第五章 二次型
知识点1---二次型及其矩阵表示 二次型的基本概念 1. 线性变换与合同矩阵 2.
一、 二次型的基本概念 定义1 含有n个变量 的二次齐次多项式： （1） 称为n元二次型，当 中有复数时，称之为复二次型， 一、 二次型的基本概念 定义1 含有n个变量 的二次齐次多项式： （1） 称为n元二次型，当 中有复数时，称之为复二次型， 当 全为实数时称之为实二次型.
在上述二次型（1）中规定 则 于是（1）式可以写成： （2）
记 则二次型（2）可记作：
其中A为对称矩阵，我们把A称为二次型 f 的矩阵，把 f 称为对称矩阵A的二次型， A的秩称为二次型 f 的秩， 记作R( f ).
例1 写出三元二次型 的矩阵和矩阵表示式 解 因为 所以 的矩阵
其矩阵表达式为：
例2 设对称矩阵 则矩阵 所对应的二次型为
例3 二元二次型 求 解 二次型的矩阵 显然 故
二、线性变换与合同矩阵 定义2 设 和 为两组 变量，称关系式： （3） 为由 到 的一个线性变换
记 则线性变换（3）可以写成： （3’）
上式中矩阵C称为变换的系数矩阵.若C可逆,（3） 或（3’）称为可逆线性变换（或称满秩线性变换、 非退化线性变换），此时有 ； 若C不可逆，则称为不可逆线性变换（或称降秩 线性变换、退化线性变换）；若C为正交矩阵，则称为 正交变换.
定义3 两个阶矩阵A和B，如果存在n阶可逆矩阵C， 并称由A到B的变换为合同变换，称C为合同 变换的矩阵.
若 ，则必有 特别的，若 是正交变换，即 是正交矩阵，则有 即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似.
小 结 1.二次型的矩阵表示 (A为对称矩阵) 2.合同矩阵的性质 （1）反身性 （2）对称性 若 ，则 （3）传递性 若 ， ，则