弯曲应力

弯曲应力 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 弯曲切应力 梁弯曲时的强度条件 提高弯曲强度的措施 非对称截面梁的平面弯曲*

§纯弯曲时的正应力§

纯弯曲 剪力FQ：相切于横截面内力系的合力 剪力FQ 切应力t 弯矩M ：垂直于横截面内力系的合力偶 弯矩 M 正应力s AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，此情况称为横力弯曲。 CD段只有弯矩，横截面上就只有正应力而无切应力，此情况称为纯弯曲。

实验观察 变形前 变形后横向线mm’ nn’ 仍为直线，但有转动。纵向线aa，bb变为曲线。横向线与纵向线仍正交。 变形后 弯曲变形的平面假设：假设变形后横截面仍保持平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。

实验观察 变形前 由于弯曲的作用，上部纤维缩短，下部纤维伸长。 变形后 中间必有一层保持原长，这一层称为: 中性层

实验观察 横截面 中性层 中性轴 中性轴 cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴。 中性轴通过横截面形心。 杆件弯曲过程中，横截面绕对应的中性轴转动。

纯弯曲时正应力公式的推导过程 变形应变应力应变关系变换公式得到应力公式 变形几何关系 物理关系 静力学关系

纯弯曲时正应力公式的推导—变形几何关系 从纯弯曲梁中沿轴线取dx 的微段: 中性层位于CC mm’ 变形前长度: mm’ 变形后长度: mm’ 位置的线应变: 表明：距离中性层为y的任一纵向纤维的线应变与y 成正比，与 r 成反比。

纯弯曲时正应力公式的推导—物理关系 纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或者压缩，当应力小于某一限值(比例极限)时，由胡克定律: 几何关系代入 得到

纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系 微内力dA组成垂直于横截面的空间平行力系。此力系简化为三个内力分量： 纯弯曲时有： 横截面对 z 轴静矩等于零，即z轴(中性轴)过横截面形心。

纯弯曲时正应力公式的推导—静力学关系 横截面对 z 轴(中性轴)的惯性矩 梁轴线弯曲后的曲率的数学表达式。 r 曲率半径 EIZ梁的抗弯刚度越大 ，r 越大 结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度成反比。

几何关系 物理关系 静力学关系 M  该面的弯矩 弯曲正应力公式 y 该点与中性层距离 Iz  惯性矩

纯弯曲时的正应力 弯曲正应力公式 对某一指定截面，M和Iz 都是确定的，当横截面的弯矩为正时，则s (y) 沿截面高度的分布规律： 受压一侧正应力为负， 受拉一侧正应力为正。

纯弯曲时正应力分布关系 由公式可知，某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。 取 Wz 抗弯截面系数(抗弯截面模量)

不同截面的惯性矩、抗弯截面系数 实心矩形截面的抗弯截面系数 实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数

§横力弯曲时的正应力§

横力弯曲 梁的横力弯曲：横截面上既有正应力又有切应力。 在横力弯曲下，横截面不再保持平面，而且往往也不能保证纵向纤维之间没有挤压。 虽然横力弯曲和纯弯曲之间存在差异，但进一步的分析表明，用纯弯曲梁的正应力公式计算细长梁横力弯曲时的正应力，并不会引起很大的误差，计算结果仍能够满足精度要求，因此纯弯曲时的公式仍然适用。

横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力公式 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为: 最大正应力不仅与弯矩M 有关，且与截面形状尺寸有关。

[例]已知图示简支梁，受均布载荷作用，q=60kN/m。 试求： (1) c-c截面上1、2两点的正应力； (2) c-c截面上的最大正应力； (3) 全梁的最大正应力。

Mc 解：(1) 求c-c截面1、2点正应力 先求支座反力 用截面法求截面弯矩方程 压应力(－)

Mmax Mc (2) c-c截面上的最大正应力 (3) 全梁的最大正应力 位于上下表面 位于上下表面

[例]图示铸铁梁，中性层与下表面距离y1为53.2mm，Iz为2.9×107 mm4。求此梁的最大压应力和最大拉应力。

(1) 计算约束反力 (2) 用截面法，作弯矩图 最大拉应力和最大压应力是否都发生在截面 C ？

(3) 计算C截面应力 C截面，弯矩为正 C截面上边受压，下边受拉

(4) 计算B截面应力 B截面，弯矩为负 B截面上边受拉，下边受压 最大拉应力位于B截面上边缘，最大压应力位于C截面上边缘

确定截面图形的几何性质如形心位置，惯性矩等； 梁的弯曲正应力问题的解题步骤 计算约束反力； 1 画出弯矩图，找到弯矩极大值的危险面； 2 确定截面图形的几何性质如形心位置，惯性矩等； 3 计算应力：根据截面上弯矩的实际方向，确定所求应力点所产生的正应力的拉、压性质，从而确定正应力的正负号。 4 正弯矩：上压下拉 负弯矩：上拉下压

