8 一般函數模型之比較靜態分析

一般函數模型之比較靜態分析 8.1 微分式 8.2 全微分式 8.3 微分式法則 8.4 全導來式 8.5 隱函數之導來式 8.6 一般函數模型之比較靜態分析

一般函數模型之比較靜態分析 章旨：前一章討論偏微分後，及可以處理較簡單的比較靜態問題。 也就是，其均衡解可以縮減式明顯表示出。再將其解經過偏微分後，便可產生所求，比較靜態式。偏微分的前提，自變數間不存在任何函數關係。 若模型內加入一般函數，以致無法得到清楚表示出之縮減式解，比較靜態分析過程就不能如此迅速達成。此時，需直接由模型內已知方程式，求得比較靜態導數。

一般函數模型之比較靜態分析 例： Y ＝ C ＋ I0 ＋ G0 C ＝ C(Y, T0) [T0：外生稅收變數] 經縮減為單一方程式（均衡條件） Y ＝ C(Y, T0) ＋ I0 ＋ G0 C 為一般函數形，無法得到顯解。需直接由原方程式求比較靜態導式。 此時，需採用全微分。全微分以求全導數，以計算如C(Y, T0)函數關於T0之變動率，式中T0亦影響另一自變數。便可處理自變數間非皆為獨立之函數。

8.1 微分式 1. 微分式與導數 ∆y ≡（∆y / ∆x）∆x ⇒ dy ≡（dy / dx）dx或dy與dx為 y與x之微分 式（differentials） ⇒導數可解釋為兩個微分式之商 例1 。求微分式dy

8.1 微分式 2. dy與∆y近似值間的誤差由來 例1所得之微分式dy ＝（6x+7）dx，可以用來計算由於x之變動所造成y之變動量為何。然而，微分式dy與dx只應視為無限小之變量。若將相當之x變動量（∆x）代入，所得之dy僅可作為對應之y變動量（∆y）的近似值。 例如，x由5變為5.01，得dy ＝ （6×5+7）×（0.01）＝0.37。而y之實際變量∆y ＝ 105.3703 － 105 ＝0.3703。兩者存在0.0003之誤差。

8.1 微分式 圖8.1

8.1 微分式 3. 微分式與點彈性 需求彈性的定義： 需求的點彈性： 例2.若需求函數為Q ＝ 100 － 2P，求需求價格彈性。 ⇒線性需求曲線的需求價格彈性。

8.1 微分式 4. 圖形法求點彈性（圖8.2、8.3） A點之邊際函數值為切線AB之斜率；而A點之平均函數值為直線OA之斜率 ⇒于A點，y ＝ x0A，x ＝ Ox0，故得平均值 y / x ＝ x0A / Ox0 ＝直線OA之斜率。 若AB比OA陡，則函數於A點富有彈性；反之則為缺乏彈性（又兩斜率之比較也可以直接比較兩角θm與θa之大小）。

8.2 全微分式 1.全微分式（total differential）：可將微分式之概念推廣及於含有兩個或更多個自變數之函數。

8.2 全微分式 1. 儲蓄函數 S ＝ S (Y, i) 式中S表儲蓄，Y表國民所得，i表利率。假定此函數具連續且可微分特性。

8.2 全微分式 S之全部變動為 或 式中dS為兩種變動量之和，稱為儲蓄函數之全微分式。(其中第一項為S因為Y改變而變動的部分, 第二項為S因為i改變而變動的部分. ) 當Y變動時，i若保持固定不變（d i =0）。全微分是就會縮減為偏微分式。

8.2 全微分式 2. 偏彈性（partial elasticities）儲蓄的所得彈性與儲蓄的利率彈性

8.3 微分式法則 法則I d (c un) ＝ cnun-1du [與指數函數法則對應] 法則II d (u ± v) ＝ d u ± d v [與和差法則對應] 法則III d (u v) ＝ v d u ＋ u d v [與乘積法則對應] 法則IV [與商法則對應]

