第二單元之一： 統計估計-點估計

統計估計 人們對於未知的事件或現象，通常利用少數已知的資料來估計或推測它的真相，估計是人們最常使用的統計方法之。統計估計是利用樣本統計量來估計母體參數。統計估計可分為點估計及區間估計。一般而言，是先進行點估計，然後再進行區間估計。

統計估計(續) 如果是以普查的方法來蒐集資料，則不需要利用估計與檢定的方法來推估母體參數。 當我們要研究研究今年大學畢業生的平均薪資或就業比例，或要研究國民的平均所得等問題時，因為母體很大，因此我們必須利用抽樣的方法，去抽取樣本，再從樣本中得出樣本統計量（例如樣本平均數），然後根據樣本統計量的抽樣分配（sampling distribution）去估計母體參數，以瞭解母體的特性。由「樣本資料」推論「母體特性」的統計學稱為推論統計學，令推論統計學可依推論的目的區分為統計估計（statistical estimation）與假設檢定（hypothesis testing）後續章節。

統計估計(續) 統計推論因為是從樣本來推論母體，故其結果不是百分之一百確定，因此統計推論必須說明不確定的程度。 統計估計相當重要，現實世界中需要應用統計估計的事件非常多，舉凡各種選舉候選人支持度的估計、失業率的估計、國民所得的估計、捷運公司平均載客收入的估計、大學畢業生平均起薪的估計、衛生署對全民健康醫療需求與國民負擔能力的估計、電腦廠商對其電腦市場佔有率的估計等。 統計估計可分為兩部份：一個是點估計（point estimation)；另一個是區間估計（interval estimation）。

什麼是點估計? 簡單的說，點估計係指以一組樣本所獲得的樣本統計量來推估母體參數的真值。點估計的目的在於，由樣本所獲得的樣本統計量能夠儘可能的接近母體參數的真值。 點估計是指由母體抽取一組樣本(數量為n的隨機樣本)，並由此尋找樣本統計量做為母體參數的估計值。具體而言，我們若想估計母體平均數μ，抽取樣本數為n的隨機樣本，並計算樣本統計量X，以此來估計母體平均數μ，就叫點估計。

點估計(例1) TVBS民調中心在2008年3月10日的民意調查結果為：馬英九的支持率53％、謝長廷29％。」以隨機抽樣進行電話訪問，共訪問965位台灣地區20歲以上公民。在95％的信心水準下，抽樣誤差約為正負3.2個百分點。」問上 面的估計結果其意義為何？ 上面的所稱的53％、29％都是點估計。估計的目的是希望藉此瞭解投票率，以及各候選人的支持率。至於為什麼要抽取965位合格選民？什麼是95%信心水準，以及抽樣誤差約為正負3.2個百分點都與區問估計有關，後面再說明。

點估計(例2) 王先生與太太想在台北市買一楝20~25坪的房子居住，由於房屋位置不同，屋齡不一，若只問幾家，恐怕吃虧。王先生學過統計學，他想利用統計估計得知台北市區房屋的一般（平均）價格μ。 他的估計步驟如下： (1)以簡單隨機抽樣法從台北市區的房屋仲介公司的待售屋的資料中，抽取36間(n=36)面積20~25坪的房屋為一組樣本，其價格如下

點估計(例2續)

點估計(例2續) 根據上面抽樣的統計結果，王先生得到如下的結論：「台北市區面積20~25坪房屋的平均價格為935.28萬元，平均價格的標準差為223.65萬元。」 上面所完成的這個統計過程稱為點估計。在此過程中，王先生以平均價格X=935.28萬元做為母體平均數μ的點估計值，以樣本標準差S=223.65萬元做為母體標準差σ的點估計值。 你認為他的樣本估計值是否接近母體參數的真值？因為以點估計的結果來推估母體，誰也不知道結果的真確性。因為樣本為隨機樣本，而且只用一組樣本的樣本統計量做為母體參數的估計值，「估的不準」機會較高。如果他抽出另外一組樣本（仍是36個值，但其中至少有些元素不相同），那麼她所得到的點估計值必然不相同。例如可能是X=968，S=232，因此結論也就不一樣了。一般而言，點估計值總是與母體參數不同。另外，點估計係僅以一組樣本的統計量來估計。

常態分配

何謂常態分配? 很多物理及生理數據，甚至是人類經濟與社會的表現，都是依循常態分佈(normal distribution），所以它是自然界最毫無特色的分布，但卻最重要，因為它是最常見的分配。 常態分佈是在數學家高斯提出”觀測誤差呈現常態分配”後，常態分配才受到關注，雖不是高斯最先提出，但又稱高斯分配。 依照慣例，得先看看常態分佈的特性。

