1 小学数学应用问题教学思考与讨论 XIAOXUESHUXUEYINGYONGTIJIAOXUESIKAOYUTAOLUN

二 三 四 五 六 一 引言与现状

从双基到四基 双基：基础知识，基本技能。 四基：基础知识、基本技能、 基本活动经验，基本思想； 数学课程标准2011版

从两能到四能 分析问题； 解决问题； 发现问题； 提出问题； 数学课程标准2011版

从6大核心到10大核心 应用意识 数感 统计观念 推理能力 符号感 空间观念

10大核心素养 应用意识 创新意识 数感 数据分析 观念 推理能力 模型思想 符号意识 几何直观 运算能力 空间观念

20年前的一道测试题 D.62％ “在一条船上，有75头牛，32只羊，请问船长几岁？” 直接用75和32加减的也就是答案是107和43的所占比例会是多少呢： A．20％以下； B.20％～40％ C.40％～60％，D.60％～80％，E 80％以上 D.62％

1.水果店运来苹果和梨共650千克，苹果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？ 测试题 1.水果店运来苹果和梨共650千克，苹果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？

2.一张凳子售价25元，桌子的售价比一条凳子售价的4倍少1元，一张桌子售价多少元? 测试题 2.一张凳子售价25元，桌子的售价比一条凳子售价的4倍少1元，一张桌子售价多少元?

测试题 3.一个工程队用同样的速度修两条水泥路，第一条长256米，第二条长448米，修完第一条路用了4天。照这样的速度，修第2条路用的时间比修第一条路用的时间多多少天？

4.有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？ 测试题 4.有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？

5.工厂食堂有4吨大米，7天用了1120千克，照这样计算，这些大米还可以用多少天？ 测试题 5.工厂食堂有4吨大米，7天用了1120千克，照这样计算，这些大米还可以用多少天？

6.电视机厂原计划20天生产一批电视机，实际每天生产25台，提前4天完成了任务。原计划平均每天生产多少台？ 测试题 6.电视机厂原计划20天生产一批电视机，实际每天生产25台，提前4天完成了任务。原计划平均每天生产多少台？

7. 600元钱去买玩具，买了24个玩具后还剩120元，照这样计算，一共可以买多少个玩具？ 测试题 7. 600元钱去买玩具，买了24个玩具后还剩120元，照这样计算，一共可以买多少个玩具？

8.某煤厂原计划每天运煤498吨，15天可运完。实际运了18天才运完，求每天比原计划少运多少吨煤？ 测试题 8.某煤厂原计划每天运煤498吨，15天可运完。实际运了18天才运完，求每天比原计划少运多少吨煤？

9.甲乙两人同时从相距168千米的公路两端相向而行，甲骑车每小时行20千米，乙行4小时后两人相遇，求乙每小时比甲多行多少千米？ 测试题 9.甲乙两人同时从相距168千米的公路两端相向而行，甲骑车每小时行20千米，乙行4小时后两人相遇，求乙每小时比甲多行多少千米？

测试题 10.一条公路长2400米，AB两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油路，A队的施工速度是B队的2倍，4天后这条公路全部铺完。A,B两队每天铺路多少米？

测试题 感觉怎样？ 不错，还是不知道错？ 题材是否陈旧了点？ 什么比内容更重要？ 不知道学生做了会怎样？ 理想境界：不为解题，赢在解题。

10道应用题的测试结果 …… 问 题 通过率 1 94％ 2 3 81％ 4 67％ 5 66％ 问 题 通过率 1 水果店运来苹果和梨共650千克，苹果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？ 94％ 2 一张凳子售价25元，桌子的售价比一条凳子售价的4倍少1元，一张桌子售价多少元? 3 一个工程队用同样的速度修两条水泥路，第一条长256米，第二条长448米，修完第一条路用了4天。照这样的速度，修第2条路用的时间比修第一条路用的时间多多少天？ 81％ 4 有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？ 67％ 5 工厂食堂有4吨大米，7天用了1120千克，照这样计算，这些大米还可以用多少天？ 66％