8.3 微分式法則 試求以下函數之全微分式 例1 例2 例3

8.3 微分式法則 法則V d (u ± v ± w) ＝ d u ± d v ± d w 法則VI d (u v w) ＝ v w d u ＋ u w d v ＋ u v d w

8.4 全導式 全導式並不令自變數間相互獨立 1. 求全導式（derivative） y ＝ f (x, w) 其中 x ＝ g (w) w可透過兩種方式影響 y：（1）間接的，即透過函數g然後f；（2）直接的，透過函數f。 首先全微分y，得全微分式d y = f x d x + f w d w。 兩邊同除以微分式d w，得 式中第二項為直接效果之衡量，第一項則衡量間接效果。

8.4 全導式 例1 已知如下函數，式求其全導式d y/d w。 ，其中 1).運用上式求之 2).將g帶入再求，印證之。

8.4 全導式 例2.若效用函數為U=U（c, s），其中c表咖啡消費量，s表糖之消費量。另有函數s = g（c）表此二物品之互補性，則可代入而簡寫成 U = U [c, g（c）] 由此可得

8.4 全導式 2. 較複雜之模式 變數w可透過三種方式影響 y：（1）間接的，透過函數 g，然後 f，[ ]；（2）間接的，透過函數 h，然後 f，[ ]；（3）直接透過 f。[ ] ⇒

8.4 全導式 例3. 假定有一生產函數 Q ＝ Q（K, L）＝ 25KL － K2 －2L2 其中生產要素K與L為時間t 之函數 K = g（t）＝0.3 t L = h（t）＝ 0.2 t 資本與勞動量均隨時間而遞增。求關於時間之產出變動率。

8.4 全導式 3.另一種更複雜之模式（偏全導式）

8.5 隱函數之導來式 1. 隱函數： 顯函數（explicit function）式：y = f（x），例 y = 3x4；變數y可以明白的表示為x之函數。 隱函數（implicit function）式：F（y, x）＝ 0，例 y － 3x4 ＝ 0所定義的隱函數為 y = 3x4。 注意，隱函數式 F（y, x）＝ 0不一定都能轉為顯函數式y = f（x）。 例如（1）x2 + y2 ＝ 0 為一個點。 （2）x2 + y2 － 9 ＝ 0不是函數，而是一關係（relation）。

8.5 隱函數之導來式 2. 「隱函數定理」 如何確知F（y, x1, …, x m）＝0 定義了一個隱函數 y ＝ f（x1, …, x m）？ ⇒隱函數定理告訴你。

隱函數定理 已知 F（ y, x1, …, x m ）＝0，若 → （1） y ＝ f（ x1, …, x m ） (a) 函數F有連續之偏導式 F y, F1, …, Fm，且 (b) 滿足等式F（ y, x1, …, x m ）＝0 的點（y0, x10, …, xm0），使得Fy0 ≠ 0。 則存在點（ y0, x10, …, xm0 ）附近的一 m 度空間之鄰區，N，使得 y 為 x1, …, x m 所隱含定義的函數。 → （1） y ＝ f（ x1, …, x m ） （2）鄰區N內的每一點都滿足F（y, x1, …, xm ）＝0，故F ＝ 0在鄰區內為恆等式。 （3）f 連續，其偏微分f1, …, fm也連續。

隱函數定理 應用隱函數定理檢驗（8.15）式， F（y, x）＝ x2 + y2 － 9 ＝ 0 →條件（a）Fy ＝ 2y, Fx ＝2x，皆連續。 （b） Fy ＝ 2y，除了在 y ＝ 0時 為0之外，都不等於0。 因此，除了（-3, 0）與（3, 0）兩點外之圓上各點皆可定義一鄰區，在該鄰區內（8.15）定義了一個隱函數y ＝ f（x）。

