几 何 光 学 周丽丽 数理教研室

几何光学 第一节 球面折射 第二节 透镜 第三节 眼睛 第四节 几种医用光学仪器

第十四章 几何光学 以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学称为几何光学。 一、几何光学的基本定律： 1、光在均匀介质中的直线传播定律。 　 以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学称为几何光学。 一、几何光学的基本定律： 1、光在均匀介质中的直线传播定律。 2、光通过两种介质分界面时的反射定律和折射定律。 折射定律：n1 sin i1= n2 sin i2 3、光的独立传播定律和光路可逆原理。

第一节　球面折射 一、单球面折射 　　研究当两种透明介质的分界面为球面时的折射成像问题。单球面折射成像规律是研究各种透镜和多球面光学系统成像规律的基础。 1、单球面折射公式 　如图14-1所示，MPN为折射率为n1、n2 (n2>n1)的两种介质的球面分界面，C为球面的曲率中心，曲率半径r。P为球面顶点，PC延长线为球面的主光轴。光线由主光轴上一物点 (Object) O发出，经球面A点折射与主光轴交与I， I为像点(Image)。

由折射定律，有n1 sin i1= n2 sin i2 在近轴光线条件下，i1、i2都很小，故 sin i1≈i1，sin i2≈i2 v u d C O I P h i2 n1 n2 a b i1 q r M N 图14-1 单球面折射 A 在近轴光线条件下，i1、i2都很小，故 sin i1≈i1，sin i2≈i2  由图14-1可见　 i1=a+q i2 =q-b

上式称为单球面折射公式，它描述了单球面折射在近轴光线条件下物距与像距的关系。 1、单球面折射式(14-1) 上式称为单球面折射公式，它描述了单球面折射在近轴光线条件下物距与像距的关系。 　　公式中n1为入射光线所在介质的折射率，n2为折射光线所在介质的折射率。 注意

2、符号规则 式14-1虽然是在n2>n1、凸球面对着入射光线的条件下推导出来的，但它适应于一切凸凹球面。只是它必须遵守如下符号规则： 1)物距u： 实物取正号，虚物取负号。　 2)像距v： 实像取正号，虚像取负号。 3)曲率半径r： 凸球面对着入射光线时取正号； 　 凹球面对着入射光线时取负号； 　　　　 平面的曲率半径 r =∞。

3、物和像的虚实 1)实物：发散的入射光束的顶点为实物(不论是否有实际光线通过该点) 球面 球面 O O 球面 顶点没有实际光线通过 O 球面 O 球面 2)虚物：会聚的入射光束的顶点为虚物(永远没有实际光线通过该点)

3)实像：会聚的折射光束的顶点为实像。 I 球面 I 球面 4)虚像：发散的折射光束的顶点为虚像。

4、焦度(光焦度) 单位：屈光度，用D表示，１D = 1m-1

5、焦点与焦距 1)第一焦点和第一焦距 　将一物点置于主光轴上某一点F1时，若发出的光线经折射后成为平行于主光轴的光线，F1称为第一焦点。F1到球面顶点的距离称为第一焦距，用f1表示。 将　u= f1 ，v =∞代入14-1式，有

2) 第二焦点和第二焦距 　平行于主光轴的光线经球面折射后成像于主光轴上一点F２，则F２称为第二焦点。F２到球面顶点的距离称为第二焦距，用f２表示。 将u =∞， v = f2代入14-1式，有

3)实焦点与虚焦点 当f1、 f2为正值时，F1、 F2为实焦点； 当f1、 f2为负值时，F1、 F2为虚焦点。 4)单球面的两焦点不对称 由式14-3和14-4可知： ∵ n 1≠n2 ∴ f 1≠f2 单球面折射的两个焦距不相等。

5)焦度与焦距的关系

【例14-1】 　圆柱形玻璃棒(n =1.5)的一端是半径为2cm的凸球面。1)求棒置于空气中时，在棒的轴线上距离棒外端8cm的物点所成像的位置。2)若将此棒放入水(n = 1.33)中时，物距不变，像距应是多少？(设棒足够长) 解：1) 置于空气中: u=8cm，n1=1.0，n2=1.5，r=2cm 解得 v=12cm

