數學想想 體積 教學 容量 李雅芳 吳秉蓉 王農景 吳函儒

容量、體積的本質概念 (數學結構) 吳 函 儒

容量、體積的本質概念 壹、數學結構 貳、認知結構 叄、綱要結構 肆、迷思概念 伍、教學策略

容量、體積的本質概念(數學結構) 一、「容量」與「液量」 「容量」，是指流體物質占滿容器的最大盛載量。 「液量」是指流體物質在容器中所占據的空間。 二、「容量」、「容積」與「體積」 容量、容積與體積均為空間大小的量。 體積代表實體佔有的空間，容量、容積代表的是實體內可負載的量，其 區別如下： (一)、體積：物體所佔空間的大小。 (二)、容積：某一具有確定三度空間的周界內的空間大小，通常此空間 有容納物質可以 隨時存取的功能。換言之，容積是指容器 內部空間的大小，其概念是體積概念。例如：冰箱內部的 容積。 (三)、容量：指容器可裝載的最大液量。

容量、體積的本質概念(數學結構) 三、容量單位的關係 1公秉＝ 1000公升 1公升＝ 10分公升＝ 1000毫升 1分公升＝ 100毫升 四、體積單位和容積單位的關係 1立方公分＝1毫升 ＝ 1c.c. 1公升＝ 1000立方公分＝ 1000毫升 1公秉＝1立方公尺 ＝1000公升 ＝ 1000000毫升 五、公秉的意義 公秉是容量和液量的單位，1公秉＝1000公升。按國際標準制，這個單位名稱應為「千公升」。

容量、體積的本質概念(數學結構) 六、不規則實體的體積之測量 一般不規則的實體（如石頭體積、錐體……等）較不易由直接測量邊長方式獲得。因此可藉由間接測量而獲得。 七、 以排水法測定浸沒水中物體體積 將容器裝水，水量為ａ。將密度比水大的物體完全浸沒水中，就其水面高度折算成水量為ｂ。則此物體之體積即為ｂ－ａ的水量的體積。

容量、體積的本質概念(認知結構) 一、容積 （一）容量的保留概念 「質量保留」指的是物質雖然經過重新操 弄，但只要沒有任何東西取出或加入，那麼 兩個等量的物質仍然是相等的（包括重量、 長度、數目、體積或空間等）。

容量、體積的本質概念(認知結構) （二）容量的單位和單位化聚活動 1.容量的單位 容量的認識、容量的直接比較、使用分公升或毫公升為刻度單位的工具報讀液量和容量。 2.容量的單位化聚活動 化聚是兩個不同階的量，進行由低階單位聚成高階單位，或由高階單位化成低階單位的活動。

容量、體積的本質概念(認知結構) （三）容量的比較 對於容量的比較上有：液體的直接比較和間接比較，和容 量的間接比較。 1.液量的直接比較：是希望學生能把靜止的液體所佔的空間做直觀判定，而進行比較。因此在低年級的教學中很難進行。 2.容量間接比較：拿出兩個空容器，直接問學生哪一個容器比較大，而學生可以藉由兩個容器先裝滿水在倒出進行間接比較、個別單位比較；也可以利用個別單位比較的想法，將水倒入容器中，直到裝滿後進行比較；或一個容器先裝滿水，在倒入另一個容器進行比較。

容量、體積的本質概念(認知結構) （四）容量的測量概念 1.「分離量化」的測量，屬於分離量，例如：描述被測容器的容量是幾個1分公升杯。 2.「線性化」 的測量，屬於連續量，使用的計量容器是量筒，量筒上有分公升（公升）刻度，比較方便來測量描述被測的容量是幾分公升（公升）。 （五）用水量與環境保護的關係 藉由洗手方式的不同，產生用水量的差異，並累積為全校一日的洗手用水的差量，只是要使學童經驗如何可經由數學的估算來有效討論環保議題跟水資源分配的議題。

容量、體積的本質概念(認知結構) 二、體積 （一）體積保留概念 通常學童在六歲之後,其保留概念( conservation:守恆概念 )才發 展。在此之前，他們還無法了解物質經過物理轉變後，總數量、 重量以及體積仍然不變，此時期不進行液量的直接比較，只進行 容量的直接比較。 （二）液量的保留現象 液量不因容器大小形狀的改變而改變，或經分割後其總量和不改 變。 液量保留概念在教學上的意義，有下列幾點： 1. 獲得可逆性信念：即將水倒回原杯檢驗，水量一樣多。 2. 等量水，不隨杯子不同而改變。 3. 經驗互補性：等量的水倒在杯底較窄的杯子中，水位會較高。

容量、體積的本質概念(認知結構) （三）使用以分公升或毫公升為刻度單位的 工具 （四）1分公升杯也是一種個別單位 （五）建立1公秉的量感 （六）公秉、公升的化聚 （七）容量概念和容積概念

