3.1正弦交流电 3.2三相交流电动势的产生及链接方式 项目三正弦交流电路 主要内容 3.1正弦交流电 3.2三相交流电动势的产生及链接方式

3.1正弦交流电路 交流电的概念 如果电流或电压每经过一定时间 （T ）就重复变化一次，则此种电流 、电压称为周期性交流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯齿波 等。 记做： u(t) = u(t + T ) T u t u T t

正弦交流电路 如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。 t i

正弦交流电的正方向 i i t u 正弦交流电也要规定正方向,表示电压或电流的瞬时方向 实际方向和假设方向一致 R 用小写字母表示交流瞬时值 实际方向和假设方向相反 交流电路进行计算时，首先要规定物理量 的正方向，然后才能用数字表达式来描述。

3.1正弦量的特征量及表示方法 3.1.1 正弦波的特征量  i ： 电流幅值（最大值） ： 角频率（弧度/秒） ： 初相角 特征量:

最大值 如：Um、Im 正弦波特征量之一 -- 幅度 电量名称必须大 写,下标加 m。 为正弦电流的最大值 在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。

有效值电量必须大写，如：U、I 有效值概念 热效应相当 交流电流 i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等，则称I的数值为i的有效值 交流 直流 则有 （均方根值） 可得 当 时， 有效值电量必须大写，如：U、I

U = 2 i= 2 I sin(t+) u= Um sin(t+) u= 2 U sin(t+) i可写为： 同理: 可得 当 时， i= 2 I sin(t+) i可写为： 同理: u= Um sin(t+) 2 m U = u= 2 U sin(t+) u可写为：

问题与讨论 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? 电器 ~ 220V 最高耐压 =300V 有效值 U = 220V 最大值 Um = 220V = 311V 电源电压 该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。

2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ... 正弦波 特征量之二 -- 角频率 i T 描述变化周期的几种方法 1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒.. 2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ... 3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 单位：弧度/秒

i 正弦波 特征量之三 -- 初相位 说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点， ：正弦波的相位角或相位 ： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。 i 说明： 给出了观察正弦波的起点或参考点， 常用于描述多个正弦波相互间的关系。

两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)  t >0 =0 <0 ( ) 2 1 j w j - = + t

两种正弦信号的相位关系 同 相 位 相位差为0 与 同相位 相 位 领 先 领先于 落后于 相 位 落 后

结论: 可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。 如： 幅度、相位变化 频率不变 因角频率（）不变，所以以下讨论同频率正弦波时， 可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。

例 已知： A 幅度： 频率： 初相位：

( ) sin w 90 - = + t I i j j - =90 -（-90 ）= 180 = 例: 2 1 sin w 90 - = + t I i m 例: 2 1 j j - =90 -（-90 ）= 180 = 如果相位差为+180 或-180 ,称为两波形反相

重点 3.1.2 正弦波的表示方法 i 正弦波的表示方法： 必须 小写 前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。 波形图   瞬时值表达式

正弦波的相量表示法 ω ω 概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量 在纵轴上的投影值来表示。 矢量长度 = 矢量与横轴夹角 = 初相位 矢量长度 = 矢量与横轴夹角 = 初相位 ω 矢量以角速度 按逆时针方向旋转 13

U U I U I 或 相量的书写方式 m m 最大值 有效值 1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其 幅度用最大值表示 ，则用符号： m U I 2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号： U I 3. 相量符号U、I 包含幅度与相位信息。

正弦波的相量表示法举例 例1：将 u1、u2 用相量表示 相位哪一个领先？哪一个落后？ 领先于 U2 U1 幅度：相量大小 设： 相位：

( ) ( ) U + = sin j w + = t U u sin 2 j w + t U u= u1 +u2 = 平行四边形法则 例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则 ( ) 2 1 sin j w + = t U u ( ) sin 2 j w + t U u= u1 +u2 = U 同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。 U2 U1 2 1 U + = 14

( ) sin 2 j w + t U    = 用正弦定理求角： sin  U U2 sin  = =180º –  U2=U12+U22 –2U1U2cos  =  1+  ( ) sin 2 j w + t U u=