10道应用题的测试结果 …… 问 题 通过率 6 66％ 7 65％ 8 58％ 9 50％ 10 41％ 问 题 通过率 6 电视机厂原计划20天生产一批电视机，实际每天生产25台，提前4天完成了任务。原计划平均每天生产多少台？ 66％ 7 600元钱去买玩具，买了24个玩具后还剩120元，照这样计算，一共可以买多少个玩具？ 65％ 8 某煤厂原计划每天运煤498吨，15天可运完。实际运了18天才运完，求每天比原计划少运多少吨煤？ 58％ 9 甲乙两人同时从相距168千米的公路两端相向而行，甲骑车每小时行20千米，乙行4小时后两人相遇，求乙每小时比甲多行多少千米？ 50％ 10 一条公路长2400米，AB两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油路，A队的施工速度是B队的2倍，4天后这条公路全部铺完。A,B两队每天铺路多少米？ 41％

应用题的教学现状 “中国数学教育在实践上肯定比美国好” 数学大家陈省身。 张奠宙，王善平著

报告提纲 1 引言与现状 应用题的基本认识 2 3 应用题的编排线索 4 应用题的教学建议 3 5 “提出问题比解决问题更重要” 其他 6

三 四 五 六 七 二 应用题的基本认识

应用题的大纲要求 1978年 1988年 2000年 2001年 能够探索和解决简单的实际问题

应用题的课标要求 应用题不成为独立的教学领域，而是贯穿在“数与代数”“空间与几何”“统计与概率”各个领域中，以“解决问题”为名与“知识技能”、“数学思考”、“情感态度”并列的课程目标提出。

文字题 问题解决 数学应用 综合应用 解决问题 习题 应用题

纯数学与应用数学的关系

应用题的渊源 应用题的出现渊远流长。 古埃及的纸草书、中国的《算数书》等古代数学典籍， 都是应用题的汇编。 数学的发展有两个原动力， 一是要解决大自然和社会现实提出的数学问题，二是要解决数学内部生成的数学问题。 前者的研究成果是应用数学， 后者的研究成果成为纯粹数学。

数学分为 纯粹数学和应用数学 哥德巴赫猜想 汉字排版技术 王选将数学和计算机结合引发印刷革命 陈景润作出“1+2”的领先成果

小学数学中的纯数学问题和应用数学问题 小学的纯粹数学问题： 数与运算规则。交换律、分配律， 通分…… 质数与合数； 无限循环小数； 平行线；…… 小学应用性数学问题: 现实的应用：买卖中的货币计算 科学的应用：路程、速度、时间的关系 模拟的应用： 鸡兔同笼

“问题解决”与应用题教学

美国式的折腾： 成功需要基础 2008 问题解决 1980 回到基础 1970 新数运动 1960

“问题解决”的提出 美国数学教育界提出的所谓“问题解决”，专指解决“非常规问题”。 目的是为了培养学生的探究意识和创新精神。 在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考， 通过自己的探索获得解决问题的途径。是具有一定创新意义的数学思维过程。 是一个时期数学教育的导向性口号，并非针对应用题改革而提出。  

“问题解决”的借鉴与启示 我国在常规应用题的教学上，成绩很好。例如用分数求解一些现实生活中“平均分配物品”的问题，加减乘除四则运算的一步或两步应用题，掌握得也很不错。 但是，在提出问题，分析发展问题，灵活地处理应用性问题上面，比起欧美诸国的教学，有一些弱点。 在非常规的应用问题教学上，我国积累了一些按照问题情景分类的教学。例如行程问题、工程问题等等，有专门的训练，基本面也是好的。但是，总体上较窄、较难，较偏。

问题解决 问题解决不能代替应用题教学 应用题教学 问题解决教学是应用题教学的上位概念。彼此是包含关系。 “用问题”的共性， 取代了“应用题”的特性 问题解决是数学教学全局性理念； 应用题教学是数学教学的部分课题。 问题解决 应用题教学

