第2章 质点动力学 Chap.2 Kinetics

本章要点 动量、冲量、动量定理与动量守恒定律 质点的角动量、角动量定理与角动量守恒 动能、势能、机械能 动能定理、功能原理与机械能守恒

2.1 牛顿运动定律 牛顿运动三定律 基本力简介 牛顿定律的应用 动力学中的两类基本问题

牛顿第一定律（Newton's first law）： 1.牛顿运动三定律 牛顿第一定律（Newton's first law）： 任何物体都将保持静止或沿一直线作匀速运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态。 惯性(inertia) 惯性参照系的概念 牛顿 Issac Newton （1642－1727） 力(force)： 物体间相互作用，是改变速度的原因。

牛顿第二定律（Newton's second law）： “运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。” “运动的量是用速度和质量一起来度量的”。 动量(momentum)： 理解要点： （1） 质点 惯性系 （2） m 不变时， （3） 瞬时性 矢量性 （4）力为合力，

牛顿第三定律（Newton's third law）： “每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者说，两个物体之间的相互作用永远大小相等，方向相反。” （1）作用力和反作用力同时存在。 （2）分别作用于两个物体上，不能抵消。 （3）属于同一种性质的力。

2.基本力简介 宏观领域显著； 微观领域强度很弱，仅为电磁力的1/1040 万有引力： 电磁力： 除万有引力外，几乎所有宏观力都是电磁力。 长程力。 强力： 原子核内的短程力，其强度是电磁力的百倍。 力程约为10-15m 弱力： 存在于基本粒子之间，强度只是强力的1/1013 。 力程约为10-17m

解 3.牛顿定律的应用 动力学中的两类基本问题 第一类问题：已知质点的运动规律，即已知质点的运动学方程r = r(t)，求作用于质点的力。 对时间求二阶导数（加速度） 作用于质点的力. 例2-1 . 一个质量为m的质点在xy平面上运动，运动方程为： 式中A、B、w为常数，求物体受到的作用力。 解

第二类问题：已知作用于质点的力和初始条件，求质点的运动现律。 据受力情况来定： 如果力是恒力，用“隔离体法”直接求解； 如果力是时间、速度的函数，对动力学方程分离变量后积分； 如果力是坐标的函数，则需先作变量变换，再利用分离变量求积分。

例2-2 如图所示，质量为m的均匀细绳长度为l，将其一端固定，另一端绕固定端在光滑水平面上以匀角速度w旋转。设绳子不可伸长，试求距固定端半径为r处绳中的张力。 解 w dx O x dx T T+dT

例2-3 质量为m的轮船在停靠码头之前停机，这时轮船的速率为v0。设水的阻力与轮船的速率成正比，比例系数为k，求轮船在发动机停机后所能前进的最大距离。 解一 （负号表示力和速度的方向相反 ）

解二 （负号表示力和速度的方向相反 ） 变换 ： 设所能前进的最大距离为L：

2.2 动量守恒 质点的动量定理 质点系的动量定理 动量守恒定律 质心 质心运动定理

1.质点的动量定理 将一个实际问题（对应一个有限过程）分解为无限多个无限小的过程（元过程），通过对其中一个一般的元过程的研究得到结论，并将该结论对整个有限的过程进行叠加（积分），从而得到问题的解，这是物理学研究问题的一般方法。 将牛顿第二定律改写为： 式中乘积Fdt表示力F在dt时间内的积累，称为在dt时间内质点所受合外力F的冲量。上式表明，质点所受合外力在dt时间内的冲量等于同一时间内质点动量的增量，也称为动量定理的微分形式 。 如果整个过程持续的时间为从t0时刻到t时刻，我们将上述结论对整个过程进行叠加得到：

令： ，表示力F 在t0 到 t 内的冲量（impulse） 动量定理的积分形式 通常情况下，冲量的方向与动量的方向不相同，而是与动量增量的方向相同。矢量三角形。 p p0 I

冲量和动量都是矢量，可以将动量定理在直角坐标系中进行分解，得到的分量式为： F 冲力（impulsive force） t 平均冲力常用来估算碰撞、冲击过程中的作用力。 t0 t

