—— matlab 具有出色的数值计算能力,占据世界上数值计算软件的主导地位
数值运算的功能 创建矩阵 矩阵运算 多项式运算 线性方程组 数值统计 线性插值 函数优化 微分方程的数值解
一、命令行的基本操作 创建矩阵的方法 直接输入法 规则: 矩阵元素必须用[ ]括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 矩阵元素必须用[ ]括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在[ ]内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔
》a=1; b=2; c=3; 》x=[5 b c; a*b a+c c/b] x= 5.000 2.000 3.000 2.000 4.000 1.500 》y=[2, 4, 5; 3 6 8] y= 2 4 5 3 6 8
矩阵元素 a=[1 2 3;4 5 6] x=[2 pi/2; sqrt(3) 3+5i] 矩阵元素可以是任何matlab表达式 ,可以是实数 ,也可以是复数,复数可用特殊函数I,j 输入。大的矩阵可以用分行输入,回车键代表分号。 a=[1 2 3;4 5 6] x=[2 pi/2; sqrt(3) 3+5i]
符号的作用 逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的分隔符,matlab允许多条语句在同一行出现。 分号如果出现在指令后,屏幕上将不显示结果。
注意:只要是赋过值的变量,不管是否在屏幕上显示过,都存储在工作空间中,以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复,否则会覆盖 。 当一个指令或矩阵太长时,可用•••续行
冒号的作用 用于生成等间隔的向量,默认间隔为1。 用于选出矩阵指定行、列及元素。 循环语句
2.用matlab函数创建矩阵 空阵 [ ] — matlab允许输入空阵,当一项操作无结果时,返回空阵。 rand —— 随机矩阵 eye —— 单位矩阵 zeros ——全部元素都为0的矩阵 ones ——全部元素都为1的矩阵 diag ——产生对角矩阵
例 》eye(2,3) 》zeros(2,3) ans= ans= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 》ones(2,3) 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 》ones(2,3) ans= 1 1 1 1 1 1 》V=[5 7 2];A=diag(V) A= 5 0 0 0 7 0 0 0 2
例 》eye(2) ans= 1 0 0 1 》zeros(2) ans= 0 0 0 0 》ones(2) 1 1
例 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。 命令如下: x=20+(50-20)*rand(5) 此外,常用的函数还有reshape(A,m,n),它在矩阵总元素保持不变的前提下,将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。
也可用linspace函数产生行向量。其调用格式为: linspace(a, b, n) 例 》a=linspace(1 , 10 , 10) a= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
注意:matlab严格区分大小写字母,因此a与A是两个不同的变量。 还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵(magic)、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建,就不一一介绍了。 注意:matlab严格区分大小写字母,因此a与A是两个不同的变量。 matlab函数名必须小写。
3.用m文件创建矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵,可以为它专门建立一个M文件。下面通过一个简单例子来说明如何利用M文件创建矩阵。 例 利用M文件建立MYMAT矩阵。
(1) 启动有关编辑程序或Matlab文本编辑器,并输入待建矩阵。 (2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。 (3) 在Matlab命令窗口中输入mymatrix,即运行该M文件,就会自动建立一个名为MYMAT的矩阵,可供以后使用。
4.用冒号表达式创建矩阵 利用冒号表达式可以线性等间距地建立一个向量来创建矩阵 一般格式是:e1:e2:e3 其中e1为初始值,e2为步长,e3为终止值。 或者为:(start: step: end) 例 》a=[1:2:10] a= 1 3 5 7 9
5. 矩阵的修改 直接修改 可用键找到所要修改的矩阵,用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改 可以用A(,)= 来修改。
还可以用函数subs修改,matlab6.0还可用find函数修改。 例如 a=[1 2 0;3 0 5;7 8 9] a =1 2 0 3 0 5 7 8 9 a(3,3)=0 7 8 0 还可以用函数subs修改,matlab6.0还可用find函数修改。
二、数据的保存与获取 把Matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。 save —— 将工作空间中所有的变量存到matlab.mat文件中。 默认文件名
save data——将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。 save data a b ——将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。 下次运行Matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。
mat文件是标准的二进制文件,还可以ASCII码形式保存。 load —— load data —— load data a b —— mat文件是标准的二进制文件,还可以ASCII码形式保存。 即可恢复保存过的所有变量
三、矩阵运算 矩阵加、减(+,-)运算 规则: 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。
2. 矩阵乘()运算 规则: A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b c =14 32 23