问题解决不能代替应用题教学 问题解决是针对“回到基础”提出来的口号。意思是强调“探究”、“发现”、“创新”。 美国又提出“成功需要基础”， 又强调其基础了。 所以，应用题教学， 不能只强调“探究创新”， 还要注意“打好基础”。 没有基础怎么创新？

中国式的折腾： 1958年“教育大革命”以及“文化大革命”两次受到批判“应用题” ，其后果是解答应用题能力大为下降。“革命”之后都要对应用题进行补课。 1992年版《小学数学教学大纲》 在四年级数学教学要求中明确规定：“列综合算式解三步计算的应用题”，当时的省编教材第八册“四则混合运算和应用题”单元出现了五种结构模式115道三步计算应用题。 2001年以来，《课标》教科书，从四上到六下，其出现三步计算应用题19题，其中两积之和结构11题，两商之差结构6题。按照这样的教科书教学，解应用题能力下降是必然的。

题型与模型的关系

要类型，但不要类型化。 科技书有20本，故事书比科技书的2倍还多2本，故事书有多少本？ 看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。 科技书有20本，比故事书的2倍还多2本，故事书有多少本 ？ 以情境中的字词为特征来分类是表面的。

传统应用题的分类 按步数分：一步，两步和多步应用题； 按内容和难易来分，可分为一般应用题、复合应用题和典型应用题。 典型应用题中就有和差问题、和倍、差倍问题；追及问题、盈亏问题、相遇问题 ；

传统应用题的分类 十一类： “求和”“求剩余”“求差”“求比一个数多几的数”“求比一个数少几的数” “求一个数的几倍是多少”“求一个数是另一个数的几倍”“已知一个数的几倍是多少，求这个数”“求几个相同加数的和”“把一个数平均分成几份，求一份是多少” “求一个数里面包含几个另一个数”。

传统应用题的分类 这些分类， 都是从教学需要出发的。 由易到难， 循序前进， 总要按部就班地排除一个次序来。 因此是教学需要的， 有必要的。 不过，这种分类不涉及数学应用题的数学本质，学生并不需要知道。 对于数学的困难生，为了辨别各种不同的算式，可能起一定的作用。 列举更多类型的问题，实质上也是增加一些“非标准”的变式练习（尽管从大类的角度来说只是小的变式），可以更广泛地增加学生学习的经历，为学生解答应用题积累更多的直接经验。从而提高学生解决应用问题的能力。

传统应用题的分类 只有被广泛承认和使用的分类才有“知识性”价值。否则只是在小范围使用， 不过是一种临时使用“标签”而已， 不需要长期记住。 打个比方， 作为地理学知识，中国，分为省（山东）， 省分为市（烟台），就为止了。 至于烟台下面分为各个区， 就不是大众需要的知识， 是地方的标签， 大众不需要长期记忆。 如果试图通过题型的类别训练达到“机械自动化”的程度，并不能反映数学的思想与方法，也并能真正解决数学问题。

数学本身是抽象的，以数学“表层信息”来分类（以应用题的字词为特征）是肤浅的， 分类的标准 数学本身是抽象的，以数学“表层信息”来分类（以应用题的字词为特征）是肤浅的， 只有关注数学中更为“深层结构”（以数量关系为标准）才是分类的理想追求。

什么是数学模型？ 数学建模是 20世纪下半叶， 随着计算机技术的发展而形成的数学思想方法。 目前已经成为数学应用的基本模式。 数学模型，一般地说， 乃是针对或参照某种事物系统的实际特征或数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。

数学内容本身就是一种数学模型 自然数是表述有限集合“数数”过程的 数学模型。 加法是“合并”、“添加”等活动的数学模型 分数是平均分派物品的数学模型； 元角分的计算模型是小数的运算。 鸡兔同笼问题的数学模型是二元一次整数方程；

应用题对应的数学建模 应用数学的数学建模， 是在狭义的意义下进行的。 数学建模，专指对一个个比较复杂的具体情境， 建立一个特定的专用数学模型， 并用模型来解决非常具体问题。