设你的小腿骨能承受的平均冲击力约为你重量的n倍，你落下后和地面的接触时间为Dt秒，问，你从多高跳下是安全的？ 思考题： 设你的小腿骨能承受的平均冲击力约为你重量的n倍，你落下后和地面的接触时间为Dt秒，问，你从多高跳下是安全的？ 设你从高度h处落下，落地瞬间，你的速度v为 令：Favg = nmg

2.质点系的动量定理 由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。 将牛顿第二定律应用在由两个质点组成的质点系上： m2 m1

系统所受外力的矢量和等于系统总动量对时间的变化率。 推广到N个质点所组成的质点系的情况 ： 质点系动量定理的微分形式 系统所受外力的矢量和等于系统总动量对时间的变化率。 外力可以改变系统的总动量，而内力不会影响系统的总动量，但是内力可以使系统内部各质点之间进行动量交换。

当一个质点系所受外力的矢量和为零时，该质点系的动量就保持不变-------动量守恒定律。 3.动量守恒定律 如果质点系所受外力的矢量和为零 ，即： 则： 当一个质点系所受外力的矢量和为零时，该质点系的动量就保持不变-------动量守恒定律。

由于力和动量都是矢量，因此动量守恒定律在直角坐标系中可以表示为： 合外力等于零全过程都要满足 适用于宏观与微观，低速与高速 近似条件：内力远大于外力时 在某一个方向的合外力等于零时，这个方向的动量也守恒

例2-4 质量为m的匀质柔软链条，全长为L，手持一端，使下端离地面的高度为h，然后由静止释放，让其自由下落到地面。求链条落在地面上的长度为L/3时，地面所受链条的作用力大小 。 解 L 链条落到地上l 后，其速度大小为v，考虑此时的一元过程：在dt时间内，落下一小段dl，其速度大小由v变为0。设此时地面对链条冲力的大小为 f，向下的方向为正方向，由动量定理得： L-l h +

地面受到链条的作用力为 f 的反作用力和重力的和，设为F： 其大小为： 当链条落在地面上的长度为L/3时：

+ 解 例2-5 不考虑空气的阻力并将重力看作恒力，分析火箭上升过程中速度大小的变化。 例2-5 不考虑空气的阻力并将重力看作恒力，分析火箭上升过程中速度大小的变化。 + 解 考虑某一时刻，火箭和燃料的总质量及速度分别为：m，v，考察此时的一个元过程：经dt时间后，火箭以对地喷射速度u喷射|dm|的燃料，同时火箭速度为v＋dv，对该元过程应用动量定理得： 令： 表示燃料相对火箭的喷射速度，又称喷气速度 ，由火箭的发动机决定，方向向下。

令竖直向上方向为正方向， 则： 设发射的一瞬间，火箭和燃料的总质量为M0，燃料喷射完后，火箭的质量为Mf ，速度大小为v，经历的时间为tf

4.质心 质心运动定理 质心的定义 考察有N个质点组成的质点系，找到一个与质点系关联的点C，使质点系的总质量与这个点的速度之积等于质点系的总动量，则该点称为质点系的质心

质心运动定理 质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量M，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和-----质心运动定理。

2.3 角动量守恒 质点的角动量 质点的角动量守恒定律

1.质点的角动量（Angular Momentum） 质点的角动量（也称为动量矩）定义： o r d a

力矩： 质点的角动量定理 ——质点对任一固定点的角动量的时间变化率，等于质点所受的合外力对该固定点的力矩。 微分形式： 积分形式：

2.质点的角动量守恒定律 当 ，即L是个常矢量. 质点的角动量守恒定律——若质点所受的合外力矩对某固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。 在有心力场中运动的质点，其角动量是守恒的。如在万有引力作用下，地球绕太阳的公转运动等。

