 第四章 近代科学重要基础  电 磁 学

§4-1 电磁学发展简史 电与磁是两千多年前就已发现了的 §4-1 电磁学发展简史 电与磁是两千多年前就已发现了的 自然现象，但作为一门科学应是从18世纪开始，直到19世纪中叶麦克斯韦统一电磁场理论，使电磁场理论成为经典物理学的重要组成部分。

一、从“静电”到“动电”： 人类对电磁现象的系统研究开始于 16世纪末。 18世纪末，电的研究从静电进入到 动电阶段。 主要的事件有：

1660年 奥托发明了第一台摩擦起电机。 1745年 马森布洛克发明了能蓄电的 莱顿瓶。 这一发明，为科学界提供一种贮存电的有效方法，为进一步研究电现象提供了一种新的强有力的手段。

富兰克林在莱顿瓶上做过许多具有深刻意义的实验，得出了许多重要的结论，从而澄清了许多观念： 他提出了阴电和阳电的概念，使电学的研究跨入定量的阶段； 通过实验证明闪电和人工电性质相同，破除了迷信，并发明了避雷针。 富兰克林的研究对电学的发展起到了里程碑的作用。

1800年春，伏打发明了伏打电堆，即 伏打电池，打开了电学发展史上新的一 页，为从静电跃进到动电的研究提供了 坚实的技术基础。 1800年卡莱尔从水中分解出氢气和氧 气，把电与化学沟通了。 1811年戴维制成了碳极电弧灯，把 电与光沟通了。

1820年奥斯特发现了电流的磁效应，把电与磁沟通了。 1821年塞贝克发现了温差电现象， 把电与热沟通了。 1826年欧姆建立了欧姆定律，使与 电流相关的一切效应成为可以量度的 科学定律。

二、 磁学的进展 大到星体、太阳、地球，小到分子、原子、电子等都有磁性，它们周围都存在磁场。 我国对磁现象的认识较早。 二、 磁学的进展 大到星体、太阳、地球，小到分子、原子、电子等都有磁性，它们周围都存在磁场。 我国对磁现象的认识较早。 河北磁县，因产天然磁石而得名。 北宋沈括《梦溪笔谈》记述了指南针的制法及四种置放指南针的方法。

16世纪末英国医生吉尔伯特“小地球”实验等研究，发现了电与磁许多的不同特性。

三、电磁学基本规律的建立： 电磁学的发展是随着电磁学的基本 规律的定量化而趋于完善的。

1、库仑定律 2、高斯定理 3、静电场的环流定理 4、安培环路定理 5、毕奥-萨伐尔定律 6、法拉第电磁感应定律 7、楞次定律

1785年库仑设计了一台精确的扭 秤实验，并建立了著名的库仑定律。 这一定律是电磁理论的基础，也是 静电学作为一门科学的开始。

1813年高斯得出了真空中的电通 量的高斯定理，揭示了静电场是“有 源场”的性质；对于磁场的高斯定理 ，则说明磁场是“无源场”。

1828年乔治·格林第一个提出了“势”的概念，从此推出静电学的不少重要结果，其中静电场的环流定理揭示了静电场是“保守场”。

1820年奥斯特发现电流的磁效应 后，安培提出了圆电流产生磁性的 可能性，并提出了电流元之间的相 互作用规律，即安培定律。后来又 给出了磁场的安培环路定理。

1820年毕奥和萨伐尔根据对电流的磁作用的实验结果分析得出了关于电流产生磁场的基本规律，即 毕奥 - 萨伐尔定律。

1831年法拉第发现了电磁感应现象，并提出了法拉第电磁感应定律，使奥斯特的“电动生磁”进到“磁动生电”的新阶段。 法拉第（Faraday, 1791-1867) 卓越的实验大师，在电磁学方面进行了长达40 多年的研究，作出了划时代的贡献：

1、发现了电磁感应现象，建立了电磁感应定律； 法拉第的重要贡献： 1、发现了电磁感应现象，建立了电磁感应定律； 2、发明了第一台电动机和发电机； 3、发现了电流的化学作用的规律，即法拉第电解定律； 4、提出电场、磁场等重要概念。 5、重要著作《电学的实验研究》。