2) 置于水中时：u =8cm ，n1=1.33，n2 =1.5，r =2cm 代入公式得 解得　v=－18.5cm

【补充例题】 一条鱼在水面下1米处，水的折射率n=1.33，若在鱼的正上方观察，其像的位置在哪里？ 解：u =1m，n1 = 1.33，n2 = 1，r =∞ 解得 v =－0.752m 像为虚像，位置水面下0.752米处。

二、共轴球面系统 两个或两个以上 的折射球面的曲率 中心在一条直线上， 组成共轴球面系统。 各曲率中心所在直线称为共轴球面系统的主光轴。 　两个或两个以上 的折射球面的曲率 中心在一条直线上， 组成共轴球面系统。 各曲率中心所在直线称为共轴球面系统的主光轴。 C1 C2 C3 C4 n1 n2 n3 n4 n5 1．逐个球面成像法 前一个球面出射的光束对后一个球面来说是入射光束。所以前一个球面所成的像就是后一个球面的物，依次应用单球面折射公式，逐个对各球面成像。最终求出通过整个系统所成的像。

【例14-2】 玻璃球(n=1.5)半径为r =10cm，一点光源放在球前40cm处，求近轴光线通过玻璃球后所成的像。 解：第一球面成像：u1=40cm，r 1=10cm，n1=1，n2 =1.5

第二球面成像：u2= -(v1-2r )= -40cm， n1 = 1.5， n2 = 1，r 2= -10cm 解得　 v1=60cm 第二球面成像：u2= -(v1-2r )= -40cm， n1 = 1.5， n2 = 1，r 2= -10cm 得 v2=11.4cm

2．像与物的关系 　用逐个球面成像法求解共轴系统成像问题时，关键要弄清楚上一个球面的像是下一球面的实物还是虚物。 　当成像是从左到右依次进行时，如果上一个球面所成像(虚、实)的位置在下一个球面的左边，对下一个球面来说，该像是实物，u>0；反之，如果上一个球面所成像(实)的位置在下一个球面的右边，对下一个球面来说，该像是虚物，u<0。 　就是说，若上一球面成一虚像，则对下一球面来说，它一定是实物。若上一球面所成的像为实像，则要根据此像的像距与上、下两球面之间的距离进行比较，判断是实物还是虚物。

　如果用v1表示上一个球面像距，u2表示下一个球面的物距，d 表示上下两球面之间的距离，则 　　　 　　　　u2=d-v1 　上式适用于所有的情况，其中，u2、v1都带符号。 例如，求得上一球面像距v1= -5cm(成一虚像)，上下两球面之间的距离d=10cm，则 u2=d-v1=10-(-5)=15cm (实物)

第二节 透镜(lens) 把玻璃等透明物质磨成薄片，其表面都为球面或有一面为平面，即组成透镜，如下图所示。 　把玻璃等透明物质磨成薄片，其表面都为球面或有一面为平面，即组成透镜，如下图所示。 　中间部分比边缘部分厚的透镜叫凸透镜。 双凸 平凸 弯凸 双凹 平凹 弯凹 　中间部分比边缘部分薄的透镜叫凹透镜。

一、薄透镜成像公式 透镜的厚度(组成透镜的两个球面顶点之间的距离)与球面的曲率半径相比可以忽略，则称为薄透镜。 1．薄透镜成像公式 　透镜的厚度(组成透镜的两个球面顶点之间的距离)与球面的曲率半径相比可以忽略，则称为薄透镜。 1．薄透镜成像公式 　设薄透镜两个球面的曲率半径为r1、r2，折射率为n，透镜两侧的折射率分别为n1、n2。主光轴上有一物点O，物距为u。 u n1 n2 r1 r2 n O

u n1 n2 r1 r2 n O 第一球面成像：u1= u 第二球面成像：u2=-v1，v2=v 两式相加得 上式为薄透镜成像公式

2．符号规则 　公式(14-7)适应于所有形状的凸、凹薄透镜，符号规则与单球面折射公式相同。 3．焦度 4．焦距

5．几个特例 1)透镜两侧介质相同，n1=n2=n0 2)透镜两侧为真空时，n1=n2=1 焦度：

焦距： 高斯公式： 空气中的薄透镜焦度与焦距的关系： 单位：1屈光度=1米-1=100度

二、薄透镜组合 　两个或两个以上的薄透镜组成的共轴球面系统，称为薄透镜组合，简称透镜组。下面研究透镜组成像问题。 　设两个薄透镜紧密贴合在一起，两透镜的焦距分别为f1和f2 u L1 L2 对于透镜组成像问题，可采用逐个透镜成像法