注意 ： 1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上， 不同频率不行。 新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 相量 复数表示法 复数运算 15

j sin cos jU U jb a + = U U 相量的复数表示 b a 放到复平面上，可如下表示： 将相量 +1 a、b分别为U在实轴和虚轴上的投影 j sin cos jU U jb a + =

j + = U jb a ) sin (cos = e U j Ð Þ U U b a +1 j 欧 拉 公 式 代数式 指数式 极坐标形式 16

e U jb a = + e U jb a = + - e U jb a = - e U jb a = - 设a、b为正实数 在第一象限 j e U jb a = + - 在第二象限  在一、二象限，一般取值：180°   0 ° j e U jb a = - 在第三象限 在第四象限 j e U jb a = -  在三、四象限，一般取值：0°   -180 °

2=120° U2 U1 1=60° +1 U3 3= -120°

4 3 j U - = 4 3 j U + - = 4 3 j U - = 4 3 j U + = 计算相量的相位角时，要注意所在 例： 象限。如： 例： 4 3 j U + = 4 3 j U - = 4 3 j U + - = 4 3 j U - =

相量的复数运算 1. 复数加 、减运算 2 1 jb a U + = 设： j Ue b a U = ± + ) ( 2 1 则：

2. 复数乘、除法运算 2 1 j e A = 设： ) ( 2 1 j + = e A 乘法： ( ) 2 1 j - = e A 除法：

= e A A ) ( ± j称为90°旋转因子 乘以+j使相量逆时针转90° 乘以-j使相量顺时针转90° ± 90 j 说明： 设：任一相量 A 则： = ± o 90 e A j ) ( ± j称为90°旋转因子 乘以+j使相量逆时针转90° 乘以-j使相量顺时针转90°

复数符号法应用举例 例1: i 、u 的相量 V 5 . 190 110 60 220 2 1 311 j U - = Ð 已知瞬时值，求相量。 求： i 、u 的相量 已知: 解： A 50 6 . 86 30 100 2 4 141 j I + = Ð o V 5 . 190 110 60 220 2 1 311 j U - = Ð o 17

例2： A 10 60 100 e I = - Ð 已知相量，求瞬时值。 已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形式为： 求： 30 2 1 o j e I = - Ð 求： 解：

小结：正弦波的四种表示法 T i 波形图 瞬时值 U I 相量图 复数 符号法 j Ð Þ = + U e jb a

符号说明 u、i 瞬时值 --- 小写 U、I 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数、相量 --- 大写 + “.” U

正误判断 ？ = w U = u 100 sin t 复数 瞬时值 19

正误判断 ？ ) 15 sin( 2 50 o + = ° t e U j w 复数 瞬时值

3.2正弦交流电路的分析与计算 3.2.1 单一参数的正弦交流电路 一. 电阻电路 u i R 根据 欧姆定律 设 则 21

Ð = U Ð = I Ð = U IR R I R I U = 电阻电路中电流、电压的关系 t I R U u i w sin 2 = U o Ð = U o Ð = I 1. 频率相同 2. 相位相同 5.相量图 3. 有效值关系： U I 4. 相量关系 o Ð = U IR R I R I U =

电阻电路中的功率 1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积 u i R 小写 =2UIsin2 t 22

电阻的瞬时功率波形图 p=2UIsin2 t ωt u i p 2. （耗能元件） 结论： 1. 随时间变化

2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值 u i R P=UI =I2R=U2/R U=IR 大写

i u cos 2 = t L I dt di u w ) 90 sin( 2 + = t I w ) 90 sin( 2 + = t U 二.电感电路 i u L 基本关系式： 设 cos 2 = t L I dt di u w 则 ) 90 sin( 2 o + = t I w XL ) 90 sin( 2 o + = t U w 23

电感电路中电流、电压的关系 ) 90 sin( 2 + = t U u w u i 其中： U=IXL ， XL= L 设： o + = t U u w 1. 频率相同 2. 相位相差 90° （u 领先 i 90 °） i u

90 Ð = I U Ð Ð = I XL = I j XL 或 I=U/ j XL 设： 3. 有效值 定义： 感抗（Ω） 4. 相量关系 o Ð = I 设： o 90 Ð = I U XL Ð o = I j XL 或 I=U/ j XL

U= I j XL I=U/ j XL 复数符号： 有效值： I=U/ XL 5. 相量图 U I o Ð = I 90 U

电感电路中复数形式的 欧姆定律 ( ) L X j I U = 其中含有幅度和相位信息 u、i 相位不一致 ！ ？

关于感抗的讨论 ω = 0 时 u 感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。 U + _ R u + _ L R ω = 0 时 XL = 0 直流

电感电路中的功率 1. 瞬时功率 p ： i u L 24

i u u i P L u i u i u i u i + + 电压电流实际方向 P <0 P <0 P >0 可逆的 能量转换 过程 储存 能量 释放 能量 p为正弦波，频率加倍