1833年楞次受到法拉第的启发，通 过实验发现了楞次定律，明确地指出了 感生电流的方向。

四、麦克斯韦统一电磁场理论： 麦克斯韦是英国著名的物理学家，他在电磁学中的工作是19世纪物理学中最伟大的成就，是继牛顿之后的历史上又一划时代的贡献。

在这些论文中，麦克斯韦用类比、模型、假设等理论思维方法， 提出了涡旋电场及位移电流假设， 重新概括了当时已经发现的电磁学中的六条基本规律， 麦克斯韦从1855 - 1865的十年中先后发表了三篇重要论文： 《论法拉第力线》（1855- 1856） 《论物理力线》（1861 - 1862） 《电磁场的动力学理论》（1865） 在这些论文中，麦克斯韦用类比、模型、假设等理论思维方法， 提出了涡旋电场及位移电流假设， 重新概括了当时已经发现的电磁学中的六条基本规律， 给出了著名的统一电磁场理论的麦克斯韦方程组， 并预言了电磁波的存在。

1873年麦克斯韦出版了巨著 《电磁学通论》 在这部著作中，麦克斯韦对电磁场理论作了全面的系统的阐述，通过方程组完整地反映出电磁场的规律。把电荷、电流、电场、磁场之间的普遍联系完全统一起来，明确地描述了电磁场的运动具有波动性质，并指出光在本质上是一种电磁波。

麦克斯韦电磁场理论的建立，提供了丰富的方法论的教益和启迪： 1、寻找不同事物之间的联系，建立统一的动力学解释是理论工作的一贯追求。 2、类比研究在科学发现中具有重大意义。 3、未知世界常常表现出传统的观念所意想不到的属性，需要广开思路，甚至标新立异。

4、广博的知识是科学创造的必要条件。 5、数学思维与物理概念密切结合，把物理图象用数学语言精确地表达出来。 数学不仅有助于理解物理，而且能够把概念和现象提升到新的理论高度。 6、和谐是完善的理论的必要要素。 “他（麦克斯韦）的名字将永远闪烁在经典电磁理论的大门之上。”

§4-2 静电学基本内容

一、电荷 库仑定律 1、 电荷与电场 电性是物质的一种基本属性。 今人梳头，解著衣，有随梳解者，有 光者，也有喧声。（晋） （1）电荷有正、负两种：“同性相 斥、异性相吸”。 ( Like charges repel, and unlike charges attract.)

（2）电荷是量子化的： e =1.60210-19C , Q = n e , n =1、2、3 （3）电荷守恒： 电荷既不能创生，也不能消灭。 “带电”：电荷的转移。 “中和”：正、负电荷相消。

4、 库仑定律 带电体：带电的物体。 点电荷：当我们研究的带电体的大小和形状可以忽略时，我们所研究的带电体就可以看做点电荷。

真空中的点电荷的相互作用力： x z y :施力电荷指向 受力电荷。

国际单位制（SI）： ：真空介电常量（电容率）

静电力服从迭加原理。 + + - +

各电荷间的距离如图所示。求作用在q3上合力的大小和方向。 例：如图，三个点电荷所带的电量分别为 q3 q1 q2 0.52m 0.6m 0.3m 各电荷间的距离如图所示。求作用在q3上合力的大小和方向。

解： F32 由库仑定律：q3所受 的力有 F3 q1 q2 q3 0.52m 0.6m 0.3m  合力为 F31

O X Y q1 q2 q3 0.52m 0.6m 0.3m F31 F32 F3  建立直角坐标系XOY

合力的大小： 合力的方向与X轴的夹角为

练习 边长为a的正方形，四个顶点上依次放正点电荷q、2q、3q、4q，在中心放单位正电荷q0。求q0受力的大小和方向。 q 2q q0 3q

2、电场： 电荷 电荷 超距作用 电荷 电场 (1）物质性；（2）作用性；（3）迭加性。 “场”是物质的一种形态。

3、静电场的对外表现： （1）静电场对电荷有力的作用； （2）带电体在电场中运动时，电 场力要作功； （3）导体在静电场中会产生静电 感应现象，电介质在静电场中 会产生极化现象。

二、 电场强度 1、 电场强度 试探电荷 要求：电量少；线度小 Q 单位：N/C 意义：单位正电荷在某点 受到的电场力。

（1）电场强度是矢量： 大小等于单位电荷在某点受到电场力 的大小；方向为正电荷在某点受到的 电场力的方向。 （2）电场强度与试探电荷无关。

2、场的迭加原理： 多个点电荷产生的电场等于各单个 电荷产生的电场的矢量和。

静电力迭加： 可得：

3、 电场强度的计算： q P （1）点电荷的电场： q>0, 与 同向；q<0, 与 反向。

（2）点电荷系的电场： P 矢量迭加！

（3）任意带电体产生的电场 选择电荷元 dq P dq 矢量积分

任意带电体场强的计算方法： ①选取电荷元dq，写出dq在P点产生的场强 ; ②建立适当的坐标系xyz，写出 沿各坐标轴的投影dEx dEy dEz； ③分别积分，求出各个方向的分量Ex Ey Ez;