第一透镜成像：u1=u，应用高斯公式得 第二透镜成像：u2= -v1，v2= v 两式相加，得

设透镜组的焦距为f，则 　可见，透镜组的焦度等于各透镜的焦度之和，这一关系常用于近视眼配镜时确定所需镜片的度数。

【例14-3】 　凸透镜L1和凹透镜L2的焦距分别为20cm和40cm，L2 在L1右侧40cm处。在L1左边30cm处放置某物体，求经过透镜组后所成的像。 解：L1成像：u1=30cm，f1=20cm 由高斯公式，得 L1 L2 f1=20 f2=-40 40 30 解得 v1=60cm 30

L2成像：u2=40cm - v1= -20cm，f2= -40cm 由高斯公式，得 解得 v2=40cm

三、厚透镜(thick lens) 　若透镜的厚度(组成透镜的两个球面的顶点之间的距离)较大，研究其成像规律就不能象薄透镜那样忽略了。解决厚透镜的成像问题，可采用逐个球面成像法。 1．利用逐个球面成像法 【例题】如图所示，一个半球形状的玻璃(n=1.5)厚透镜置于空气中，球面的曲率半径R=10cm，主光轴上有一物点距离半球10cm。试求所成像。 10cm R=10cm n=1.5

解：1)平面折射成像：u1=10cm，n1=1，n2=1.5，　　　　　　　　　　r1=∞ 得　　　　　 v1= -15cm 2)球面折射成像：u2=R-v1=25cm，n1=1.5，n2=1， r2= -10cm 得　　　　　 v2= -100cm

2．三对基点 引入基点(焦点、主点、节点)的概念，可用于进行几何作图成像，类似于中学学过的薄透镜的几何作图成像。 F1 1)两焦点F1、F2 　引入基点(焦点、主点、节点)的概念，可用于进行几何作图成像，类似于中学学过的薄透镜的几何作图成像。 F1 F2 图14-7a 两焦点 1)两焦点F1、F2 　将点光源放于主光轴上 某点F1，若发出的光线经 厚透镜后成为平行于主光 轴的平行光线，则F1称为厚透镜的第一焦点。 　若平行于主光轴的光线，经厚透镜后交于主光轴上某点F2，则F2点称为厚透镜的第二焦点。

2)两主点H1、H2 B1 F1 通过F1的入射光线的 延长线与经过整个系统 F2 折射后的出射光线或反 向延长线相交于B1点。 A2 过B1点作垂直于主光轴的平面，交主光轴于H1点，H1点称为系统的第一主点，该平面称为第一主平面。 A2 　平行于主光轴的入射光线的延长线与经整个系统折射后的出射光线的反向延长线相交于A2点，过A2点作垂直于主光轴的平面，交主光轴于H2点，H2点称为系统的第二主点，该平面称为第二主平面。

3)两节点N1、N2 在主光轴上可以找到 两点N1、N2，如图14-8 所示，通过N1的入射光 线，以相同的方向从N２ 图14-8 两节点 N2 N1 　在主光轴上可以找到 两点N1、N2，如图14-8 所示，通过N1的入射光 线，以相同的方向从N２ 射出。N1、N2分别称为 系统的第一节点和第二节点。就是说，通过第一节点N1的入射光线不改变方向，仅发生平移，由第二节点N２射出。

3．作图法 图14-9 作图法 F1 F2 H1 H2 N1 N2 1)平行于主 光轴的光线， 在第二主平面 折射后通过第 二焦点F2； 　1)平行于主 光轴的光线， 在第二主平面 折射后通过第 二焦点F2； 　2)通过第一焦点F1的光线，在第一主平面折射后，平行于主光轴射出。 　3)通过第一节点N1的光线，从第二节点N2平行于入射光线射出。

四、柱面透镜 图14-10　柱面透镜 1．柱面透镜的形状 　柱面透镜水平剖面与凸透镜的剖面相同，在这个平面内，对光线有会聚作用；而竖直剖面与平板玻璃剖面相同 ，对光线没有会聚作用。所以，一个点光源经过此柱面透镜所成的像为一条竖直的直线。 图14-11　柱面透镜成像