解 例2-7 试证明太阳系中某行星绕太阳公转时，该行星和太阳的连线单位时间扫过的面积是相等的（开普勒第二定律）。 例2-7 试证明太阳系中某行星绕太阳公转时，该行星和太阳的连线单位时间扫过的面积是相等的（开普勒第二定律）。 解 dt 时间内矢径 r 扫过的有向面积为： r 用行星的质量m乘等式两边： 行星在有心力作用下，角动量守恒，故：

2.4 机械能守恒 功 功率 质点的动能定理 几种常见力的功 保守力 势能 质点系的动能定理和功能原理 机械能守恒 能量守恒定律 碰撞

1.功（Work） 功率（Power） 我们再从力对质点作用的空间过程考虑问题。 考察其中一个元过程，由于在此元过程中，位移趋于0，因而此元过程经历的时间也必然趋于0。  因此，可以认为该元过程的位移为一直线，此元过程中的力也可以看做恒力。 元功——任一元过程中力的功:

任意一个有限的过程都可以看作无限多的元过程的和，因此任意一个有限过程的功就是元功的和，这个和就是元功的积分： 直角坐标系中: 合力 的功： 功率——功对时间的变化率，表示做功的快慢，单位为瓦特（W）

2.质点的动能定理 用dr点乘牛顿第二定律得： 将上式两边对一个有限过程积分得： 状态量--------质点的动能： 质点的动能定理——作用在一个质点上的合力在一个过程中所做的功（过程量）等于质点始末状态动能（状态量）的增量。

3.几种常见力的功 （1）万有引力的功 ： 万有引力做功的特点：当质量m和M一定时，万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而与质点运动的具体路径无关 ！ 状态量：

y a b x （2）重力的功 ： m ha hb o 重力做功的特点：重力做功只与路径的始、末位置有关，与具体路径无关。  b hb 重力做功的特点：重力做功只与路径的始、末位置有关，与具体路径无关。 状态量：mgh+C

（3）弹簧弹力的功 ： m x m x o a b xa xb 弹簧的弹性力做功的特点：弹性力做功与具体路径无关。 状态量：

质量为m的质点在粗糙的水平面内运动，所受的滑动摩擦力为 f ，当质点沿着任意路径s从a点到b点时，摩擦力做的功： （4）摩擦力的功 ： 质量为m的质点在粗糙的水平面内运动，所受的滑动摩擦力为 f ，当质点沿着任意路径s从a点到b点时，摩擦力做的功： sab为从a点到b点的路径长度。 摩擦力做功的特点：不但与路径的起点、终点有关，而且与质点运动的具体路径也有关。 b a

保守力做功与路径无关： 4.保守力 力做功与具体路径无关------保守力（万有引力、重力、弹性力、静电场力 ）； 力做功与具体路径有关------非保守力（摩擦力）。 b 保守力做功与路径无关： c d a

5.势能（Potential Energy） 功是能量变化的量度，由保守力做功的特点可知，在保守力场中，质点在不同的位置具有不同的能量状态。因此，保守力场中储藏着一种能量，这种能量是位置的函数。我们将与位置有关的能量称为势能或位能，用Ep表示。 任意假定保守力场中某点，如r = r0，为势能零点，则任意一点r处的势能为： 即保守力从某点出发，沿任意路径积分到势能为零的位置，就是该点的势能。

我们将前述的状态量定义为势能，则： 万有引力势能： ，r＝∞处取为势能零点 重力势能： ，h＝0处取为势能零点 弹簧弹性力势能： ，弹簧自然伸长处（x＝0）处取 为势能零点 保守力的功与势能变化的关系为：

关于势能的几个问题： 1.势能与保守力做功紧密相连，保守力做正功，势能减少，动能增加；保守力做负功，势能增加，动能减少。 2.势能的数值是相对的，势能的大小与势能零点的选取有关，零点选取不同，势能的多少也不同。从它们的函数形式看，万有引力势能、重力势能和弹性势零点能都有天然的坐标与其对应。 虽然势能的零点是可以随意取的，但是度量势能零点的坐标改变时，可能导致势能的函数形式改变。 3.势能是属于系统的，而不属于系统中个别质点。 4.系统的势能与参考系无关。保守力场中某点的势能实际就是该点与零势能点之间的差值。而势能只与这两点的位置有关，这两点的位置与参考系的选取是无关的。