横力弯曲计算应力时需注意的问题 (1) 若梁横截面具有2个相互垂直的对称轴，则取与横向力垂直的轴作为中性轴，此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等。

(2) 若梁横截面只有1个对称轴，则取与横向力垂直，且过横截面形心的轴作为中性轴。此时最大拉应力与最大压应力绝对值不相等。 最大拉应力与最大压应力可由下列二式分别计算： 实际计算中，一般应在计算结果后注明“拉”或“压”。

§弯曲切应力§

矩形截面梁的弯曲切应力 矩形截面梁的切应力公式 横截面上的剪力 整个截面对中性轴的惯性矩 梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩 所求切应力点的位置的梁截面的宽度。 上述公式对组合矩形截面梁亦可使用。

矩形截面梁的切应力公式 公式可进行转换 故公式可改为 截面上下两层，y = ±h/2，τ =0 在中性层，y =0

矩形截面切应力分布规律 t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。

其他形状截面梁的切应力－工字形截面梁 工字形截面由翼缘和腹板组成 研究方法与矩形截面同 上翼缘 经计算可得公式为 腹 板 沿高度的分布规律如图 结果表明，腹板几乎全部承担了横截面上的剪力，且最大切应力和最小切应力相差不大，因此接近均匀分布。 下翼缘 Af —腹板的面积

其他形状截面梁的切应力－圆形截面梁 圆形截面梁的最大弯曲切应力发生在中性轴上，并且沿中性轴均匀分布，其值为:

其他形状截面梁的切应力－圆环形截面梁 圆环形截面梁的最大弯曲切应力发生在中性轴上，并且沿中性轴均匀分布，其值为:

其他形状截面梁的切应力－T形截面梁 T形截面梁上的切应力分布规律如图： 最大切应力位于中性轴 横截面中性轴z一侧面积（上部或下部对z轴的静矩） b－腹板宽度

其他形状截面梁的切应力－槽钢 槽钢截面梁的切应力分布规律如图： Q e e x y z P Q e h

其他形状截面梁的切应力－组合矩形截面 图示倒T形截面，若求图示A点的切应力，则在应用公式时 b 和 Sz*应该如何计算？ b 指的是A点截面宽度 Sz* 指的是某块面积对中性轴的静矩，图示应为哪个面积?

梁弯曲切应力与弯曲正应力的量级比较 对于宽为b、高为h的矩形截面 对于直径为 d 的圆截面

[例] 图示悬臂梁，F=85kN, l=3m, h=400mm, b=240mm。 求：危险截面上a、c、d、e、f 各点的正应力和切应力。

(1) 作剪力弯矩图，确定危险截面 危险截面在B截面右侧 (2) 计算截面惯性矩

(3) 计算正应力 拉 拉 位于中性轴 压 压

(4) 计算切应力

§梁弯曲时的强度条件§

梁弯曲时的强度条件 1. 危险面与危险点分析： 一般地，最大正应力发生在弯矩绝对值最大截面的上下边缘；最大剪应力发生在剪力绝对值最大截面的中性轴处。 s M s Q t t

带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力情况与上述相同；另有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。 s M Q t t s 2. 正应力和剪应力强度条件：

3. 强度条件应用－－三类计算 校核强度： 设计截面尺寸： 设计载荷： 4. 需要校核剪应力的几种情况： (1)梁跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力； (2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力； (3)各向异性材料(如木材)抗剪能力差，要校核剪应力。

[例]图示结构F1=9kN， F2=4kN，铸铁梁为T 形截面，铸铁的[＋]=30MPa，[－]=60 MPa，截面形心O，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 。试校核梁的正应力强度。

解： (1)求约束反力 (2)画弯矩图得危险截面内力

(3)找危险点，计算应力极值 得到如图所示应力分布图。

(4)校核强度 满足强度

[例]图示T型截面铸铁梁。已知y1=48mm, y2=142mm，截面的惯性矩Iz=26 [例]图示T型截面铸铁梁。已知y1=48mm, y2=142mm，截面的惯性矩Iz=26.1×106mm4, 材料的许用应力[s +]=40MPa, [s －]=110MPa。试校核梁的强度。

(1) 作出梁的弯矩图 (2) 危险点分析 B点弯矩绝对值最大，应校核拉、压应力； C点下侧受拉，且离中性轴较远，其最大拉应力有可能比截面B的上侧还要大，所以也可能是危险点。

(3) 强度校核 该梁不安全 真正的危险点有时并不一定在弯矩最大截面上。

[例]圆轴在A、D两处的滚珠轴承简化为铰链支座；外伸部分BD为空心圆截面，载荷、尺寸如图。材料的拉伸和压缩的许用应力均为＝120MPa。试校核圆轴的强度是否安全。

