数学课堂教学研究与 教师专业发展 鲍建生 华东师范大学数学系 jsbao@math.ecnu.edu.cn

一、教师成为研究者 20世纪80年代以来，教师教育出现了一种“反思性转向”。以美国为开端，关于反思的讨论迅速在教师教育界兴起。这种讨论的结果就是形成了“教师即研究者”（ Elliott， 1990）的理念，也就是说，教师不应只是他人研究成果的消费者，更应成为研究者。 技术型教师（Teacher as technician） 研究型教师（Teacher as researcher）

教与学在课堂中的统一 学 课堂 教 教材教法 学习理论 教学内容的理解 学习过程的理解 教学经验 理论模型 焦点：老师如何教？ 焦点：学生如何学？ 课堂

学习理论的建构 理论建构的第一条途径： 理论建构的第二条途径： 数学教学情境 一般学习 理论 数学学习 理论 特殊化 反思 数学学习 中的问题 数学学习 理论 一般化 解决问题 的模型 教学经验

理论与经验的互动 经验 理论 建构 解释 源于实践； 实用； 个人化； 嵌于特定的情境之中； 比较模糊，不易表征、把握和传授； 难以跨领域的交流。 支持预测； 为研究提供分析框架； 具有解释的能力； 能应用于广泛的现象； 有助于对复杂现象的思考； 作为资料分析的工具； 提供一种深层次交流的语言。

研究风格的转变 走进课堂，解决教与学中的实际问题！ 自上而下（演绎法）→自下而上（归纳法） 定性研究→定量研究→混合研究 教育学方法（望远镜） →心理学方法（显微镜） →数学教育研究方法（？） 理论研究（改变理论） →实证研究（检验假设） →行动研究/教学实验（解决问题，改变行为） 走进课堂，解决教与学中的实际问题！

教师专业成长与知识结构变化 经验型教师 新手型教师 专家型教师 原理知识（学科的原理、规则，一般教学法知识） 案例知识（学科教学的特殊案例、个别经验） 策略知识（运用原理于案例的策略，核心是反思）

教师专业发展的焦点: (1) PCK 学科教学知识 教学推理 内容知识 学习者知识 背景知识 一般教学法 课程知识 教育目标 理解 转化 评价 反思 新理解

PCK的核心成分 PCK的成分 指 标 学科最核心、最有价值的知识 知识间的联系 学生在学习某一知识过程中容易误解和混淆的问题 指 标 学科最核心、最有价值的知识 学科本身最核心、最基本的知识 学科的思想、方法、精神和态度 对学生今后学习和发展最有价值的知识 知识间的联系 某一知识在整个学科体系中的地位和作用 上位知识与下位知识的联系 新旧知识间的联系 所学知识与儿童生活、经验的联系 学生在学习某一知识过程中容易误解和混淆的问题 哪些知识学生易解，教师可以少讲、不讲或让学生自学？ 哪些问题是学生容易混淆或难以理解的？ 学生常见的错误是什么？如何辨析和纠 正？ 如何将特定的知识呈现给不同学生的策略 如何做学情调查，了解不同学生的认知基础、认识方式与差异 呈现方式多样化策略的选择与应用 对呈现效果的检测与反馈

用于教学的数学知识分布图（Ball等，2008） (2) MKT 教学内容知识 学科知识 内容与学生的知识 KCS 一般的 内容知识 CCK 专门的 内容知识 SCK 内容与课程的知识 KCC 横向的内容知识 HCK 内容与教学的知识 KCT 用于教学的数学知识分布图（Ball等，2008）

二、课堂教学研究的视角

(一) 分析学生的认知过程 基本问题: 认知水平 可以分几个水平； 学生目前处于什么水平； 如何从低水平过渡到高水平。 困难与错误 类型； 成因。 教学对策

例1：范希尔的几何思维水平 在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（Freudenthal, 1958）。范希尔夫妇（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于1957年在乌特勒克大学共同完成的博士论文上。

几何思维水平的划分 水平 描 述 直观 分析 儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）； 描 述 直观 儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）； 能画图，使用标准或不标准名称描述几何图形； 能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述。 分析 儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性； 利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义； 能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。