应用题求解与数学模型比较 应用题求解：对于一种相对比较复杂的情境， 采用形式化的符号语言， 概括地或近似地表述出来的一种数学结构。 建立数学模型的步骤： 了解情境 分析数量关系 形式化符号化的结构 用数学方法求解结构中的未知数 验证。

审题 列式 解答 检验 实际情景 实际问题 数学问题（模型） 数学结果 检验数学结果 实际结果 ⑴观察、加工、整理 ⑵分析抽象，作数学化处理 数学结果不合乎实际，修正、改进、重建数学模型。 ⑶求解数学问题 数学结果 解答 ⑷结合实际 检验 检验数学结果 （5）数学结果合乎实际 实际结果

生活中的应用 车票： 北京—天津----沧州—德州—济南 需要多少种车票？ 欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”

应用题与数学建模的步骤对照 数学建模步骤 解应用题步骤 以行程问题为例 背景考察： 审题。 构作模型 列式 搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征 审题。 对问题设置的情景仔细揣摩体察。 弄清问题的目标。知道速度， 路程，时间的关系；适度简化 ：如假定为匀速行驶在直线 型的道路上，等。 构作模型 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。 列式 将问题中用自然语言表述的情景，翻译成数学语言，借助数学符号、图象、逻辑等手段， 构成可以反映问题本质的算式。根据情景，寻找数量规律。 例如找出一些不变量，借以构成数学等式。 根据行程问题的不同情景进行思考。例如，相互距离为c的甲乙二者同时启动，分别以速度a、b相对而行，由于二者相遇时所用的时间x相同，据此列出等式ax+bx=c，或者算术地说明各量间的相等关系。

应用题与数学建模的步骤对照 数学建模步骤 解应用题步骤 以行程问题为例 模型求解： 求解： 答案分析 验证： 模型改进 反思 采用各种数学方法，求得满足模型的解答。 求解： 对算式进行变换和计算，求得结果。 x=c/（a+b），或算术地求解。 答案分析 检验模型是否正确， 解答是否符合实际。 验证： 验证解答是否正确， 能否符合题意。 将x 代入原式进行验算。 模型改进 对模型解答进行数学上的分析， 反思 考察解题过程中使用的 数学思想方法 总结本题的思考方法，对行程问题的 关节点进行反思，尤其是弄清在行驶变化过程中，哪些是变化的，那些是不变的。

应用题学习是数学建模的基础 每一道小学数学应用题的教育价值， 在于能将情境“数学化”； 将文字的表述， 转换为数学符号或图像的表示； 将蕴藏在情景内的数量关系列为算式； 用数学演算求得算式的答案，最终通过检验肯定“解答”的适切性。 这些数学活动， 为日后学习更复杂的 “数学建模”，做好必要的准备。

应用题的本质就是数学建模 应用题的基本要素是情境和数量关系。 情境性的呈现有语言文字形式和图画表格方式；数量关系则以运算式表达。 应用题教学就是透过情境，撇开非本质属性，抽象出数量关系，其本质是数学建模。

追及问题非追及 上海世博会纪念品绒毛海宝在某商场促销，蓝色海宝每个20元，红色动感海宝每个25元，单卖蓝色海宝6个后，又卖了组合装若干套，结果蓝色和红色海宝当天销售额正好一样，蓝色、红色海宝各卖出多少个？

鸡兔问题非鸡兔 12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？ 民谣：一队猎人一队狗，两队并成一队走。 数头一共是十二，数脚一共四十二

应用题与现实生活的关系

紧密联系学生的日常生活 小学生的日常生活内容十分有限。 主要围绕“买东西”活动展开。单价、总数，折扣，差额，比例……“卖”的意识也很少。 所以成本、利润、效率， 都不是日常生活实际能够接近的。 国际上有一种“现实数学”，实验失败告终。 不能除了超市，就是商场，需要拓展情境内容。 应用题教学中，大量使用的是科学模型，例如，行程问题中速度、时路程之间的关系，乃是物体运动的在物理模型。另一种是模拟现实模型。比如鸡兔同笼问题， 完全是一种假想的模拟情景。