解：(1) 求A、B处约束力 FA＝2.93kN， FB=5.07kN (2)画弯矩图 得危险截面 MC＝1.17kNm MD＝－0.9kNm (3)计算危险截面上的最大正应力 C截面： D截面： max<＝120MPa 圆轴的强度安全。

q=3.6kN/m [例] 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比，并校核梁的强度。 B A L=3m Q – + x 解：(1)画内力图，求危险截面内力 x M +

q=3.6kN/m (2)求最大应力并校核强度 Q – + x x M + (3)应力之比

[例] 图示一枕木的受力图。已知枕木为矩形截面，其宽高比为b/h=3/4 ，许用应力为[s] =9MPa, [t] =2 [例] 图示一枕木的受力图。已知枕木为矩形截面，其宽高比为b/h=3/4 ，许用应力为[s] =9MPa, [t] =2.5MPa，枕木跨度 l =2m，两轨间距 1.6m，钢轨传给枕木的压力为F=98kN 。试设计枕木的截面尺寸。

基本思路:

1）画出剪力图和弯矩图 2)按正应力强度设计截面尺寸。枕木中的最大弯矩为

3）切应力强度校核。根据所选尺寸，校核切应力是否满足强度条件。 不满足切应力强度要求，应重新设计。

4）按切应力强度条件设计截面尺寸。根据切应力强度条件有

§提高弯曲强度的措施§

提高弯曲强度的措施 杆件的设计除了满足强度、刚度和稳定性等要求以外，还应考虑如何充分利用材料，使设计更为合理。 即材料在满足要求的前提下，所用材料最少，或者说在用料一定的条件下，杆件承载能力最高。 合理安排杆件的受力情况； 选用合理的截面形状； 合理选择材料；

(1)合理安排杆件的受力情况 a.合理布置载荷。具体方法是将一个集中力分散为几个集中力或分布力，或集中力尽量靠近支座。

b.增加支承

c.合理布置支座。工程上常见的门式起重机和锅炉筒体等，其支承点都不放置在两侧，其作用就在此。 合理安排支承位置

a.一定的截面积，尽量使截面的惯性矩、极惯性矩、抗弯截面系数等取得较大值。 (2)选用合理的截面形状 a.一定的截面积，尽量使截面的惯性矩、极惯性矩、抗弯截面系数等取得较大值。 4

尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。 由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下： 图a所示截面 图b所示截面 图c所示截面 图d所示截面

b. 采用变截面杆件，在内力较大处使用较大截面，在内力较小处使用较小的截面。最合理的变截面杆应当是每个截面的最大应力都相等，且都达到许用应力，这样的梁称为等强度梁。 鱼腹梁式桥 汽车用减震器

(3)合理选择材料 a.在其它条件相同的情况下，选用弹性模量E数值大的材料，可以提高杆件的刚度和大柔度杆的稳定性。 但工程中常用的结构钢，如普通碳素钢、合金钢等，其弹性模量数值相差不大，因此选用优质钢材，意义不大，反而造成材料的浪费，提高制造成本。

b.根据材料特性选择截面形状。对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处上侧受拉，则令中性轴靠近上端。

思考题 悬臂梁受力如图所示。截面有四种可能形式，中空部分面积A都相等。哪一种形式截面梁的强度最高？

思考题 铸铁T形截面悬臂梁，受力如图所示，其中力FP作用线沿铅垂方向。若保证各种情况下都无扭转发生，即只产生平面弯曲，试判断图示四种放置方式中哪一种能够使梁具有最高的强度。

§非对称截面梁的平面弯曲§

非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心 P x y z O 几何方程与物理方程不变。

依此确定正应力计算公式。 剪应力研究方法与公式形式不变。 弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。 （如前述坐标原点O） P x y z O

非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，若是横向力，须过弯曲中心。 Q e e x y z P s M 槽钢： P

弯曲中心的确定: C C (1)双对称轴截面，弯心与形心重合。 (2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。 C (3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。 (4)求弯心的普遍方法： Qy e C

全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。 考虑材料塑性时的极限弯矩 ss ss s e ss 塑性极限分布图 理想弹塑性材料的s-e图 弹性极限分布图 全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。

y z x ss Mjx 横截面图 正应力分布图 （一）物理关系为：　　　　　　　　 （二）静力学关系：　　　　　　　　

y z x ss Mjx 横截面图 正应力分布图

[例]求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之比。 解：

本章小结 力偶作用面平行杆件轴线 或力的作用线垂直杆件轴线 纯弯曲 外力 横力弯曲 A M FQ 剪力FQ > 0 内力 内力图 截面法计算得到剪力图、弯矩图 t y s x 应力 强度 条件 Wz抗弯截面模量

不同截面的惯性矩、抗弯截面系数 实心矩形截面的抗弯截面系数 实心圆截面（直径为d）的抗弯截面系数

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