解 x 例2-8 对于重力场中的竖直弹簧振子，当取振子的平衡位置为弹性势能和重力势能的共同零点时，则振子在任意位置的势能和是多少？ 例2-8 对于重力场中的竖直弹簧振子，当取振子的平衡位置为弹性势能和重力势能的共同零点时，则振子在任意位置的势能和是多少？ 解 x 振子的势能包括弹簧的弹性势能和重力势能。振子平衡时，弹簧伸长为a。 a>0 o 该结论可简化对竖直弹簧振子能量问题的讨论

6.质点系的动能定理和功能原理 N个质点组成的质点系，将质点的动能定理应用于第i个质点： 质点系的动能定理——系统的外力功和内力功的和等于系统总动能的增量。

系统内力的功： 内力总是成对出现的，且大小相等，方向相反。设一对内力 fij 和 fji 分别作用于质点 i 和质点 j 上，位移为dri 和 drj ，这对内力的功： 由于一对内力的作用点的位移一般并不相等，作用力和反作用力的功并不能相互抵消，成对的内力对系统的动能贡献一般不为零。 系统的内力可分为保守内力和非保守内力，则内力的功：

质点系的功能原理： 系统的机械能 质点系的功能原理——外力的功和系统内非保守内力的功的和等于系统机械能的增量。

7.机械能守恒 如果： 那么： 机械能守恒定律——若作用于系统的外力的功与非保守内力功的和为零，则系统的机械能是个常数。

8.能量守恒定律 对一个孤立系统来说，在系统内部能量相互转换过程中，一种形式能量的减少，必有另一种形式的能量等量地增加，反之亦然。系统内的各种形式能量总和是一守恒量，不论系统内发生何种变化，能量既不会消失，也不会创造，它只能从一种形式转变为另一种形式----能量转换和守恒定律。

解 L x x s L 本题中，物体受到的摩擦力是变力，摩擦力做负功，使得物体的速度变小，最后停止。分析物体所受摩擦力的变化，可分为两段： 例2-9 传送机将长为L、质量为m的柔软均质物体以初速度vo通过滑道向右送上水平台面，物体前端在台面上滑动s距离后停下来。设滑道的摩擦可不计，物体与台面间的摩擦系数为m，而且s>L。试计算物体的初速度vo. L x x s L 解 本题中，物体受到的摩擦力是变力，摩擦力做负功，使得物体的速度变小，最后停止。分析物体所受摩擦力的变化，可分为两段：

L x x s L 在物体停止运动前，摩擦力做功为：

9.碰撞 碰撞（collision） 当两个质点或两个物体相互接近时，在较短的时间内通过相互作用，它们的运动状态发生了显著的变化的现象。在微观领域内，这种现象称之为散射（scatterring）。 两球在碰撞前的速度在两球球心的连线上，那么，碰撞后的速度也都在这一连线上，这种碰撞称为对心碰撞或正碰(direct impact)

碰撞定律 完全非弹性碰撞（perfect inelastic collision）：e＝0 完全弹性碰撞（perfect elastic collision）： e＝1 非弹性碰撞（inelastic collision）： 0 < e < 1

完全弹性碰撞 （1） （2）

完全非弹性碰撞 e＝0，DE 最大。故完全非弹性碰撞，动能损失最大 e＝1，DE ＝ 0。故完全弹性碰撞，动能守恒

斜碰（oblique inpact）

例2-10 一质量为m的中子与一质量为M的静止原子核在一平面内作完全弹性碰撞，如果中子的初始动能为E0，证明在碰撞过程中对心碰撞时中子动能的损失最大，并求出中子损失的最大动能。 解 (1) (2) (3)

(1)式移项平方得： (2)式平方得： 上两式相加得： (3)式移项乘2m得： 上两式相减整理得：

显然： ，即 时 此时：j ＝ 0（m > M） j ＝ p（m < M）