关于虚拟的“真实” 儿童的思维情境， 包括客观现实反映和虚拟想象两大部分。 虚拟想象中有一部分成为“虚拟真实”。 孙悟空， 黑猫警长，圣诞老人， 白雪公主， 魔法石， 变形金刚。 利用虚拟的真实：外星巨人的手印。

经典案例 “昨夜外星人访问我校， 留下了一个巨大的手印（图）， 今夜他还要来，试问： 我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？

数学儿歌 “一寸高” （Shel Silverstein 1974） 假如你只一寸高，你骑蠕虫上学校。蚂蚁泪滴作泳池，蛋糕渣就管你饱，至少七天饿不了。可怕猛兽是跳蚤，假如你只一寸高。 假如你只一寸高，蹦蹦跳跳门下跑，购物要走一个月，抱团绒毛就睡觉。蜘蛛网上荡秋千，头戴顶针当小帽，假如你只一寸高。 口香糖作冲浪板，厨房水槽乐逍遥。妈妈太高够不着，只能把她拇指抱。你在人们脚边跑，当然心惊又肉跳。搬笔要用一通宵。 (此诗写了十四年――因为我只一寸高)。

6000 -2369 过于真实，不利于教学。 退位减法，被减数个位不够减，向十位借一，有学生就很贴近生活地说“十位不肯借怎么办？” 路程问题： 想象在一条直线上， 自始至终一一种速度在奔跑。 有这样笔直的道路吗？ 怎样能够使得起跑时速度和到终点的速度一样？ 鸡兔问题：鸡怎么会和兔在一个笼子里呢？鸡兔同笼好？ 还是三条腿凳子和四条腿椅子好？ 数学模式的科学，数学本身是抽象的。 6000 -2369

被曲解的经典题 有一个水池，打开进水管注满水池要3小时，打开出水管放出整池水要2小时，现在同时打开进水管和出水管，要多少时间才能把一池水放完？

数学模型客观存在 飞机的能源消耗与补充、 排队进场与出场、 草场里草的生长与割去、 人体的新陈代谢、 社会人口的增减、 湖泊的污染与治理， 家庭的收入与支出； 动态平衡的问题。

现实与数学模型 争论：相遇问题在现实生活中并不多见； 杨乐院士：导弹防御系统里面蕴含着相遇问题； 道路建设，工程问题。

充满童趣的素材 30年代， 小学数学教材里都有和尚馒头问题： “一共有100个和尚和100个馒头。 大和尚一人吃三个馒头， 小和尚三个人吃一个馒头， 问各有大小和尚几人”。 现在不见了， 如果是因为不能联系学生的实际，那太遗憾了。

教学笑话 父亲：如果你有一个橘子，我再给你两个，那你数数看一共有几个橘子？ 子：我不知道。 父亲：难道你们学校里没有数数吗？ 子：我们是用苹果数的。

算术与代数之间的关系

算术和代数 算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等。 算术模型是一串“数字”的运算流程。 代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象：符号。 代数模型是方程或函数，包含未知数符号的等式关系或其他结构。

算术和代数 从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段． 学生从“数的运算”过渡到“式的运算”，好象人发明了汽车那样，运行速度大幅提高。 代数运算的通性通法，取得了极高的思维效率，就像人不能每时每刻都在坐车，走路仍然是必须的、基本的。

典型问题为例 有一个煤矿，原来计划上半年660万吨，实际每个月比计划多产22万吨，实际多少月完成？

解法一 算术建模，是给出一种算法：( “计算表征”) 实际每月完成数是(660÷6)+22，于是有答案： 完成时间 = 660 ÷[(660÷6)+22] = 5 这是通过一串已知数字的运算组合，最后得到结果。

解法二 代数建模。 是给出一个算式。(“数量关系表征”) 设实际完成月数是□， 那么（660 ÷□ ）是每月实际完成数。 110 = 每月计划完成数 = （660 ÷□ ）- 22 于是得到有符号的算式 ——代数模型： （660 ÷□ ）- 22 = 110 （1） 无法直接计算出□， 但可以进行“式 ”的运算： （660 ÷□ ）= 110 +22 = 132 （2） （660 ÷132）= □ = 5 （3）