④矢量合成,求出总场强E 场强大小为: ⑤对结果作必要的讨论。

例：计算电偶极子轴线的延长线上 任一点P的场强。 解：电偶极矩 X +q -q P P点的场强：

X +q -q P Xre：

练习： 求电偶极子中垂线上任一点的场强 X Y +q -q E- E+ E P P’ y 

X Y +q -q E- E+ E P P’ y  解：P’点的场强： 由于对称性,Y方向 相互抵消，故

yre :

例：正电荷q均匀地分布在半径 为R的圆环上，试计算环的轴线上 离环心O为x处的P点的电场强度。 O P x

解： 1 取线元dl，其上所带电荷为dq 2 dqdE 3 建立坐标系，将dE投影 dq O P x r dE// x dE┴ dE

4 积分 由于对称性，全部电荷的dE┴的 矢量和为零。 P 点的场强沿轴线方向 dq O P x r dE dE┴ dE//

E的方向沿着X轴正方向。 5 讨论： 当x>>R时， 相当于点电荷的电场。

1 设真空中有一均匀带电细棒，长为L，总带电量为Q。在延长线上有一点P离开细棒中点的距离为a。求P点的场强。

2 设真空中有一均匀带电直线，长为L，总带电量为Q。线外一点P离开直线的垂直距离为a，P点和直线两端的连线与直线之间的夹角分别为1、2。求P点的场强。

取坐标oxy如图 解： 取线元 ，所带电量 y   P a r  2 1 + x o q、 L ——线电荷密度

+  1 2 L q、 a o x y r P 

dq在场点P的场强: （方向如图） 将 沿坐标系XOY分解: 由图可知

因此, 带电细棒在场点P的场强的两个分量： 场强：

讨论：  P点在中垂线上： 或 棒为无限长 电场是轴对称的。

电 场 强 度 习 题

1、电荷q均匀分布在半径为 R的四分之一圆环，求圆心O处的电场强度。

4 电力线 形象化手段来描述静电场特征 ①用曲线上某点的切线方向表示该点处电场强度的方向； E

②用曲线的疏密表示场强的大小。 E

几种电场的电力线图： 1 点电荷的电场 +

2 电偶极子的电场 +

3 平行板电容器电场 +

静电场电力线的性质： *电力线并不真正存在，而是一些假想的线。 ①电力 线发自正电荷，终止于负电荷。不形成闭合曲线，也不中断。 ②任何两条电力线不会相交。意义？ *电力线并不真正存在，而是一些假想的线。

三、 高斯定理(Gauss Theorem) 1、电场强度通量： （1）定义： 通过电场中任一给定面的电力线总数，称为通过该面的电场强度通量，简称E通量，用e表示。 （2）电场强度通量e的计算：

均匀场中垂直于E 的平面： S E 均匀场中不垂直于E的平面： S=S n θ E S

非均匀场中的任意曲面： 定义面元矢量： dS θ E

对于闭合曲面： 对于闭合曲面 n 取外法向 n e<0 E e >0

2、高斯定理： （1）引出： 特例:考虑真空中一点电荷，计算以q为 球心，半径为R的球面S的电通量。 q S

q S 通过包围该点电荷的 任意曲面的E通量 由于通过S的电力线， 必定通过S*，所以

如果闭合曲面不包围电荷 电力线从曲面的一 面穿入，从曲面的 另一面穿出 对整个闭合曲面来说

q3 q1 S q2

（2）高斯定理(Gauss)： 在任意静电场中，通过任一闭合曲面E通量，等于该曲面内电荷量的代数和除以

F = ? Gauss定理是库仑定律的直接结果， 是静电场的基本定理之一 ，其物理意义 说明静电场是有源场；正电 荷是源头， 负电荷是源闾。 （3） 电介质中的高斯定理 F = ?

无限大电介质 有限大电介质 F 由实验决定

考虑一个点电荷分别处于真空和介质中 真空 物理原因：束缚电荷 > 介质 定义一个新的物理量：

电位移矢量： 讨论： 电场强度E不仅与自由电荷有关，而 且与束缚电荷有关,电位移矢量只与自 由电荷有关. 电位移线与电场线类似，但起于自 由的正电荷，终止于自由的负电荷。 D 的单位： C/ m2