几何思维水平的划分（续） 水平 描述 非形式的演绎 形式的演绎 严密 学生能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论 但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。 形式的演绎 学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件； 能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式； 能理解证明中的必要与充分条件；能写出一定理的逆定理。 严密 能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。

范希尔理论的特点 次序性：几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺利发展，必须具有前一水平的各个概念和策略。也就是说，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达第n层次。 进阶性：学生几何思维水平的提升是经由教学，而不是随年龄成长或心理成熟自然而然的。没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一水平。 内隐性及外显性：某一水平的内隐性质成为下一水平的外显性质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上通过外显的表征工具(如符号)而得到澄清。 语言性：每一层次都有其专属的阶段性语言符号。 不适配性：如果学生的思维处于一个水平,而教师的教学处于另一个水平,那么就不可能取得预期的教学效果. 尤其是当教师的教材内容、教具选择及语汇使用均属于较高层次时，学生将无法理解、思考其过程与结果。

范希尔理论的应用 评价方面：编制范希尔几何思维水平测试卷，测量我国学生的几何思维水平并进行差异性分析； 课程方面：按照学生实际的几何思维水平，确定教学目标、内容和顺序； 教学方面：根据学生所在的几何思维水平的特征进行针对性的教学，帮助学生从较低层次过渡到较高层次； 研究方面：确定其他数学教学内容的思维层次，如代数，概率、统计等。

例2：认知(能力)水平的检测 项目反映理论 (IRT)

(二) 分析课堂教学过程 基本问题: 教学模式与形式 课堂结构与特征 教学机智与方法 典型问题与事件 传统经验与创新

研究方法与工具 研究视角 分析框架 指标体系 编码方案 分析工具 效度与信度的认证与检验 实际问题

例2：APOS理论 同化与顺应 图式 （Schema） 压缩 对象 （Object） 内化 过程 （Process） 操作 （Action）

APOS研究的三个基本环节 对某个特定数学概念运用APOS理论进行任务分析； 在理论分析的基础上发展和应用一系列的教学设计（其中包括一些非标准的教学策略，如合作学习、计算机辅助教学等）； 收集和分析测试的数据以便修改原先的理论分析和教学设计。

APOS理论的应用 APOS理论有两个方面的作用： 提供有效的教学设计。例如，Asiala et al. (1997) 和 Repo (1996)都发现，利用APOS理论设计的微积分课程显著优于传统的课程。 用于分析学生的理解。例如，Santos与Thomas (2003)构建了一个微积分知识的表征框架，在这个框架中，他们把符号表征、图像表征和数表征进一步划分为以下几个类型：程序定向型（procedure-oriented）、过程定向型（process-oriented）、对象定向型（object-oriented）和概念定向型（concept-oriented）。

例3：中国特色数学教育的六个特征 重视新课“导入”设计 实行有效的“尝试教学” 大班级上进行师生互动 开创数学思想方法教学 变式方法引领练习 熟能生巧推动创新 —— 张奠宙（2009）

例4：熟能生巧的理论思考 熟能生巧， 是中国文化传统的组成部分，也是中国数学教育重要理念之一。 记忆通向理解 速度赢得效率 严谨形成理性 重复依靠变式 ——张奠宙：《中国数学双基教学》

例5：对传统教学经验的梳理 青浦实验（如变式教学） GX实验 基本图形分析法 上海育才的“读读、议议、练练、讲讲”（段力佩 ） 理论模型 挖掘和提炼优秀的教学经验 梳理国内外的学习理论研究成果 青浦实验（如变式教学） GX实验 基本图形分析法 上海育才的“读读、议议、练练、讲讲”（段力佩 ） 李庾南的“自学、议论、引导”教学法 孙维刚的 “结构教学法” 邱学华的“尝试教学法” 马明、陈振宣、赵宪初、吴正宪、杨象富等大批的名师和不知名的优秀教师 理论模型 研究课题 研究方法 解释 建构 新的 模型

例6：存在的问题 小步子：学生缺少数学探究的机会 赶进度：学生缺少数学探究的空间 套题型：学生缺少数学探究的意识 重技巧：学生缺少数学探究的策略 看分数：学生缺少数学探究的动力 牵着走：学生缺少数学探究的氛围

谢 谢 ！