解法三 用符号的算术模型。 设实际完成月数是□，那么 □ = 660 ÷ （实际完成数） = 660 ÷ （计划完成数+22） = 660÷ （110+22） = 5 这里也有符号代表数， 却完全是算术思维， 与代数无关。

解法四 用代数方法启发算术思维。 由（3）式：（660 ÷132）= □ = 5 可知： 由（3）式：（660 ÷132）= □ = 5 可知： □ = （660 ÷实际每月完成数）=（660 ÷[(660÷6)+22）] = 5 最后二者是统一的。

打个比方，如果未知数在对岸，那么算术方法，好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反。 算术模型和代数模型的区别 算术思维和代数思维思考的方向不一样。 打个比方，如果未知数在对岸，那么算术方法，好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反。

很多数学家回忆自己的学习生涯，感觉到小学里用算术方法解决问题培养了自己的能力，尽管这些问题后来用代数变得简单。 算术模型和代数模型的区别 很多数学家回忆自己的学习生涯，感觉到小学里用算术方法解决问题培养了自己的能力，尽管这些问题后来用代数变得简单。

经典问题：鸡兔同笼 “今有鸡兔同笼，上有35头，下有94脚，问鸡兔各几何?” （波利亚）金鸡独立解法的思路是，如果笼中的鸡全部独立单脚着地，做“金鸡独立”状，而这时笼中所有兔也学鸡立起前两脚而只有后两脚着地…… （张景中）假设鸡的两只翅膀也变成了两只“脚”…… 还有更多

算术方法与代数方法 列方程时的数学思维， 主要还得用算术方法过渡。没有算术的第一步， 就难有代数的第二步。 如果使得算术与代数完全脱离，使得学生没有对比，看不出算术的缺点和代数的优点，体会不到代数方法的优越性，那么代数也是很难学好的。

数学应用题是否要集中教学？ 数学建模是一种特殊思维活动， 有特定内容， 需要单独、集中学习领会。 一些基本的数学模型反映基本的数量关系，是学生发展的必要基础。需要集中演练， 形成技能。 解数学应用题，需要将各种数量关系进行比较。 集中教学， 避免分散割裂。 处处都有，有时也容易变成处处都没有。

解题与建模之间的关系

解题与建模 无论是“解题”还是“建模”，与表面概念的解释相比，更为重要的是到底怎么“解”，到底怎么“建”？ 千万别形式主义地把“解题”看做“使用题海战术的应试教育”，把“建模”当做“轻负高质的素质教育”。 关键是学生在解决问题的过程中是否掌握了更为一般的方法和策略

例如：归一模型 （1）一辆客车2小时行驶180千米，照这样计算，5小时行驶多少千米？ （2）3瓶饮料27元，5瓶这样的饮料要多少元？ （3）旅游纪念品厂3小时生产60个产品，照这样计算，8小时可以生产多少个产品？

（1）甲车4小时行驶600千米，乙车5小时行驶500千米，甲车每小时比乙车多行驶多少千米？（600÷4－500÷5） （2）玩具加工车间工作时间5小时，甲车间生产了300个玩具，乙车间生产了280个玩具，甲车间每小时比乙车间要多多少个玩具？（300÷5－280÷5）

两商之差的模型： （3）有一个皮鞋店，原来计划12天生产120双皮鞋，实际10天完成，实际每天比计划多多少双？（120÷10－120÷12） （4）有一个煤矿，原来计划上半年66万吨，实际每个月比计划多2.2万吨，实际多少月完成？（66÷x－66÷6＝2.2） （5）有一笔钱，可以买奶糖5千克，如果买单价贵2元的棒棒糖就要少买1千克，这笔钱有多少元？ （x/5－1－x/5＝2） a÷b－c÷d＝f

（1）小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？ （2）老师买了10张电影票，共花了54元钱，其中有4元一张的学生票，也有6元一张的成人票，请你算一算，两种票各买了多少张？