容量、體積的本質概念(綱要結構) 略 教育部(2006a)。國民中小學九年一貫課程綱要。2008年11月30日，取自：http://www.edu.tw/EDU_WEB/EDU_MGT/EJE/EDU5147002/9CC/9CC.html?UNITID=271&CATEGORYID=845&FILEID=147654&open 教育部(2006b)。國教專業社群網，九年一貫課程-數學學習領域。 2008年11月30日，取自：http://teach.eje.edu.tw/9CC/fields/2003/math_3_1.php

容量、體積的本質概念(迷思概念) 一、不易理解諸如公升、毫升等容量的概念。 二、誤以為兩個容器中水位較高者容量一定是比較大。 三、知道公升、毫升、cc，但是還是比較難理解，它們實際 的容量是多少。 四、容量單位的換算轉換的困難，難以想像例如每1公升等 於10分公升那每5公升等於幾公升？ 五、學生會對於一些數學單位名詞難以理解，沒有量感。例 如當老師在解說一公秉到底有多大時，學生比較難以去 想像一公秉到底是有多大。 六、『高』的水才是比較多的錯誤概念。

容量、體積的本質概念(教學策略) 一、容量 (一)、避免出現「容器」、「容量」、「液量」等專有名 詞，應該用適合此階段學生的語意，如：以「瓶子 的水」代替液量，以「杯子可以裝滿多少水？」代 替容器的容量。 (二)、不需要求學生有極為精確的表示，而是只要知道水 量在哪裡即可。 (三)、進行增減水量觀察活動時，老師無須隨水量的增減 做任何的標記，否則會使學生只注意高度，而忽略 了討論重點。 (四)、保留概念不是透過教學就會形成，因此老師應該讓 學生多操作、討論。 (五)、學生在報讀分公升刻度時，「分公升」三字不可省 略。

容量、體積的本質概念(教學策略) (六)、指導學生觀看量杯時，眼睛視線應與水面上 的彎月面的中央部最低點等高，且與刻度線 垂直，找出液面刻度。 (七)、老師應該使用具體的水量和量筒讓學生了解 「X個1毫公升是X毫公升」、「X毫公升是X 個1毫公升」、「10分公升=1公升」、「1公 升=10分公升」。 (八)、應交互使用X毫公升和X個1毫公升的說法，以 強調用毫公升作為單位的意義。 (九)、認識容積的活動時，強調容器內部空間的形 狀很重要，可以由規則的長方形空間形狀來討 論容器的容積。

容量、體積的本質概念(教學策略) 二、體積 (一)、教師出示不同容量的容器，並引導學生想出如何把這些容器由大至小排列出來，最後由學生說出可利用容器上的容量指示來比較容器的大小。 (二)、教師再出示三個體積較懸殊的罐頭，並各自寫上A、B、C以作識別 ( B > A >C ) ，由學生以觀察法比較罐頭的大小。最後教師引導學生說出立方厘米(cm3)是日常使用的體積單位。 (三)、教師出示三個難以用直觀法分辨體積大小的罐頭，並各自寫上A、B、C以作識別(A>B>C)，由學生以觀察法找出體積最大的罐頭，最後教師把學生所估計的資料記下。

容量、體積的本質概念(教學策略) (四)、教師出示一個盛有半瓶水的透明器皿，並引導學生分組討論如何利用現有的資源去找出體積最大的罐頭。最後由學生說出可用水位上升法找出體積最大的罐頭。 (五)、教師先以A、C作比較，從活動中找出A> C，再以A、B作比較，因為A、B的體積較接近，難以用現有的資源去找出體積較大的罐頭，教師再引導全班學生討論可有其他可行的方法。 (例如：可用較窄的瓶子……) (六)、教師出示排水器及量杯，然後向學生介紹排水器的構造，並引導學生分組討論如何利用現有的資源去找出體積最大的罐頭，再由學生作班前匯報(從活動中，以量杯盛載流出來的水，比較量杯中所盛水的多少，便可得知A罐頭的體積較大)。

參考文獻 1.國小數學科教學研究：劉秋木，民85。 2.教育部國教專業社群網 http://teach.eje.edu.tw/ 3.林宜臻數學園地 http://jen.naer.edu.tw/ 4.數學學習領域 http://www.edu.tw/EDU_WEB/EDU_MGT/EJE/EDU5147002/9CC/math.doc 4.九年一貫課程與教學網，取自： http://teach.eje.edu.tw/ 6.教育部(2006a)。國民中小學九年一貫課程綱要。2008年11月30日，取自： http://www.edu.tw/EDU_WEB/EDU_MGT/EJE/EDU5147002/9CC/9CC.html?UNITID=271&CATEGORYID=845&FILEID=147654&open 7.教育部(2006b)。國教專業社群網，九年一貫課程-數學學習領域。2008年11月30日，取自：http://teach.eje.edu.tw/9CC/fields/2003/math_3_1.php 8.國小數學教材分析─重量和容量http://www.naer.edu.tw/study/math/ana/book6/volumn.htm 9.國民小學數學科新課程概說(中年級) http://www.naer.edu.tw/study/math/newmath3/08.htm

數學想想 體積教學 三年級教學 第二冊 第四章 體積的意思

1.扁盒子、瘦盒子哪一個比較大？ 有兩個盒子，一個是扁盒子，一個是瘦盒子，讓學生想想看哪一個盒子比較大呢？

這樣比比看 4個 和1個 高度一樣高。

這樣比比看 4個 和1個 的印子一樣大。

還是看不出來哪個盒子大，就用盒子來做果凍， 比較看看吧!

