先要弄清物理过程。 (2)其次弄清每一个物理过程遵从什么样的物理规律。 (3)最后根据物理规律对每一个过程列方程求解,找出各物理过程之间的联系是解决问题的关键。

【变式1+1】 1.(拓展延伸)在【典例4】中设A、B的质量均为1kg,(1)滑块A、B碰撞后瞬间A和B整体受到圆弧轨道的支持力为多少? (2)A和B整体在桌面上运动的时间为多少?

【解析】(1)A和B整体在O点正下方时由向心力公式得 FN-2mg=2m ,得FN=2mg+2m =30N (2)解法一：A和B整体运动的加速度为a,μ·2mg=2ma 得a=μg,由v′=at得t=0.5s 解法二：A和B整体运动过程用动量定理 μ2mgt=2mv′,得t= =0.5s 答案：(1)30N　(2)0.5s

2.(2014·重庆高考)一弹丸在飞行到距离地面5m高时仅有水平速度v=2m/s,爆炸成为甲、乙两块水平飞出,甲、乙的质量比为3∶1,不计质量损失,取重力加速度g=10m/s2,则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是(　　)

【解析】选B。弹丸水平飞行爆炸时,在水平方向只有内力作用,外力 为零,系统水平方向动量守恒,设m乙=m,m甲=3m,则爆炸前p总=(3m+m)v =8m,而爆炸后两弹片都做平抛运动,由平抛规律可得：竖直方向为自 由落体运动,h= gt2,解得t=1s;水平方向为匀速直线运动,x=vt,选项 A：v甲=2.5m/s,v乙=0.5m/s(向左),p′合=3m×2.5+m×(-0.5)=7m,不 满足动量守恒,选项A错误;选项B：p′合=3m×2.5+m×0.5=8m,满足动 量守恒,选项B正确;同理,选项C：p′合=3m×2+m×1=7m,选项D：p′合 =3m×2+m×(-1)=5m,C、D均错误。

【加固训练】(2013·重庆高考)在一种新的“子母球” 表演中,让同一竖直线上的小球A和小球B,从距水平地 面高度为ph(p>1)和h的地方同时由静止释放,如图所示。 球A的质量为m,球B的质量为3m。设所有碰撞都是弹性 碰撞,重力加速度大小为g,忽略球的直径、空气阻力及 碰撞时间。

(1)求球B第一次落地时球A的速度大小。 (2)若球B在第一次上升过程中就能与球A相碰,求p的取值范围。 (3)在(2)情形下,要使球A第一次碰后能到达比其释放点更高的位置,求p应满足的条件。

【解析】(1)对B球第一次下落过程,由动能定理得 3mgh = ×3mv02 解得v0= 此时A、B两球的速度相同,即v1=

(2)B球第一次下落所用时间为t0,则有h= gt02 落地后,B上升,A下降,A下落至B球释放位置时所用时间为t′,则有 ph-h= gt′2 结合题意：0<t′<2t0 解得1<p<5

(3)两球相碰时动量、机械能守恒： 3mvB-mvA=mv′A+3mv′B mvA2+ ×3mvB2= mv′A2+ ×3mv′B2 设两球相碰处距B球释放点的高度差为h′,则

A球能到达比释放点更高的位置时应满足：v′A>vA 设A球释放到两球相碰经历时间为T,则 ph-h+h′= gT2,对B球,2t0- =T 联立以上各式解得1<p<3 答案：(1)　 (2)1<p<5　(3)1<p<3

考点4　实验：验证动量守恒定律 1.实验时应注意的几个问题： (1)前提条件：碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”。 (2)四种方案提醒。 ①若利用气垫导轨进行实验,调整气垫导轨时,注意利用水平仪确保导轨水平。 ②若利用摆球进行实验,两小球静放时球心应在同一水平线上,且刚好接触,摆线竖直,将小球拉起后,两条摆线应在同一竖直平面内。

③若利用长木板进行实验,可在长木板下垫一小木片用以平衡摩擦力。 ④若利用斜槽进行实验,入射球质量要大于被碰球质量,即：m1>m2,防止碰后m1被反弹。 (3)探究结论：寻找的不变量必须在各种碰撞情况下都不改变。

2.对实验误差的分析： (1)系统误差：主要来源于装置本身是否符合要求,即： ①碰撞是否为一维碰撞。 ②实验是否满足动量守恒的条件,如气垫导轨是否水平,两球是否等大,长木板实验是否平衡掉摩擦力等。

(2)偶然误差：主要来源于质量m和速度v的测量。 (3)减小误差的措施。 ①设计方案时应保证碰撞为一维碰撞,且尽量满足动量守恒的条件。 ②采取多次测量求平均值的方法减小偶然误差。