鸡兔问题模型 （3）12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？ （4）民谣：一队猎人一队狗，两队并成一队走。 数头一共是十二，数脚一共四十二，等等。 a×b＋c×d＝f

分数问题 一个雇工每年的工钱是12卢布加上1件长袍，在工作7个月后，他离开的时候雇主恰好付给他1件长袍和5个卢布，这件长袍的价格是多少？ （12＋x）×7/12＝5＋x

等差数列求和的模型 例如：1＋2＋3＋4＋5＋……＋99＋100 等差数列前n项的和等于首末两项的和乘以项数除以2。 Sn＝（a1＋an)*n/2(Sn表示数列前n项的和）

某小组有8个同学，放假时，一一握手告别，每两人都握手一次，而且只握手一次，问共握手多少次？

下图中有多少个三角形？ 由一个小三角形组成的有：1＋3＋5＋7＋9＝25个 由4个小三角形组成的有：1＋2＋3＋4＝10个 由9个小三角形组成的有：1＋2＋3＝6个 由16个小三角形组成的有：1＋2＝3个 由25个小三角形组成的有：1个

具体方法与一般策略之间的关系

策略：无招先从有招开始。

解决问题的全过程 如：两步应用题: （1）问题呈现：小朋友做纸花，黄花做了30朵，红花做了40朵，送给幼儿园50朵，剩下多少朵？ （2）分析题意：（需要策略支撑） 30+40＝50+□

同上 （3）计算表征：（这个环节需要的是一种技能，这种技能就是解方程的技能。图形推算的作用是在这个环节发挥的。） 30+40－50 ＝70－50 ＝20 （4）检验与反思。是否复合实际情况，解答是否正确。

首先，需要从实际问题中抽象出数学问题的策略。 欧拉解决哥尼斯堡“七桥问题”。

从不会到会，需要什么？ 就是不会做 有一桶油，第一次取出这桶油的20％，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 可能的困难： 不会转化百分数与分数？ 不会计算？ 不会列方程？ 不会分析数量关系？ 还是…… 就是不会做

怎样让学生学会？ 有一桶油，第一次取出这桶油的20％，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 画线段图： 画草图：

怎样让学生学会？ 有一桶油，第一次取出这桶油的20％，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 第一次＝这桶油×20％ 第二次＝12千克 两次一共＝这桶油×1/2 这桶油×20％＋12＝这桶油×1/2

关于图示： 模板图示，学习者对应用题字面表述概括基础上形成的图式； 家族图式：学习者对一类问题使用的基本公示进行概括的基础上形成的图式 概念图式：学习者对应用题思维过程概括基础上形成的图式 类别图式：学习者对应用题一类问题的等量关系概括基础上形成的图式

怎样让学生学会？ 有一桶油，第一次取出这桶油的20％，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 对应关系： 1－－这桶油 20％－－第一次取出 1/2－－两次取出 ？－－第二次取出12千克

怎样让学生学会？ 有一桶油，第一次取出这桶油的20％，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 列方程 设这桶油为x千克； 20％x＋12＝1/2x 1/2x－20％x＝12

怎样让学生学会？ 有一桶油，第一次取出这桶油的20％，第二次取出12千克，两次共取出这桶油的1/2，这桶油共多少千克？ 画线段图： 画草图： 对应关系： 方程； 还有什么方法？

解答应用题需要策略。 一般策略 特殊策略

一般解题策略 1.理解题意 2.做解题计划 3.按计划解答 4.回答和经验 1.问题的理解 2.制定计划 3.计划的实施 4.结果的反馈

特殊解题策略 1.画图 2.简化题目 3.尝试和猜想 4.逆推 5.用方程解 6.用公式解 1.分类 2.组织数据 3.样本与预测 4.计算概率 5.使用范型 6.使用树图 7.开放性题目开放性思考 8作决策 9.逻辑思考 1.画图 2.简化题目 3.尝试和猜想 4.逆推 5.用方程解 6.用公式解

常见策略 1.尝试猜测 2.画图制表 3.实际操作 4.应用规律 5.等量替换 6.从简入手 7.整理数据 8.可逆思考 9.用方程解（图形等式） 10.逻辑推理