介质中的高斯定理： q为自由电荷。 在静电场中通过任一闭合曲面的 电位移通量等于该闭合曲面包围的 自由电荷的代数和。

(3)高斯定理的应用 适用于电荷分布具有某种对称性的带电体。 关键点：选择高斯面

例1 求无限均匀带电圆柱面的电场。沿轴线方向单位长度带电量为λ. （1） r R > 电场对称性：轴对称 过场点P作正圆柱面 (Gauss面)。

 Gauss面的电通量 侧 下 上 面内的电量 高斯面  由Gauss定理

（2） （r  R） 均匀带电圆柱面的电场分布: （r > R） < 问题：无限长均匀带电圆柱体的电场分布？

应用高斯定理求解问题的步骤： ①分析电场分布是否具有某种对称性，如球对称、面对称、轴对称等，从而判断能否用高斯定理解题； ②如能用高斯定理求电场强度，则要作出合适的高斯面。 ③算出通过整个高斯面的E通量及高斯面内的总电荷的代数和，应用高斯定理即可求出电场强度。

注意： 在电场强度不具有对称性的情况下（如有限大的带电面、有限长的带电直线、不均匀带电体的电场等），不能应用高斯定理直接求出电场强度的分布。 但在这些情况下，高斯定理仍然是成立的，即仍然有

例2，均匀带电球体的电场。 高斯面 R r E (1) r < R

(2) r > R 高斯面 E R r

（1）r<R E ε O R r E （2）r>R R r

练习：求无限大均匀带电平面的电场分布。电荷面密度为。 σ σ E S

. s E d S = 侧 左底 右底 + 该高斯面包围的电荷为 根据高斯定理 因此 无限大均匀带电平面的电场分布

思考： 一对无限大均匀带电平面的电场 + -

高 斯 定 理 习 题

1 一半径为R的带电球体，电荷体密度为。求此带电球内、外的电场强度。

2 求无限长均匀带电圆柱体的电场分布，圆柱体的半径为R，电荷体密度为。

四、 静电场的环路定理 电势 当带电体在静电场中移动时，静电场 力对带电体要作功，这说明静电场具有 能量。 1、 静电场的环路定理： （1）电场力的功： 一点电荷q0在电场力作用下，从 a点 运动到 b 点（任意路径）

φ E r a b q dl r r’ φ d dr l

φ E dl r a b q 特点：静电场力作功与路径无关，仅 与电荷q0 , 及起点和终点位置有关。 可见：静电力为保守力。

（2）环路定理 如果L为一闭合路径，则 静电场中电场强度 E 沿任一闭合 路径的线积分为零。 意义：静电场是一个保守场，静电 力是保守力。

2、 电势能： a q0 b wa wb Wa: q0 在 a 点的电势能； Wb: q0 在 a 点的电势能. q0由 a 点运动到 b 点，

电势能的增量等于电场力作功的负值 即 电势能是相对量. 一般选择无穷远处为电势能零点.

则 a点电势能为： 电势能是标量，有正，负之分。

3、电势： (1)定义:电场中某点的电势（有限带 电体） 意义：将单位正电荷从 a 点移到无穷 远处电场力所做的功。

（2）电场中任意两点a,b之间的 电势差：

P r （3） 电势的计算： q 点电荷： 点电荷系： 各点电荷产生 的电势的迭加 （代数和）：

dq P 任意带电体： 对带电体积分 电势零点： 无穷远

例：电荷q均匀分布在长为a的细棒上，求棒的延长线上离棒的中点o为x的点P的电势。

p o x l dl r 解：

解： 例：求均匀带电薄球壳的电场中电势 的分布。设球壳半径为R，所带电荷 为Q。 已求得均匀带 电薄球壳的电场  P 方向沿着径向 （r>R） （ ） r < R 方向沿着径向

根据电势的定义 （ 1）在球壳外任一点P（r>R）， 其电势为：

（2）在球壳内任一点P（r<R） 由于球壳内E=0，球壳外E≠0 分段积分 其电势为：

O R r V 均匀带电球壳的电势 球壳内电势处处相等。

计算电势的两种方法： （1）电势迭加法 对带电体积分 （2）场强积分法 对路径积分

- + A o B C D R 例：如图A,B两点分别放有点电荷+q,-q （1）把点电荷q0从O点沿半圆弧OCD移到 （2）把点电荷q0从D点沿AB延长线移到 无穷远时，电场力作功？ - + A o B C D R