【典例5】(2014·新课标全国卷Ⅱ)现利用图甲所示的装置验证动量守恒定律。在图甲中,气垫导轨上有A、B两个滑块,滑块A右侧带有一弹簧片,左侧与打点计时器(图中未画出)的纸带相连;滑块B左侧也带有一弹簧片,上面固定一遮光片,光电计时器(未完全画出)可以记录遮光片通过光电门的时间。

实验测得滑块A的质量m1=0. 310kg,滑块B的质量m2=0. 108kg,遮光片的宽度d=1 实验测得滑块A的质量m1=0.310kg,滑块B的质量m2=0.108kg,遮光片的宽度d=1.00cm;打点计时器所用交流电的频率f=50.0Hz。 将光电门固定在滑块B的右侧,启动打点计时器,给滑块A一向右的初速度,使它与B相碰。碰后光电计时器显示的时间为ΔtB=3.500ms,碰撞前后打出的纸带如图乙所示。

若实验允许的相对误差绝对值( ×100%)最大为 5%,本实验是否在误差范围内验证了动量守恒定律?写出运算过程。

【解题探究】 (1)如何求滑块A碰撞前后的速度? 提示：滑块A碰撞前后的速度由v= 求得。 (2)如何求滑块B的速度? 提示：滑块B的速度可由v2= 解得。 (3)怎样才能说明验证了动量守恒定律? 提示：若δ= ×100%<5%,则可验证动量守恒定律。

【解析】纸带上打出的相邻点的时间间隔 Δt= =0.02s 根据v= 可计算出滑块A碰撞前后的速度 v0=2.00m/s,v1=0.970m/s 滑块A、B碰撞后滑块B的速度 v2= =2.86m/s

两滑块碰撞前后的总动量 p=m1v0=0.310×2.00kg·m/s=0.620 kg·m/s p′=m1v1+m2v2=0.610kg·m/s 两滑块碰撞前后总动量相对误差绝对值为 δ= ×100%=1.6%<5% 因此,本实验在误差允许范围内验证了动量守恒定律。 答案：见解析

【总结提升】利用斜槽小球碰撞验证动量守恒的注意事项 (1)斜槽末端的切线必须水平。 (2)入射小球每次都必须从斜槽同一高度由静止释放。 (3)选质量较大的小球作为入射小球。 (4)实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持不变。

【变式训练】(2015·济宁模拟)某同学用如图 所示装置探究A、B两球在碰撞中动量是否守恒。 该同学利用平抛运动测量两球碰撞前后的速度, 实验装置和具体做法如下。图中PQ是斜槽,QR为 水平槽。实验时先使A球从斜槽上某一固定位置G由静止开始滑下,落 到位于水平地面的记录纸上,留下痕迹。重复上述操作10次,得到10个 落点痕迹。再把B球放在水平槽上靠近槽末端的地方,让A球仍从位置G

由静止开始滑下,和B球碰撞后,A、B球分别在记录纸上留下各自的落点痕迹。重复这种操作10次,并画出实验中A、B两小球落点的平均位置。图中O点是水平槽末端R在记录纸上的垂直投影点。其中米尺水平放置,且平行于G、R、O所在的竖直平面,米尺的零点与O点对齐。

(1)为了使两球碰撞为一维碰撞,所选两球的直径关系为A球的直径 　　　　(选填“大于”“等于”或“小于”)B球的直径;为减小实 验误差,在两球碰撞后使A球不反弹,所选用的两小球质量关系应为mA 　　　　mB(选填“小于”“大于”或“等于”)。

(2)在以下选项中,哪些是本次实验必须进行的测量?答：　　　　(填选项号)。 A.水平槽上未放B球时,测量A球落点位置到O点的距离 B.A球与B球碰撞后,测量A球与B球落点位置到O点的距离 C.A球和B球在空中飞行的时间 D.测量G点相对于水平槽面的高度

(3)已知mA和mB,E、F、J是实验中小球落点的平均位置,请你根据该同 学实验中所选小球和实验的记录纸判断,A球没有碰撞B球时的落点是 　　　　点(在E、F、J三个落点中选填),A球与B球碰撞后A球的落点 是　　　　点(在E、F、J三个落点中选填)。该同学通过实验数据说 明在实验中A、B两球碰撞中动量守恒,请你用图中的字母写出该同学 判断动量守恒的表达式是　　　　。

【解析】(1)为使两球碰撞为一维碰撞,两球直径应相等,为使入射球不反弹,入射球质量应大于被碰球质量,即mA大于mB。 (2)因为用A、B球飞出的距离代表飞行速度,故A、B项是必须进行的测量。A球、B球在空中的飞行时间相同,不必测量,C项错。A球的平抛速度用距离代表,D项不必测量。