鸡兔共8只，有22只脚，鸡兔各有多少只？ 策略1：尝试与猜想：1只鸡，7只兔，腿的总条数是30，腿多了，减少兔子的数量，再尝试； 策略2：列表尝试：鸡兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加鸡的数量，再尝试； 策略3：用画图的方法，先按照都是鸡画好，再在此基础上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。

策略4：假设全是鸡，也可以假设全是兔，也可以假设一半是鸡一半是兔； 策略5：方程思路：用□表示鸡的只数，用○表示兔的只数，根据已知条件可以发现□＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○＝3。

策略6：面积图，利用长方形面积公式来计算组合图形的面积。 2只脚 4只脚 8个头

五 六 七 “提出问题比解决问题更重要”

提问能力的培养——途径 单元前：单元主题图； 课前；课时主题图； 课中；知识展开教学中； 课后；练习题； 复习：回顾与整理中； 让提问成为一种学习的意识！

单元主题图

单元主题图 从具体到抽象； 从生活到数学； 从简单到复杂； …… 培养提问能力； 重组知识结构；

根据数学信息提问。 出示35 50， 电话号码升八位， 可以多多少个电话号码？

提问能力的培养—— 知道什么是好的，才有方向。 提问能力的培养—— 知道什么是好的，才有方向。 评价目标 流畅性：问题数量 灵活性：问题种类 独创性：新颖程度 巴克（Balker）的研究

提问能力的培养—— 知道什么是好的，才有方向。 提问能力的培养—— 知道什么是好的，才有方向。 信息来源 已知的信息：来自已有情境的数学信息； 改进的信息：提问者基于已有情境进行修改和改进的问题信息； 拓展的信息：仅仅增加了原有情境的信息量的问题信息； 附加的信息：提问者自己提供的信息； 不清楚的信息：这是一类在信息来源上具有开放性的问题信息 冈沙雷斯 的研究

提问能力的培养——引导 引导学生提出不同种类的问题； 引导语“谁还能提出更多的数学问题” 引导语“谁还能从不同的角度提出问题” 引导语“这个问题很有新意！××都能补充信息提问了。”

提问能力的检测图

提问能力的实验数据分析 表2 ：提出问题“流畅性”比较分析 ； 从表2 可以发现：实验班的提问能力相对于对照班，差异非常显著。； 人数 平均分 （问题个数） 标准差 实验班 30 27．93 8．67 Z＝3.14 P<0. 01. 对照班 21．8 6．27 从表2 可以发现：实验班的提问能力相对于对照班，差异非常显著。；

提问能力的实验数据分析 表3：提出问题“灵活性”比较分析 从表3 可以发现，实验班的提问能力相对于对照班，差异显著。 人数 平均分 标准差 30 11 4．39 Z＝2.18 P<0. 05. 对照班 8．7 3．5 从表3 可以发现，实验班的提问能力相对于对照班，差异显著。

提问的常见策略 一般化 求变 否定假设法 反向思维

提问的常见策略 一般化： 三角形的内角和是180， 四边形呢？ 三角形的外角和是360， 一般的多边形呢？

提问的常见策略 求变（加大难度）： 用一条直线把图形分成面积相同的两部分？

提问的常见策略 否定假设法 学习真分数之后，有没有学生会问如果分子比分母大呢？ 学习带余除法，如果被除数除以除数商整数后还有余数怎么办？ 学习混合运算时，先乘除后加减，但如果要先算加减那怎么办呢？

提问的常见策略 反向思维： 3个5角的硬币和4个1元的硬币组成总面值是5元5角； 如何用5角和1元的硬币组成5元5角？ 能否全用5角的组成5元5角？ 能否全用1元的组成5元5角？ 如何用5角和1元的硬币组成5元5角？怎样搭配可以使硬币数最少？怎样又最多？

提问能力培养的问题 怎样培养学生合理改造信息提出问题？ 课后提问与课前提问有什么不同？ 如何建立提问能力检测的标准？ 提问能力与解题能力的相关研究？ ……

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