2. 平均功率 P （有功功率） 结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量 交换（能量的吞吐） 25

3. 无功功率 Q Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。 Q 的单位：乏、千乏 (var、kvar)

三、电容电路 基本关系式: u i C 设： 则： 27

电容电路中电流、电压的关系 1. 频率相同 2. 相位相差 90° （ i 领先u 90° ） i u

I 3. 有效值 或 容抗（Ω） 定义： 则：

4. 相量关系 设： 则：

电容电路中复数形式的 欧姆定律 领先！ 其中含有幅度和相位信息

ω 关于容抗的讨论 e 容抗 ω＝0 时 是频率的函数， 表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。 + 直流 - + E

电容电路中的功率 1. 瞬时功率 p u i

i u ωt u i 充电 p 放电 P < 0 释放 能量 P > 0 储存

2. 平均功率 P

3. 无功功率 Q 瞬时功率达到的最大值（吞吐规模） （电容性无功取负值） 单位：var，乏

u i C 例 求电容电路中的电流 已知： C ＝1μF 求：I 、i V 解： 电流有效值

电流有效值 i 领先于 u 90° 瞬时值

小 结 1. 单一参数电路中的基本关系 电路参数 R 基本关系 复阻抗 电路参数 基本关系 复阻抗 L 复阻抗 电路参数 基本关系 C

2. 单一参数电路中复数形式的欧姆定律 复数形式的欧姆定律 在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示， 电路参数用复数阻抗（ ) 在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示， 电路参数用复数阻抗（ ) 表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相似。 电阻电路 电感电路 电容电路 复数形式的欧姆定律

单一参数正弦交流电路的分析计算小结 R L C u、 i 同相 基本 关系 复数 阻抗 电压、电流关系 功率 电路 参数 电路图 （正方向） 瞬时值 有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率 设 i R u 则 u、 i 同相 设 i L 则 u u领先 i 90° 设 i 则 C u u落后i 90°

3.2.1 三相电动势的产生   e N S 在两磁极中间，放一个线圈。 让线圈以 的速度顺时 针旋转。 A X 3.2.1 三相电动势的产生 N S 在两磁极中间，放一个线圈。 让线圈以  的速度顺时 针旋转。 A X  e 根据右手定则可知，线圈中产生感应电动势，其方向由AX。 合理设计磁极形状，使磁通按正弦规律分布，线圈两端便可得到单相交流电动势。

 一、三相交流电动势的产生 定子 A 定子中放三个线圈： Z S A  X B  Y Y C  Z B C 首端 末端 N • Z S Y • •  B C N 三线圈空间位置 各差120o 转子 X 转子装有磁极并以  的速度旋转。三个 线圈中便产生三个单相电动势。

二、三相电动势的表示式 1. 三角函数式 三相电动势的特征：　 大小相等，频率相同，相位互差120º。

2. 相量表示式及相互关系 Em 0° 120° 240° 360° t 120°

3.2.2 三相交流电源的连接 一、星形接法 1. 连接方式 A X Y C B Z N

（中线） （火线） A X Y C B Z N A B C 火线（相线）: 三相四线 制供电 中线（零线）：N

2. 三相电源星形接法的两组电压 A C B N 相电压：火线对零线间的电压。 120 UP代表电源相电压的有效值 三个相电压是对称的

线电压：火线间的电压。 C A B N 注意规定的 正方向

30 线电压和相电压的关系：

三个线电压也是对称的：大小相等，为相电压的 倍，相位领先对应的相电压30°，互成120°相位差。 同理： 三个线电压也是对称的：大小相等，为相电压的 倍，相位领先对应的相电压30°，互成120°相位差。

在日常生活与工农业生产中，多数用户的电压等级为 线电压与相电压的通用关系表达式： ---为电源的相电压 ---为电源的线电压 在日常生活与工农业生产中，多数用户的电压等级为