（1）无穷远为电势零点 C R A D R O - + B

(2) C R A D R O - + B

电势 习题 如图所示的带电细棒，电荷线密度为，其中BCD为半径为R的半圆，AB=R，求圆心O处的电势。 C R D R A B O

（4） 等势面与电力线的关系： 重力场： 在重力场中， 等势面为水平 面，地形图即 为等势线图。

静电场： 点电荷的等势面 在静电场中， 电势相等的点 所组成的面。 +

电偶极子的等势面 +

平行板电容器电场的等势面 +

两点结论： 电场线所指的方向就是 电势降低的方向。 电场线与等势面垂直

五、静电场中的导体及电介质： 1、静电感应与静电平衡： （1） 静电感应： 在静电场力作用下，导体中电 荷重新分布的现象。

导体的静电感应过程 无外电场时

导体的静电感应过程 E 外 加上外电场后，电子宏观运动。

导体的静电感应过程 + E 外 负 电 荷 积 聚 正 加上外电场后

导体达到静电平衡 + E 感 外 E 外 感 + = 内

导体中电荷的宏观定向运动终 止，电荷分布不随时间改变。 （3）静电平衡条件: 内部电子受到电场的合力为零。 导体内部场强处处为零： （ 2）静电平衡： 导体中电荷的宏观定向运动终 止，电荷分布不随时间改变。 （3）静电平衡条件: 内部电子受到电场的合力为零。 导体内部场强处处为零：

导体为一等势体；导体表面是 一个等势面。 表面场强垂直于导体表面。 电荷分布在导体表面，导体内部 无电荷分布。 （4）静电平衡时导体的性质： 导体为一等势体；导体表面是 一个等势面。 表面场强垂直于导体表面。 电荷分布在导体表面，导体内部 无电荷分布。 电荷面密度与曲率半径的关系 实验指出：导体表面曲率半径愈小 处，电荷面密度愈大。

Q1 Q2

2、静电现象及应用： 孤立导体，尖端附近电荷面密度大。 尖端附近电场强度大。 通常空气中存在着少量的离子。在带电体附近的强电场作用下，与尖端所带电荷符号相反的离子，会被吸引过来，与尖端上的电荷中和— 尖端放电

避雷针必须和大地良好接触！ 利用尖端放电—避雷针 在建筑物上安装避雷针，当带电的云层 接近安装了避雷针的建筑物时，放电在 云层和避雷针之间进行，消除了雷击对 建筑物的威胁。 避雷针必须和大地良好接触！ 防止尖端放电 高压输电线—光滑粗导线 高电压仪器—表面光滑

（2）静电除尘 （3）静电屏蔽 +q1 -q1 导体空腔: 不接地时,腔内的场强不 受腔外电荷（场强）影响, 但腔内电势会受影响. Q q

导体空腔接地时,空 腔内表面带 -q1,外 表面不带电. + q 1 -q1 Q 腔内的场强和电势 均不受腔外的电荷 （场强）影响.

3、电介质及其极化 （1）有极分子及无极分子： 无极分子：分子正负电荷中心 重合. 甲烷分子 C H + 正负电荷 中心重合

有极分子：分子正负电荷中心不重合。 P e 分子电偶极矩 水分子 负电荷 中心 H O + + 正电荷中心

（2）介质的极化： 无极分子 位移极化 有极分子 取向极化 （转动极化） 介质表面将出现极化电荷（束缚电荷）

自由电荷和束缚电荷 能宏观自由 移动的电荷 不能离开电 介质，也不 能在电介质 内自由移动

E E0 +σ +σ’ -σ 4、介质中的场强： 自由电荷的场强 E0； 极化电荷的场强 E’； 介质中的强场：

六、 电容 电容器 1、电容的定义： 考虑一个孤立带电导体球 q2 q1 电量： 电势：

q/U 是一个恒量，与q,U无关，只与导体形状、尺寸有关。反映导体本身属性(带电能力）。 定义： 意义：当导体电势为一个单位时， 导体所带的电量。 单位：法拉(F)

2、电容器： （1）两个极板 （2）带等值异号电荷 定义电容器的电容： 只与电容器性质有关，反映 电容器本身带电能力。

3、几种常见电容器的电容： （1）平行板电容器：

(2)圆柱形电容器：

（3）球形电容器： R2 R1  4、充介质： C0为真空时的电容。

七、电场的能量： 1、电容器的贮能： 由平行板电容器充电过程可导出电 容器贮存的能量为 Q：极板所带电量；U：两极板电势差。

2、电场的能量： 为电场能量密度 定义：

反映电场能量在空间各点的分布情况。 电荷是能量的携带者。 电场是能量的携带者。

例：一空气平板电容器的电容C=1. 0pF，充电到电荷为Q=1 例：一空气平板电容器的电容C=1.0pF，充电到电荷为Q=1.010-6C后，将电源切断。 （1）求极板间的电势差和电场能量； （2）将两极板拉开，使距离增至原来的2倍，试计算拉开前后电场能的改变，并解释其原因。

解: 外力做功，转化为电场能