减小球差最简单的方法是在透镜前加一个光阑，只让近轴光线通过，如图14-12(b)所示。 五、透镜的像差 1．球面像差 　 图14-12(a) 　一个物点发出的远轴光线经透镜折射后，与近轴光线所成的像不重合，如图14-12(a)所示，这种像差称为球面像差，简称球差。球面像差导致点光源成像不是一个点，而是一个圆斑 。 图14-12(b) 　减小球差最简单的方法是在透镜前加一个光阑，只让近轴光线通过，如图14-12(b)所示。

由于折射率n与光的波长有关，波长越短，折射率越大。由透镜的焦距公式： 2．色像差 图14-13色像差及其矫正 (a) (b) 　由于折射率n与光的波长有关，波长越短，折射率越大。由透镜的焦距公式： 　可知，不同波长的光，透镜的焦距不相等，如图14-13(a)所示。由此造成的像差称为色像差。纠正方法是将不同的折射率的凸透镜和凹透镜适当配合。

第三节　眼睛

一、眼的光学结构 1．眼睛的剖面结构 1)角膜 2)虹膜：虹膜中央有一圆孔称为瞳孔，瞳孔具有光阑的作用，大小可以调节。 3)晶状体：形状类似于双凸透镜，其表面的曲率半径由睫状肌调节。 4)视网膜：布满了视觉神经。 5)房水和玻璃体：均为透明液体。

从几何光学角度来看的，眼睛是一个由多个球面组成的共轴球面系统。右表为眼睛完全放松时古氏平均眼数据 。 2.古氏平均眼 表14-1　古氏平均眼数据 折 射 率 位置 (mm) 曲率 半径 角　膜 前面 1.376 7.7 后面 0.5 6.8 玻璃体 1.336 房 水 晶 状 体 皮质 1.386 3.6 10.0 7.2 -6.0 体核 1.406 4.15 7.9 6.57 -5.8 三 对 基 点 第一主点(H1) 1.348 第二主点(H2) 1.602 第一节点(N1) 7.08 第二节点(N2) 7.33 第一焦点(F1) -15.70 第二焦点(F2) 24.38 　从几何光学角度来看的，眼睛是一个由多个球面组成的共轴球面系统。右表为眼睛完全放松时古氏平均眼数据 。

角膜和晶状体的形状 　根据古氏平均眼数据，角膜和晶状体形状如下图所示。 n=1.386 n=1.408 晶状体 6.8 7.7 角膜

古氏平均眼三对基点示意图 N1 N2 F2 F1 H1 H2 问题 对眼球焦度起决定作用的是什么？ 图14-15 古氏平均眼 7.08 15.7mm 24.4mm 7.08 7.33 H1 H2 N2 N1 图14-15 古氏平均眼 　对眼球焦度起决定作用的是什么？ 问题

3.简约眼 　简约眼是一种更简单的模型，将眼球简化为单球面折射系统，球面曲率半径　r = 5mm，n =1.33，由此可知，f1=15mm，f2=20mm，如图14-16所示。 15mm 5mm 20mm F1 F2 图14-16 简约眼

二、眼的调节 为了将远近不同的物体成像在视网膜上，眼睛通过睫状肌调节晶状体表面的曲率半径，改变其焦度。 1．远点 　为了将远近不同的物体成像在视网膜上，眼睛通过睫状肌调节晶状体表面的曲率半径，改变其焦度。 1．远点 　眼睛能看清的最远的物体与眼睛之间的距离称为远点。观察处在远点的物体时，睫状肌处于完全放松状态。 　视力正常的眼睛，远点在无穷远处。 2．近点 　眼睛能看清的最近的物体与眼睛之间的距离称为近点。观察处在近点的物体时，眼睛处于最大调节状态。 　视力正常的眼睛，近点距离约为10~12cm。

三、眼的分辨本领及视力 3．明视距离 对于一个视力正常的人，不易引起眼睛过度疲劳的最适宜的距离约为25cm，这个距离称为明视距离。 1．视角 　决定一个物体 在视网膜上成像 大小的不是物体 的大小，而是物 体两端入射到眼睛节点的光线的夹角，这个夹角称为视角。 图14-17 视角

