离散随机变量及分布律 定义 个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量 描述X 的概率特性常用概率分布或分布律 即 X 或 P §2.2

或 X ~ 分布律的性质 非负性 归一性

离散随机变量及分布函数 其中 . 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk . 其中 . F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取 值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间 断点,在间断点处有跃度 pk .

x F( x) 1 • • o • o • o • o o • 1 2 3 4

X = xk 1 0 Pk p 1 - p 或 (1) 0 – 1 分布 0 < p < 1 常见离散r.v.的分布 (1) 0 – 1 分布 X = xk 1 0 Pk p 1 - p 0 < p < 1 或 凡试验只有两个结果, 常用0 – 1 应用 场合 分布描述, 如产品是否合格、人 口性别统计、系统是否正常、电力消耗 是否超标等等.

(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,若 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作 0–1 分布是 n = 1 的二项分布

二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 由图表可见 , 当 时， x P • 1 2 3 4 5 6 7 8 分布取得最大值 0.273• 此时的 称为最可能成功次数

设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 • x P 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 20 由图表可见 , 当 时， 0.22 • 分布取得最大值

二项分布中最可能出现次数的定义与推导 则称 为最可能出现的次数

对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值 当( n + 1) p  整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值 对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布 趋于对称

问题 如何计算 ？ Possion定理 设 , 则对固定的 k Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， 问题 如何计算 ？ , 则对固定的 k 设 Possion定理 Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大， p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式

类似地, 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中 不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的 概率为 当 时， 对每个 n 有 结 论 超几何分布的极限分布是二项分布 二项分布的极限分布是 Poisson 分布

利用Poisson定理再求例4 (2) 解 令X 表示命中次数, 则 X ~ B( 5000,0.001 ) 令 此结果也可直接查 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万分之一.

在实际计算中,当 n  20, p 0.05时, 可用上 述公式近似计算; 而当 n  100, np 10 时, 精度更好 公式 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1 n=20 p=0.05 n=40 p=0.025 n=100 p=0.01 =np=1 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015

(3) Poisson 分布 若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布. 或 记作

应 用 场 合 在某个时段内： ① 大卖场的顾客数； ② ③ 市级医院急诊病人数； ④ ⑤ 某地区拨错号的电话呼唤次数； 某地区发生的交通事故的次数. 放射性物质发出的 粒子数； ⑥ ⑦ ⑧ 一匹布上的疵点个数； 一个容器中的细菌数； 一本书一页中的印刷错误数；