(3)由实验过程可知,A球单独飞行时的落点为F,A、B球碰后,A球的落点是E点,验证动量守恒的表达式是 mAOF=mAOE+mBOJ 答案：(1)等于　大于　(2)A、B (3)F　E　mAOF=mAOE+mBOJ

【加固训练】如图,用“碰撞实验器”可以验证动量守恒定律,即研究两个小球在轨道水平部分碰撞前后的动量关系。

(1)实验中,直接测定小球碰撞前后的速度是不容易的。但是,可以通过仅测量　　　(填选项前的符号),间接地解决这个问题。 A.小球开始释放高度h B.小球抛出点距地面的高度H C.小球做平抛运动的射程

(2)图中O点是小球抛出点在地面上的垂直投影,实验时先让入射球m1多次从斜轨上S位置静止释放,找到其平均落地点的位置P,测出平抛射程OP,然后,把被碰小球m2静置于轨道的水平部分,再将入射球m1从斜轨上S位置静止释放,与小球m2相碰,并多次重复。

接下来要完成的必要步骤是　　　　　　　　　。(填选项前的符号) A.用天平测量两个小球的质量m1、m2 B.测量小球m1开始释放高度h C.测量抛出点距地面的高度H D.分别找到m1、m2相碰后平均落地点的位置M、N E.测量平抛射程OM、ON

(3)若两球相碰前后的动量守恒,其表达式可表示为　　　　　　　  　　　　　[用(2)中测量的量表示];若碰撞是弹性碰撞,那么还应满足的表达式为　　　　　　　　　　[用(2)中测量的量表示]。

(4)经测定,m1=45.0g,m2=7.5g,小球落地点的平均位置距O点的距离如 图所示。碰撞前后m1的动量分别为p1与p1′,则p1∶p1′=　　　∶ 11。若碰撞结束时m2的动量为p2′,则p1′∶p2′=11∶　　　。实验 结果说明,碰撞前后总动量的比值 为　　　。

(5)有同学认为,上述实验中仅更换两个小球的材质,其他条件不变,可以使被碰小球做平抛运动的射程增大。请你用(4)中已知的数据,分析和计算出被碰小球m2平抛运动射程ON的最大值为　　　cm。

【解析】(1)在落地高度不变的情况下,水平位移就能反映平抛初速度的大小,所以,仅测量小球做平抛运动的射程就能间接地测量速度。因此选C。 (2)找出平均落地点的位置,测量平抛的水平位移,因此必须有的步骤是D、E,且先D后E,至于用天平测质量先后均可。所以答案是ADE或DAE或DEA。

(3)设落地时间为t,则　　　　　　　　　　　　　动量守恒的表达 式是m1v1=m1v′1+m2v′2,动能守恒的表达式是 所以若两球相碰前后的动量守恒,则m1·OM+m2·ON=m1·OP成立,若碰 撞是弹性碰撞,动能守恒,则m1·OM2+m2·ON2=m1·OP2成立。

(4)碰撞前后m1动量之比

(5)发生弹性碰撞时,被碰小球获得的速度最大,根据动量守恒和动能 守恒,m1v1=m1v′1+m2v′2, 　 联立解得v′2= 　　因此,最大射程为 ×44.80cm=76.80 cm

答案：(1)C　(2)ADE或DAE或DEA (3)m1·OM+m2·ON=m1·OP m1·OM2+m2·ON2=m1·OP2 (4)14　2.9　1～1.01均可　(5)76.80

【资源平台】备选角度：动量守恒中的临界问题 【典例】如图所示,滑块A、C质量均为m,滑块B质量为 m。开始时 A、B分别以v1、v2的速度沿光滑水平轨道向固定在右侧的挡板运动, 现将C无初速度地放在A上,并与A粘合不再分开,此时A与B相距较近, B与挡板相距足够远。若B与挡板碰撞将以原速率反弹,A与B碰撞后将 粘合在一起。为使B能与挡板碰撞两次,v1、v2应满足什么关系?

【规范解答】设向右为正方向,A与C粘合在一起的共同速度为v′, 由动量守恒定律得mv1=2mv′　 ① 为保证B碰挡板前A未能追上B,应满足v′≤v2　 ② 设A、B碰后的共同速度为v″, 由动量守恒定律得2mv′- mv2= mv″ ③ 为能使B与挡板再次相碰应满足v″>0　 ④ 联立①②③④式解得1.5v2<v1≤2v2或 v1≤v2< v1 答案：1.5v2<v1≤2v2或 v1≤v2< v1