2．视力 视力正常的人眼睛能分辨的最小视角约为1’。通常用眼睛能分辨的最小视角α的倒数表示眼睛的分辨本领。 　视力正常的人眼睛能分辨的最小视角约为1’。通常用眼睛能分辨的最小视角α的倒数表示眼睛的分辨本领。 　其中，最小视角α以分(’) 为单位。例如，最小视角α=10’，视力=0.1。

四、眼的屈光不正及其矫正 眼的屈光不正分为近视眼、远视眼和散光眼几种。 1．近视眼：远点不在无穷远处。 近视眼共轴球面系统的焦 　眼的屈光不正分为近视眼、远视眼和散光眼几种。 1．近视眼：远点不在无穷远处。 　近视眼共轴球面系统的焦 度比正常眼大，其第二焦点 在视网膜前面，不在视网膜 上，看不清远处的物体。 　造成近视的原因可能是角膜曲率半径太小或眼球前后距离太大，物体成像在视网膜前面。 　矫正方法是配戴适当焦度的凹透镜。 图14-20 近视眼及矫正 远点

【例14-4】 某近视眼的远点在眼前50cm处，今欲使其看清无穷远处的物体，则应配戴多少度的眼镜？ 解：已知u1=∞ ∴ v1 =-50cm=0.5m 解得：f1= -0.5m 代入公式

2．远视眼：近点大于12cm 近视眼共轴球面系统的焦度比正常眼大，其第二焦点在视网膜后面，不在视网膜上，看不清近处的物体。 造成远视的原因 　近视眼共轴球面系统的焦度比正常眼大，其第二焦点在视网膜后面，不在视网膜上，看不清近处的物体。 　造成远视的原因 可能是角膜曲率半 径太大或眼球前后 距离太大，物体成 像在视网膜前面。 　矫正方法是配戴适当焦度的凸透镜。 图14-23 远视眼矫正 正常眼近点 近点

【例14-4】 某远视眼的近点距离为1.2m，要看清12cm处的物体，要配戴怎样的眼镜？ 解：u=12cm=0.12m，v = -1.2m 代入高斯公式

3．散光眼 图14-24 散光眼成像 散光眼的矫正方法是配戴适当的柱面透镜。

第四节 几种医用光学仪器 一、放大镜 放大镜的放大作用是将视角放大。 25cm β γ u y y’ 图14-25 放大镜原理 一、放大镜 放大镜的放大作用是将视角放大。 　如图所示，将物体置于明视距离25cm处，视角为β，经放大镜放大后，视角增为γ，放大镜的角放大率用α表示。

二、光学显微镜 y y’ y’’ L1 L2 γ β 25cm 1.显微镜工作原理 m:物镜线放大率 α:目镜角放大率

2．显微镜的分辨本领 　显微镜能分辨的两点之间的最短距离称为最小分辨距离，最小分辨距离的倒数称为显微镜的分辨本领。分辨本领由物镜决定，阿贝指出，显微镜物镜能分辨的最小距离为： 　其中，λ是光波波长，n是物镜与标本之间的介质的折射率，u是入射光线的与物镜边缘所成锥角的一半。

提高显微镜分辨本领的方法之一是增大数值孔径nsinu，这就是油浸物镜。 载波片 盖波片 图14-28干镜(a) 油浸物镜(b) (a) (b) 　提高显微镜分辨本领的方法之一是增大数值孔径nsinu，这就是油浸物镜。 　提高显微镜分辨本领的另一种方法是使用更短波长的光。

三、纤镜 图14-29 导光纤维 1.导光纤维 　纤镜又叫纤维内镜，它由若干很细的导光纤维组成。每根纤维芯材料为由透明度很好的玻璃拉成很细的玻璃丝，外面涂一层折射率较低的透明材料。 ∵ n1sini0=n2sin90°

2.纤维内镜 　导光纤维可以导光，也可以导像。导像时由若干条光纤组成光纤束，两端的几何位置一一对应地粘合固定。这样，一根光纤传递一个像点，所有像点组成一个图像。每根纤维的直径在1~10mm量级，纤维越细，像点越多，图像越清晰。 图14-30 光纤束导像示意图 3.纤镜应用