d=[-1;0;2]; f=pi*d f = -3.1416 6.2832 矩阵除的运算在线性代数中没有,有矩阵逆的运算,在matlab中有两种矩阵除运算。
两种除法:\和/,分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵,则A\B和B/A运算可以实现。 A\B等效于A的逆左乘B矩阵,而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵。 对于矩阵来说,左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算,一般A\B≠B/A。
3. 矩阵乘方—— a^n,a^p,p^a a ^ p —— a 自乘p次幂 对于p的其它值,计算将涉及特征值 方阵 >1的整数 对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向量,如果p是矩阵,a是标量 a^p使用特征值和特征向量自乘到p次 幂;如a,p都是矩阵,a^p则无意义。
※当一个方阵有复数特征值或负实特征值时,非整数幂是复数阵。 a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150 ※当一个方阵有复数特征值或负实特征值时,非整数幂是复数阵。
a^0.5 ans = 0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i 1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i 1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i
4. 矩阵的其它运算 inv —— 矩阵求逆 det —— 行列式的值 eig —— 矩阵的特征值 diag —— 对角矩阵 ’ —— 矩阵转置 sqrt —— 矩阵开方
5. 矩阵的范数 矩阵范数的函数为: (1) norm(V)或norm(V,2):计算矩阵V的 2—范数。 (2) norm(V,1):计算矩阵V的1—范数。 (3) norm(V,inf):计算矩阵V的∞—范数。
6.矩阵的一些特殊操作 矩阵的变维 a=[1:12];b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:) 矩阵的变向 rot90:旋转; fliplr:左右翻; flipud:上下翻 矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;(对于非方阵的情况?) tril: 抽取主下三角; triu:抽取主上三角,然后其余补零元素 矩阵的扩展
关系运算 关系符号 意义 < <= > >= == ~= 小于 小于或等于 大于 大于或等于 等于 不等于
关系运算符的运算法则 当两个比较量是标量时,直接比较两数的大小。若关系成立,关系表达式结果为1,否则为0。 当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时,比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行,并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵,它的元素由0或1组成。
(3) 当参与比较的一个是标量,而另一个是矩阵时,则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较,并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵,它的元素由0或1组成。 注意:其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。
7. 矩阵的数组运算 与通常意义上的由符号表示的线性代数 矩阵运算不同。 数组加减(.+,.-) a.+b a.- b 数组运算指元素对元素的算术运算, 与通常意义上的由符号表示的线性代数 矩阵运算不同。 数组加减(.+,.-) a.+b a.- b 对应元素相加减(与矩阵加减等效)
2. 数组乘除(,./,.\) ab —— a,b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。 ans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10]; a*b ans = 25 37 46 25 37 46 55 85 109 85 133 172
a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元 素除, “/”是斜杠 a.\b=b./a — 都是b的元素被a的对应元 素除, “/”是斜杠 a.\b=b./a — 都是b的元素被a的对应元 素除, “\”是反斜杠 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000 —— 给出a,b对应元素间的商.
3. 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; z=a.^2 z = 3. 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂 例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; z=a.^2 z = 1.00 4.00 9.00 z=a.^b 1.00 32.00 729.00 (1 .^4 2 .^5 3 .^6)
四、 多项式运算 matlab语言把多项式表达成一个行向量, 该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=a0xn+a1xn-1+……an-1x+an 可用行向量 p=[a0 a1 …… an-1 an ]表示 poly —— 产生特征多项式系数向量 特征多项式一定是n+1维的 特征多项式第一个元素一定是1
例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的系数 matlab描述方法,我们可用: p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件,显示 数学多项式的形式 p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x – 27 注意:多项式中缺少的幂次用‘0’补齐。