2.數數看，有幾塊？ 這個方塊上面4塊， 右邊4塊， 左邊4塊， 總共是12塊。 只看著一面數方塊是不對的， 還有些方塊被蓋住了。 4 8

請在數數這些方塊有幾個，應該這樣數： 一層有2×3=6個，共有4層那麼高， 所以總共有6×4=24個方塊。 4 24

練習題： 9 3 9 3 27

3.面積和體積 面積： 選1個 做單位，來量一塊區域的大小： 5 3 5 3 15

體積： 量量看，這草堆的體積？ 每一層都是6塊， 共有4層， 草堆的體積是6×4=24個 (單位)。

4.水的體積 想想看，這些水的體積是多少？ 先猜一下，會是 □4個 □6個 □8個 大。

如果把水想像成果凍的話，會怎麼樣呢？ 所以，這水的體積是6個 大。

水可以變成任何形狀，但倒來倒去的時候， 體積總是不會變！ 把1c.c.的水注進 長寬都是1cm(公分)的量杯， 就會發現高度剛好也是1cm。 1c.c.的體積就是這麼大。

5.正立方體和正方形的對比

練習題： (1) 的面積是 6平方公分 。 (2) 的體積是 6c.c. ， 也就是 6立方公分 。

(3) 這一面的面積是6平方公分， 這一面的面積是12平方公分， 這一面的面積是8平方公分， 這個長方體的體積是24立方公分。

(4)量一量長和寬，你猜裡面的紅茶大概有多高？ (假裝盒子的牆壁很薄) 可以這樣想像： (不算盒子牆壁的厚度) 1層的體積是 30立方公分 (1層的底面積是 30平方公分 ) 裡面的紅茶總共有 300c.c. 應該有 10 層。

6.公升 車子加滿一箱油，大概是加了多少c.c.？ 1c.c.只有這麼一點點， 用來量所加的汽油， 1公升有多少c.c.？ 數字就會很大， 應該要換一個單位來量： 把長、寬、高都改成10cm， 就是1公升(l)。 1公升有多少c.c.？ 用1公分高來分層， 每一層有 10個 ； 可分成 10層 ； 總共是 1000 個。 原來， 1公升(l) = 1000立方公分(c.c.)

數學想想 容量教學 二年級教學 第二冊 第三章 哪一顆蛋比較大

故事開場： 比較「到底誰家的寶寶 (蛋) 比較大呢？」藉由故事，教學生「體積」的概念和測量方法。

倒出蛋的內容物來比出大小： 先把蛋打到碗裡，發現兩者的高度差不多。但倒到瘦長的杯子裡，結果能清楚分出高低。

以「堆書」比喻，讓學生更能清楚明白。

思考「倒出法」盲點，考慮沒有裝滿的情形：「倒出來比較多，就是比較大的蛋嗎？」，以茶壺作為比喻

用透光法觀察蛋： 在鈍端上有個陰影區，那是蛋的「氣室」。因為蛋沒有裝滿，故推翻以容量代替體積的方法

「排水法」的過程： 觀看五色鳥琢的木屑，「把刻出來的木屑補回去，正好可以補滿」，推出樹洞的大小。因而聯想到比蛋的方法。

當原來大杯子裝滿了水，浸入水面下蛋的體積，就會等於流到小杯子裡的水量。

故事結局：教學生將心比心，學著尊重每一個生命。

單元優點 測量蛋的方法，故事題材新鮮，同時，也讓學生了解到蛋的構造「氣室」。

數學想想 容量教學 四年級教學 第二冊 第四章 粟米之法

主旨： 以對小朋友最親近的「以物易物」為主題 學習以「體積(容量)」為主的等比例問題 「等價相等」「等量公理」

以古代的數學課本「九章算數」引入，筆者將文言文的部分用紅筆圈起來在一旁作上註解。 術：算法 一斗：10升 三之五而一：把它乘以三倍，再除以五。 法：除數 實：被除數 「今天有粟米一斗(10升)，可以以糲米多少交換？答案：六升」 術曰以粟米求糲米三之五而一：「算法：用粟米數量乘以三倍再除以五倍就可以得到可以交換的等值糲米。」

先想像真的拿1斗(10升)的粟米去換糲米，找5個人一起換，那每個人可以得到多少糲米呢 ？ 10升放大5倍→30升縮小5倍

教導學生「等價相等」的道理 當然並不是所有的量都能以等比例的方式計算，像是溫度。

單元特色 引進一些其他版本沒有學過的數學知識，也藉此提升學生的學習興趣 (九章算數：古代的數學書)

版本缺點 對於容量和體積教學單元相當少 (在現有的課本當中，嚴格來說只有兩冊) 二下 第二冊第三章 哪一顆蛋比較大 三下 第二冊第四章 體積的意思

感謝各位的聆聽 謝謝大家