常態分配定義與特性 常態分布有三種特質 對稱的鐘型曲線（bell-shaped curve），以平均數為中心左右對稱，向二邊無限大延伸。 所有常態分布在其曲線下有其特有的內在分布情形。不論平均數（μ）及標準差（σ ）是多大或多小，曲線下某兩點間的相對面積永遠是相同的。 常態分布是由平均數（ μ ）及標準差（ σ ）兩個參數所定義的一種理論分布，常態分布的指數方程式（exponential equation）為 ：

常態分配公式 這個公式的影響因素有2個，即μ(平均值；集中指標)與σ (標準差 ；離散指標)。如同影響拋物線方程式y=ax2+bx+c線形的參數就是a、b、c。 N.D表達方式 : N( μ , σ2 )，只要變化μ , σ2，則線形有無限多個。

公式聽不懂? 公式記不起來，無所謂。

常態分布的特質 鐘形對稱。 曲線的中心位置即為尖峰所在之處。μ = Md=M0 總面積=1，向二邊無限遠延伸。 反曲點距離中心點(μ)為σ。 請教IQ=100~120間的人有多少?怎麼算? 當然是拿常態分布公式去積分啦!上下限分別是120與100! 微積分大家學得如何?

常態分布的特質(續) 常態分配的形狀隨其參數（平均數μ與標準差σ ）的不同而不同。亦即當μ與σ變動時，常態曲線即跟著變動。左圖表示平均數相同標準差不同的常態曲線。圖中三條曲線的平均數都是0，而標準差分別為1(變異數為1)、0.5(變異數為0.25)及0.3(變異數為0.09)。由圖可知，標準差越小，分散度越小（尖峰越高）。右圖表示平均數不同標準差相同的常態曲線，圖中三個標準差都相同(0.25)，而平均數分別為2、0與-2。平均數一2的常態曲線位於平均數0的常態曲線的左邊，平均數2的常態曲線位於平均數0的右邊。

常態分布的特質(續) 應注意的是，變動常態曲線的平均數並不會改變常態曲線的形狀，只會改變曲線的中心位置；但若改變標準差，則會改變常態曲線的形狀，標準差較小的常態分配，分散度較小。 但如此一來，常態分配圖形豈不是有胖有瘦?待會再談

經驗法則 常態分配的機率範圍，常用的有三個(又叫68、95、99.7法則) 離平均數l個標準差等距的範圍之機率為0.6826 離平均數2個標準差等距的範圍之機率為0.9545 離平均數3個標準差等距的範圍之機率為0.9974

不同的常態分布 常態分配的形狀隨其參數（平均數μ與標準差σ ）的不同而不同。亦即當μ與σ變動時，常態曲線即跟著變動。因此，有許多類似鐘形的分布，如此要算X軸上某點所圍面積，只能用積分的方式，真是這樣就累了! 這代表微積分不好，統計也學不好。所以，數學家已經算出分配表可查。只是，我們得先做些轉換。

標準常態分布  

標準常態分布題型 (1)給點求面積 (2)給面積求點 在看考題之前，先練習看常態分配機率表 附件1 : 工程用常態分布表(負無限到z) 工程用=商用+ 0.5

題型1-給點求面積 Ex: 請計算標準常態分配 P(0<Z<0.54)的機率值

題型1-給點求面積(續) Ex: 請計算標準常態分配 P(Z>0.54)的機率值 方法2 : P(Z>0.54) = P(Z>0) - P(0<Z<0.54) = 0.5 – 0.2054 = 0.2946

題型1-給點求面積(續) Ex: 請計算標準常態分配 P(-0.5<Z<1)的機率值 P(-0.5<Z<1) = P(-0.5<Z<0) + P(0<Z<1) = 0.1915 + 0.3413 = 0.5328

題型1-給點求面積(應用)  

IQ分數”介於100~120之面積”及” >120之面積” 題型1-給點求面積(應用) IQ分數”介於100~120之面積”及” >120之面積”

點求面積題型心得 Z 轉換的淨效果，是將任何常態分布轉換為標準常態分布(standard normal distribution)。 標準常態分布之μ=0、 σ =1。 上述轉換所得到的標準常態分布，對計算信賴界線(confidence limits)及假設檢定(tests of hypotheses)時非常重要，它所對應的面積列於附件中 。 因為常態曲線是對稱的，0 到任何負Z 之間的面積會等於0 到Z 之間的面積 因為曲線下的總面積等於1，而且曲線是以0 為中心左右兩邊對稱，所以Z 值右方的面積可由.5 減去A 面積得之；另一種解釋方式為A 面積（介於平均數0 到Z 之間）加上B 面積（Z 及其右方的面積）永遠等於.5。

題型1-牛刀小試 Ex : (1) P(0<Z<1.96) (2) P(-1.81<Z<1.81) (5) X~N(10,2)，觀察X介於11~13.6間之機率？  

HW3 假設某產品的長度量測資料成常態分佈，其平均數為38.5公分，標準差為2.5公分，若此產品的規格界限為38±2，產品的不良率有多少? Note: 規格中心38 cm、規格上限40 cm、規格下限36 cm  

HW4 Ex : 父權官司，專家說懷孕天數(x)~N(μ=270, σ =10)，被告男方提出證明，孩子出生前240~290天不再國內，求被告是小孩生父的機率有多少?  