2.roots —— 求多项式的根 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a) p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 r=roots(p)---------求由p构成的多项式的根 r = 12.12 -5.73 ——显然 r是矩阵a的特征值 -0.39
当然我们可用poly令其返回多项式形式(这是poly的第二个功能) p2=poly(r) p2 = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 matlab规定多项式系数向量用行向量表示,一组根用列向量表示。
P=poly(r),输入r是多项式所有根,返回值为代表多项式的行向量形式。 P=poly(A),输入是N*N的方阵,返回值p是长度为N+1的行向量多项式,它是矩阵A的特征多项式,也就是说多项式p的根是矩阵A的特征值。
求根的另一种方法 str1='x^3-6x^2-72x-27'; p1=str2poly(str1); r=roots(p1);
3.conv多项式乘运算(向量卷积) 例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6) a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c=conv(a,b)或c=conv([1 2 3],[4 5 6]) c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 p=poly2str(c,‘x’) 其中x表示自变量 p = 4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18
4.deconv多项式除运算(解卷积) a=[1 2 3]; c = [4.00 13.00 28.00 27.00 18.00] d=deconv(c,a) d =4.00 5.00 6.00 [d,r]=deconv(c,a) 余数 c除a后的整数 它们之间的关系为: c = conv(a,d)+r
5.多项式导数或微分 matlab提供polyder函数计算多项式的导数。 命令格式: polyder(p): 求p的导数 polyder(a,b): 求多项式a,b乘积的导数 [p,q]=polyder(a,b): 求多项式a除以b的商的导数,并以p/q的格式表示。
例:a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x') ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5 b=polyder(a) b = 4 6 6 4 poly2str(b,'x') ans =4 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 4
6.多项式的积分 matlab提供polyint函数计算多项式的积分。 命令格式: polyint(p,k): 求多项式p的积分,设积分的常数项为k, polyint(p) 默认k=0 例:a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x') ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5 b=polyint(a,8) b = 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 8.0 poly2str(b,'x') ans =0.2 x^5 + 0.5 x^4 + x^3 + 2 x^2 + 5 x + 8
五、代数方程组求解 matlab中有两种除运算左除和右除。 对于方程ax=b,a 为an×m矩阵,有三种情况: 述三种方程
1.恰定方程组的解 方程ax=b (a为非奇异) x=a-1 b 矩阵逆 两种解: x=inv(a)b — 采用求逆运算解方程 注:若a为奇异的,则Matlab适当给出警告信息或者给出结果为inf。 由线性代数我们知道A非奇异时,A的行列式不为0,此时方程的解是唯一的。 在实际应用中,除法解方程的速度要比求逆法快2.5倍精确度更高,明显优于求逆法,所以推荐尽量使用除运算,少用逆运算.
方程ax=b a=[1 2;2 3];b=[8;13]; x=inv(a)*b x=a\b x = x = 2.00 2.00 2.00 2.00 3.00 3.00 a x = b
2.超定方程组的解 方程的个数大于未知量个数时,方程一般无解。 方程解 (a ' a)x=a ' b x=(a‘ a)-1 a ’ b —— 求逆法 (也用到了最小二乘解的原理) x=a\b —— matlab用最小二乘法找一 个准确地基本解。
解1 x=a\b 解2 x=inv(a'a) a' b x = x = 1.00 1.00 0 0.00 1.00 1.00 0 0.00 = a x = b
3.欠定方程组的解 情况,有无穷多个解存在。 matlab可求出两个解: 用除法求的解x是具有最多零元素的解 当方程数少于未知量个数时,即不定 情况,有无穷多个解存在。 matlab可求出两个解: 用除法求的解x是具有最多零元素的解 是具有最小长度或范数的解,这个解是基于伪逆pinv求得的。
= a x = b x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2 a=[1 2 3;2 3 4];b=[1;2]; x=a\b x=pinv(a)b x = x = 1.00 0.83 0 0.33 0 -0.17 a x = b
六、微分方程求解 微分方程求解的仿真算法有多种,常用的有Euler(欧拉法)、Runge Kutta(龙 格-库塔法。
当给定仿真步长时: 所以 yn+1 = yn + h·f (xn,yn) n=0,1,2… y(x0)=y0
Runge Kutta法 龙格-库塔法:实际上取两点斜率 的平均 斜率来计算的,其精度高 于欧拉算法 。 龙格-库塔法:ode23 ode45 k1=hf(xn,yn) k2=hf(xn+h,yn+k1)
例:x+(x2-1)x+x=0 为方便令x1=x,x2=x分别对x1,x2求一 阶导数,整理后写成一阶微分方程组 形式 x1=x2 ·· · 例:x+(x2-1)x+x=0 为方便令x1=x,x2=x分别对x1,x2求一 阶导数,整理后写成一阶微分方程组 形式 x1=x2 x2=x2(1-x12)-x1 建立m文件 解微分方程 · · ·
