4.1.2　圆的一般方程

3．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤 (1)根据题意，选择 或 ； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的 ； (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程． 4．轨迹方程 点M的轨迹方程是指点M的 满足的 ． 标准方程 一般方程 方程组 坐标(x，y) 关系式

1．圆的一般方程的结构有什么特征？ 提示：x2和y2的系数相等均为1，没有xy项． 2．圆的标准方程和一般方程如何相互转化？ 3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0具备什么条件才能表示圆？ 提示：需同时具备三个条件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF>0.

(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0. 　　考点一 圆的一般方程的定义 　例1　判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径： (1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.

1．用文字语言和符号语言表示所示图．

1．判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤： 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可． 2．圆的标准方程指出了圆心坐标与半径的大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．

1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．

考点二 利用圆的一般方程求圆的方程 　 例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．

　应用待定系数法求圆的方程应注意以下两点： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.

2．求圆心在y＝－x上且过两点(2,0)(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程．

考点三 求动点的轨迹方程(或轨迹) 例3 求圆心在y＝－x上且过两点(2,0)(0，－4)的圆的一般方程，并把它化成标准方程．

解决此类问题，常用的方法有：(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法．其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M满足的条件，③用坐标 表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．

3．自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．

【解题高手】 【易错题】 已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，求a的取值范围． [错解]　∵点A在圆外，∴a2＋4－2a2－3×2＋a2＋a>0，∴a>2. [错因]　本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，需D2＋E2－4F>0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件．

1．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R　　　　　　　　　　　 B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 解析：若方程表示圆，则必有(－4)2＋22－4×5k>0. 即k<1. 答案：B

3．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为(　　) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 解析：两圆的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，由直线方程的两点式，可得所求直线的方程为3x－y－9＝0. 答案：C 4．圆心为(2，－4)，半径为4的圆的一般方程为________． 解析：由题设可得圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，展开可得x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，即为所求的圆的一般方程． 答案：x2＋y2－4x＋8y＋4＝0

5．点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，点M为OP(O是原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________． 解析：由已知，得动点M的轨迹为以原点O为圆心，1为半径的圆，所以其轨迹方程为x2＋y2＝1. 答案：x2＋y2＝1

6．求经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．

一、选择题 1．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的图形是( ) A．一个圆 B．只有a＝0时，才能表示一个圆 C．一个点 D．a、b不全为0时，才表示一个圆

2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1， 则原点( ) A．在圆上 B．在圆外 则原点(　　) A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．与圆的位置关系不确定 解析：方程化为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为a2＋1>2a，所以原点在圆外． 答案：B 3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，必有(　　) A．E＝F B．D＝F C．D＝E D．D，E，F两两不相等

4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π

二、填空题 5．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________. 解析：以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为 (x－2)2＋(y＋4)2＝16，即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4. 答案：4 6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.

7．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．

8．若使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12＝0(a为实数)的面积最小，则a＝________.

三、解答题 9．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．

10．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．