§3.2.3 三相负载及三相电路的计算 负载有两种接法: 三角形接法 A C B Z • 星形接法 A C B N Z

三相对称负载星形接法及计算 A Z N Z C Z B 相电流(负载上的电流)： 线电流(火线上的电流)：

A C B N Z 一、星形接法特点 相电流=线电流 * : 零线电流

*负载两端的电压等于电源的相电压 A C B N Z

二、负载星形接法时的一般计算方法 A C B N Z 线电流、相电流计算通式：

结论：三相电源对称，负载对称且Y形连接，则三个线电流也是对称的。中线电流为0

例：三相电源， 三相对称负载，Y型接法，每相 求：每相负载中的电流及各线电流相量。 解： 设

1. 负载不对称时，各相单独计算。如： 已知： 三相负载 R、L、C 以及 三相线电压： C R A B N L 求：各相、各线及中线电流

C R A B N L 线 电 压 解： (1) 相 电 压

C R A B N L 令： 则相电压为：

C R A B N L (2) 相电流

(3) 中线电流 (4) 相量图

3. 负载对称，只要求电流、电压大小时，仅算一相 2. 负载对称时，只需计算一相。 如： 则： 据此可直接得出另两相电流： （中线电流为0） 3. 负载对称，只要求电流、电压大小时，仅算一相 有效值即可。

答：Y形连接，三相完全对称时，零线可以取消。称为三相三线制。 问题及讨论 负载对称时 零线是否可以取消？ 答：Y形连接，三相完全对称时，零线可以取消。称为三相三线制。 A C B Z

三相三线制供电时，若各相负载不相等，将如何？ A N' N C B 已知： 每盏灯的额定值为: 220V、 100W 求：各相负载电流。

用节点电位法 A N N' B C R N N' A B C

R N N' A B C 每盏灯为 220V、 100W 、 代入R 值得：

应用实例----照明电路 正确接法: 每组灯相互并联,然后分别接至各相电压上。设电源电压为： 能否取消中线？ 正确接法: 每组灯相互并联,然后分别接至各相电压上。设电源电压为： A C B ... 一组 二组 三组 N 每组灯的数量可以不等，但每盏灯上都可得到额定的工作电压220V。

中线的作用在于，使星形连接的不对称负载得到相等的相电压。为了确保零线在运行中不断开，其上不允许接保险丝也不允许接刀闸。 关于零线的结论 负载不对称而又没有中线时，负载上可能得到大小不等的电压，有的超过用电设备的额定电压，有的达不到额定电压，都不能正常工作。比如，照明电路中各相负载不能保证完全对称，所以绝对不能采用三相三相制供电，而且必须保证零线可靠。 中线的作用在于，使星形连接的不对称负载得到相等的相电压。为了确保零线在运行中不断开，其上不允许接保险丝也不允许接刀闸。

三角形接法及计算 A C B 特点：负载的相电压=电源的线电压

A C B 各电流的计算 每相负载电流 ZAB ZCA ZBC 线电流

（1）负载不对称时，先算出各相电流，然后计算线电流。 A C B ZAB ZBC ZCA （1）负载不对称时，先算出各相电流，然后计算线电流。 （2）负载对称时（ZAB=ZBC=ZCA=Z ），各相电流有 效值相等，相位互差120 。有效值为：

负载对称时，三角形接法线、相电流的相位关系 A B C 设：负载为阻性的，阻抗角为 0  。   同理：

负载对称三角形接法，负载两端的电压等于电源的线电压；线电流是相电流的 倍，相位落后对应的相电流30°。 负载对称时三角形接法的特点 A C B 负载对称三角形接法，负载两端的电压等于电源的线电压；线电流是相电流的 倍，相位落后对应的相电流30°。  

§3.3 三相电路的功率  由负载 3.3.1 三相电路的功率的计算   性质决定 星形接法时： 三角形接法时： 三相总有功功率： §3.3 三相电路的功率  由负载 性质决定 3.3.1 三相电路的功率的计算 三相总有功功率： 负载对称时： UP、IP代表负载上的相电压和相电流 星形接法时：  三角形接法时： 

在三相负载对称的条件下，三相电路的功率： 有功功率： 无功功率： 视在功率：

三相电源一般都是对称的，而且多用三相四线制接法。 三相交流电路的小结（1）--三相电源 A C B N 三相四线制 三相电源一般都是对称的，而且多用三相四线制接法。

三相交流电路的小结(2)--三相负载 A C B N Z 星形负载 三角形负载 A C B Z

负载对称时：电压对称、电流对称，只需计算一相。 三相交流电路的小结(3)--三相电路计算 各相电压、电流单独计算。 负载不对称时： 负载对称时：电压对称、电流对称，只需计算一相。 求电表读数时，可只算有效值，不算相位。 三相电路的计算要特别注意相位问题。  负载Y形接法 对称负载时： 负载形接法 对称负载时：

三相交流电路的小结(4)--三相功率计算 三相总功率： 负载对称时： 和接法 无关