建立m文件 function xdot=wf(t,x) xdot=zeros(2,1) xdot(1)=x(2) xdot(2)=x(2)*(1-x(1)^2)-x(1) 给定区间、初始值;求解微分方程 t0=0; tf=20; x0=[0 0.25]'; [t,x]=ode23('wf', t0, tf, x0) plot(t,x), figure(2),plot(x(:,1),x(:,2))
命令格式: [T,Y] = ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0) 建立m文件 function dxdt=wf(t,x) dxdt=[x(2);x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)]; 求解微分方程 [t,x]=ode23(@wf,[0 30],[0 0.25]); plot(t,x); figure(2) plot(x(:,1),x(:,2))
七、函数优化 寻优函数: fmin —— 单变量函数 fmins —— 多变量函数 constr —— 有约束条件 无约束条件
例1:f(x)=‘x2+3x+2’在[-5 5]区间的最小值 f=fmin('x^2+3*x+2',-5,5) 例2:f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2在x1=a, x2=a2处有最小值 function f=xun(x,a) f=100*(x(2)-x(1).^2).^2+(a-x(1)).^2; x=fmins('xun',[0,0],[ ],[ ],sqrt(2))
八、数据分析 数据分析相关的函数位于目录: toolboxs\matlab\datafun下 max —— 各列最大值 mean —— 各列平均值 sum —— 各列求和 std —— 各列标准差 var —— 各列方差 sort —— 各列递增排序 cumsum —— 元素累计和 cumprod —— 元素累计积
八、数据分析 数据分析相关的函数位于目录:toolboxs\matlab\datafun下。 max —— 各列最大值 mean —— 各列平均值 sum —— 各列求和 std —— 各列标准差 var —— 各列方差 sort —— 各列递增排序 cumsum —— 元素累计和 cumprod —— 元素累计积
例:x=[1 3 2 4],y=[1 2 3 8;5 6 7 4] sort(x),sort(y),max(y) >>1 2 3 4 5 6 7 8 >>5 6 7 8
九、拟合与插值 多项式拟合 采用最小二乘法对给定的数据进行多项式拟合,最后给出多项式的系数。 p=polyfit(x,y,n),采用n次多项式p来拟合数据x和y,从而使得y与p(x)最小均方差最小。
x0=0:0.1:1; y0=[-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22]; p=polyfit(x0,y0,3) p = 56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043 xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx); plot(xx,yy,'-b',x0,y0,'or')
曲线拟合图形用户接口 Matlab7.0提供了支持曲线拟合的图形用户接口。在“Figure”窗口“Tools\Basic Fitting”菜单中。 为了使用该工具,先用待拟合的数据画图。 x=0:0.2:10; y=0.25*x+20*sin(x); plot(x,y,'ro'); 在复选框“Plot fits”中选择“cubic”。
2.插值 插值的定义——是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。 当不能很快地求出所需中间点的函数时,插值是一个非常有价值的工具,它可以在已知数据之间寻找估计值,常用到信号处理和图像处理中。 Matlab提供了一维、二维、 三次样条等许多插值选择。
interp1——一维插值 interp2——二维插值 interp3——三维插值 spline——三次样条插值 griddata ——栅格数据插值 利用已知点确定未知点 粗糙—— 精确 集合大的—— 简化的
一维插值就是对一维函数y=f(x)进行插值。 yi=interp1(x,y,xi,method),x必须是向量,y可以是向量也可以是矩阵。(x,y)代表的是已知数据。这时,xi代表需要估计值的位置,yi表示插值后的估计值。method用于指定插值的方法: 1.method='nearest',在已知数据的最临近点设置插值点,对插值点的数进行四舍五入。对超出范围的点返回一个NaN。此方法是最快的插值方法,但数据平滑方面最差,其得到的数据是不连续的。
2.method='linear',采用直线连接相邻的两点,即线性插值,是此函数的缺省默认方法。执行速度比最临近插值稍慢,数据平滑要由于临近插值,且数据是连续的。 3. method='spline',采用三次样条函数来获得插值点。处理速度最慢,可以产生最光滑的结果。Matlab提供了一个样条插值工具箱,位于 toolbox\splines下。 4. method='pchip',采用分段三次埃尔米特多项式插值。
例:x=0:2*pi;y=sin(x);xi=0:0.1:8; yi1=interp1(x,y,xi, 'linear') yi2=interp1(x,y,xi, 'nearest') yi3=interp1(x,y,xi, 'spline') yi4=interp1(x,y,xi, 'cubic') p=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p,xi); subplot(3,2,1);plot(x,y,'o'); subplot(3,2,2);plot(x,y,'o',xi,yy); subplot(3,2,3);plot(x,y,'o',xi,yi1); subplot(3,2,4);plot(x,y,'o',xi,yi2); subplot(3,2,5);plot(x,y,'o',xi,yi3); subplot(3,2,6);plot(x,y,'o',xi,yi4);
二维插值 二维插值主要应用于图像处理和数据的可视化,对双变量的函数z=f(x,y)进行插值。 zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method),原始数据x,y,z决定插值函数z=f(x,y),返回值zi是(xi,yi)在函数f(x,y)上的值。 method同样可以采用最临近插值、双线性插值、三次样条插值。
小 结 本节介绍了matlab语言的数值运算 功能,通过学习应该掌握: 如何创建矩阵、修改矩阵 符号的用法 矩阵及数组运算 多项式运算 线性方程组与微分运算