隱函數定理 3. 隱含數之導式 1). 若由F（ y, x1, …, x m ）＝0可以直接解出y ＝ f（ x1, …, x m ） ⇒先求出y ＝ f（ x1, …, x m ），再解出 f 1, f 2, …,f m。 2). 若由F（ y, x1, …, x m ）＝0無法解出y ＝ f（ x1, …, x m ） ⇒根據隱函數定理，確認隱函數存在，不必解出f，即可求其偏微分。 ⇒利用隱函數法則求微分。

隱函數微分法則 寫出F（ y, x1, …, x m ）＝0之全微分。 假設只有y和x1變動（i.e.只有d y和dx1≠0） dF = 0或 F y d y ＋ F1 dx1 ＋ … ＋Fm d xm ＝ 0 假設只有y和x1變動（i.e.只有d y和dx1≠0） ⇒F y d y ＋ F1 dx1 ＝ 0 ⇒

隱函數微分法則 已知F（ y, x1, …, x m ）＝0，若隱函數 y ＝ f（ x1, …, x m ）存在，則 f 之偏微分為

8.5 隱函數之導來式 例1. 試求y － 3x4 ＝ 0所定義的隱函數之dy / dx。 例2. 試求x2 + y2 － 9 ＝ 0所定義的隱函數之dy / dx。 例3. 試求由等式F（y ,x, w）＝ y3x2 ＋ w3 ＋ yxw － 3 ＝ 0所定義的隱函數之 ，及點（1, 1, 1）偏微分之值。 例4. 假定等式F（Q, L, K）＝0隱含定義一生產函數 Q ＝ f（L, K）。試求關於函數F之邊際實際產量MPPL與MPPK。

8.5 隱函數之導來式 4. 推廣及聯立方程式模式 已知聯立方程組如下： F1（ y1, …, y n； x1, …, x m ）＝0 …………………….. Fn（ y1, …, y n；x1, …, x m ）＝0

8.5 隱函數之導來式 若 (a) 函數F1，… Fn皆有連續之偏導式，且 (b) 滿足聯立方程組的點（y10,…，y n 0； x10, …, xm0），其賈可賓行列式，為非零值。

8.5 隱函數之導來式 則存在一組隱函數。 ⇒應用隱函數微分法則與克來滿法則，可得 y1 ＝ f 1（x1, …, x m） ……………………. y n ＝ f n（ x1, …, x m ） ⇒應用隱函數微分法則與克來滿法則，可得

8.5 隱函數之導來式 例5. 國民所得模型如下 視內生變數（Y, C, T）為（y1, y2, y3）；視外生變數為（x1, x2 , x3, x4 , x5, x6）。

8.5 隱函數之導來式 求政府支出對內生變數之比較靜態，則令G0外所有外生變數與參數保持固定不變。

8.5 隱函數之導來式 ⇒

8.6 一般函數模型之比較靜態分析 市場模型 考慮單一商品市場模型如下： 假設D與S兩函數之導數皆為連續。此處y0是唯一的外生變數或參數；因此模型之比較靜態分析，是關於y0之變動如何影響模型之均衡問題。

1. 應用隱函數法則求解 由均衡條件Qd= Qs⇒ D（P, y0）－ S（P）＝0 （8.28） 檢查是否符合隱函數定理的兩個條件，若符合，則可得 隱函數法則 因為均衡時 ，運用連鎖法則可得：

2. 聯立方程之解法 由均衡條件Q = Qd= Qs⇒重新排列供需函數 其次檢驗隱函數定理條件

3. 利用全導式方法 由均衡條件Qd= Qs⇒ D（P, y0）－ S（P）＝0 （8.28） 檢查是否符合隱函數定理的兩個條件，若符合，則可得 式中 取關於y0之全導式

國民所得模型 考慮一商品市場配合貨幣市場之國民所的模型 假設商品市場包括下列四個函數： 貨幣市場包括兩個函數如下：

兩市場均衡下得：