題型1與2 (應用)  

統計分配

統計分配 還記得王先生只根據一組樣本作為台北市房價平均值的案例? 如果他多抽樣幾組樣本，會不會比較接近真值呢?? 當我們要利用樣本統計量去推論母體參數時，會遭遇到所使用的樣本統計量是否能夠正確的代表母體參數的問題。由於樣本統計量隨樣本的變動而不同，根據樣本統計量所做的推論便含有某一程度的不確定性·為了瞭 解此種不確定性的程度，就必須先瞭解樣本統計量的值可能出現的機率(這句話是甚麼意思?) 。 樣本統計量的機率分配(這句話是甚麼意思?)，稱為抽樣分配。

抽樣分配  

抽樣分配 有了樣本平均數X的抽樣分配，我們可以進一步計算 樣本平均數的平均數μx 其中 μx= μ 樣本平均數的標準差 加法定理:若母體是常態分配N(μ，σ2)，則X也是常態分配N(μ，σ2/n)，但其間還是存在一差距，只是這差距隨n變化。 Ex:已知成人的身高為一常態分配，平均數為168公分，變異數為100，簡單隨機抽取5人，則5人的平均身高將為常態分配，其平均數為μ=168公分，標準差為    

中央極限定理 觀念複習 一般而言，感興趣的是很廣泛的族群(母體，population)，但因母體不易取得，所以會從母體中抽取部份個體(樣本，sample)，再由這些樣本資料來計算一些數字(統計量，Statistics)，估計母體的特性（或參數，parameter)。通常以希臘字表示母體的參數，英文字母表示樣本的統計量。

中央極限定理(舉例) 假設一個班級有100人, 我想進行一個抽樣調查~~ 一次抽10人，我可以抽幾次? 10次可以嗎? 可以 會有幾個樣本平均數? 10個 我能不能把這10個平均數，拿來再算一個平均數? 我能不能把這10個平均數，拿來再算一個標準差? 可以

中央極限定理(續) 眾多樣本平均數的分佈 = 常態分佈 眾多樣本平均數的平均數 = 母體平均數 眾多樣本平均數的標準差 = 標準誤 (standard error)

中央極限定理(續) 中央極限定理（central limit theorem）是推論統計中很基本及重要的定理之一。是指當樣本數n夠大（n>30)，則從母體（不一定是常態分佈），非常完美的隨機重複抽出固定n個樣本，樣本平均之抽樣分佈會趨近常態分佈。更廣而言之，母體不一定要連續性分布，就算連續性分布也不限常態，單峰、雙峰、多峰、不規則峰、間斷分布都適用。 設母體資料之平均值為μ，標準差為σ。 從母體隨機計抽取樣本，每次抽出n個數值，計算其平均值X。 重複抽樣無數次，便有無數個X。 這些X可組成一分佈，稱為樣本平均數組成的抽樣分佈。

中央極限定理(續)  

中央極限定理(續)    

中央極限定理及抽樣分佈 製作身高直方圖 母體分布

中央極限定理及抽樣分佈(續) A B C

中央極限定理及抽樣分佈(續)

為何要叫做中央極限定理? 母體分佈形狀及樣本數對樣本平均之抽樣分佈之影響 母體 n=2~10 n=11~20 n=~100

何時達到中央極限 續前頁，從前頁我們可以發現的趨勢，當n越大: 中的 σ x 應越小(即越往中間集中，換句話說就是離散情形越小的類似常態分布) 當n趨近非常大，以台灣人口抽樣而言，如果n趨近於2300萬(極限為全部人口)，那麼μ x分布圖會變甚麼樣? 中央極限定理結論: 若母體為常態(或近似)，則sample size n不論大小，重複抽樣的分布必定為常態。(前頁最右欄) 若母體為未知分布，則sample size n需大於30，則重複抽樣的分布才會為常態，才能用x推估μ。  

應用題

應用題(解) Z Z Z

結語 ■已知數據來自某一母體（μ，σ），只有抽樣一次，可計算出現X之機率。 （標準常態分佈） ■未知數據來自哪一母體，假如重複抽樣無限次，便可估計μ 。 （中央極限定理） ■未知數據來自哪一母體，只有抽樣一次，可估計件值之範圍。 （見後面章節信賴區間） ■未知數據來自哪一母體自一特定母體，評估X檢定），只有抽樣一次，假設數據來來自此母體之可能性。 （見後面章節假說檢定）