第九章 二次型 研究对象： 二次齐次多项式 (1)也叫二次型 (2)在数学和物理的许多分支都有重要应用 (3)展现矩阵的无穷魅力 第九章 二次型 研究对象： 二次齐次多项式 (1)也叫二次型 (2)在数学和物理的许多分支都有重要应用 (3)展现矩阵的无穷魅力 9.1 二次型和对称矩阵 9.2 复数域和实数域上的二次型 9.3 正定二次型 9.4 主轴问题

9.1 二次型和对称矩阵 学习目标： 1.掌握二次型及其矩阵的定义， 2.理解变量的线性变换 3.掌握矩阵合同的概念 4.掌握二次型的标准形

一、二次型及其矩阵 1、定义：设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 叫做F上的n 元二次型，简称二次型 注：（1）二次型的特点 （ii）每项都为二次项 (2)例：下列是否二次型 答:不是 答:不是 答:是

2、二次型的表示 1）分析： 约定aij=aji，

2）分析： 其中矩阵A称为二次型 的矩阵. 计算

于是有

3）总结：

4）说明: i）二次型的矩阵A是对称矩阵,即 ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定 （这表明二次型 完全由对称矩阵A决定.) 正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.

3、例题: 1）求下列二次型的矩阵 2）求下列矩阵的二次型 4、定义: A的秩 1）例，求下列二次型的秩

二、变量的线性变换 1、定义： 是两组变量, 关系式 变量的线性变换　　　　　　　　 称为　　　　　　　　　　　

2、分析： 变量的线性变换

3、定义： 注：

4、分析： ———— 即，B为对称矩阵. 也是二次型.

5、总结： （1）问： 实施变量的 非奇异线性变换 得到的二次型的矩阵为 （2）问： 经过变量的非奇异线性变换，二次型的秩 保持不变 （3）例：

三、矩阵的合同 1、定义：设A，B为n 阶矩阵， 若存在可逆矩阵P，可使 则称B与A合同。 2、基本性质 ① 自反性： ② 对称性： 如果B与A合同，那么A也与B合同 ③ 传递性： 如果 A 与 B 合同，B 与 C合同， 那么A 与 C合同。 3、性质: 若A与B合同,

4、比较：合同，相似 A与B合同 A与B相似

5、定义： F上两个二次型等价，是指：可以通过变量 的非奇异线性变换将其中一个变成另一个. 6、分析 ： 7、结论： 8、问：

1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 四、二次型的标准形 1、二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 它的矩阵是对角阵 2、问：任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？

3、定理：数域F上任一二次型都可经 过非退化线性替换化成平方和的形式. 证明： 对二次型变量个数n作归纳法. n=1时， 结论成立. 过非退化线性替换化成平方和的形式.　 证明： 对二次型变量个数n作归纳法. n=1时， 结论成立. 假定对n－1元二次型结论成立. 下面考虑n元 二次型 分三种情形来讨论： 1) aii ( i =1 , 2 , … , n ) 中至少有一个不为零， 不妨设 a11  0 , 这时

配方法 这里， 是一个. 的n－1元二次型.

它是非退化的， 且使

由归纳假设，对 有非退化线性替换 使它变成平方和 于是，非退化线性替换

就使 变成 2） 但至少有一个 不妨设 作非退化线性替换：

则 这是一个 的二次型，且 的系数 不为零. 由情形1）知，结论成立.

3） 由对称性， 即 这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性 替换化成平方和的形式.

4、二次型的标准形的定义: 二次型 经过非退化线性替换 所变成的平方和形式 的一个标准形. 称为 注：1）由上定理知任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形.

5、例：求 的标准形. 解：作非退化线性替换 则

再令 或 则 最后令 或

则 所作的非退化线性替换是 即

6、定理：数域F上任一对称矩阵合同于 一个对角矩阵.

五、合同变换法 1、 定义：合同变换是指下列三种变换 （1） （2） （3） 互换矩阵的 两行，再互 换矩阵的 两列; 以数 k（ ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘 矩阵的第 i 列. （3） 将矩阵的第i行的k倍加 到第 行，再将第 列   的k倍加到第 列（ ).            

2、合同变换法化二次型为标准形 （1）基本原理： 设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵 C, 使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ. 若 为初等阵，则           设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵 C, 使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ. 若 为初等阵，则 又，

所以， 就相当于对A作s次合同变换化为D. 又注意到 所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时， 对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足

（2）基本步骤： ① 写出二次型 的矩阵A 即 ② ③ 作非退化线性替换X=CY，则 为标准形. D为对角阵,且 对A作合同变换化为对角矩阵D ② 对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C ③ 作非退化线性替换X=CY，则 为标准形.

3、例：用合同变换求下面二次型的标准形 解： 的矩阵为 r1+r2 c1+c2

r3+r1 r2－　r1 －2r2 c3+c1 c2－　c1 r3+2r2 c3+2c2 －2c2

令 则 作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形

4、说明： 　　①对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍 为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对 称性－－可利用这一点检查计算是否正确.） 　　②对A作合同变换时，无论先作行变换还是 先作列变换，结果是一致的. 　　③可连续作n次初等行（列）变换后，再依次作n次相应的初等列（行）变换.

5、练习：求下面二次型的标准形，并求出所作的非退化线替性换. 答案： 作非退化线性替换 f 的标准形为

详解： 的矩阵为

令 则 作非退化线性替换X=CY ，则 f 的标准形为

小结 基本概念 基本结论 1、二次型的标准形 2、合同变换 定理1、任一数域P上的二次型 f (x1,x2,…,xn) 可 经过非退化线性变换X＝CY化为标准形 定理2、数域P上对称矩阵合同于一 个对角矩阵.

9.2 复数域和实数域上的二次型 学习目标： 1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、 2. 掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。 2. 掌握实二次型的惯性指标、符号差等概念。 3．掌握实二次型的惯性定律.

一、 复二次型 复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型. 　　复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型. 一、 复二次型 1、定理： 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩. 即：两个复二次型等价的充分且必要条件 是它们有相同的秩. 　　证：条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充分性. 设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r ，由定理9.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得

取 n 阶复矩阵 的一个平方根.

那么 ，而 因此，矩阵A，B 都与矩阵 合同，所以A与B合同.

二、实二次型 证： 由定理9.1.2，存在实可逆矩阵P，使得 1、定理：实数域上每一n 阶对称矩阵A 都合同于如下形式的一个矩阵： （1） 这里 r 等于A的秩. 证： 由定理9.1.2，存在实可逆矩阵P，使得

　　如果r > 0 ，必要时交换两列和两行，我们总可以假定

取 那么

2、定理：实数域上n 元二次型都与如下形式的二次型等价： （1） 这里 r 是所给的二次型的秩. 　　注: 二次型（1）叫做实二次型的典范形式，该定理是说，实数域上每一个二次型都与一个典范形式等价. 在典范形式里，平方项的个数 r 等于二次型的秩，因而是唯一确定的.

证： 设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变换 3、定理 （惯性定律）：设实数域上n元二次型 等价于两个典范形式 （2） （3） 那么 证： 设（2）和（3）分别通过变量的非奇异线性变换 （4） （5）

化为所给的二次型 如果 不 妨设 考虑 个方程的齐次线性方程组 （6） 因为 所以 因此，方程组（6）在R内有非零解. 令 是（6）的一个非零解. 把这一组值代入 的表示式

（4）和（5）. 记 我们有

然而 所以 因为 都是非负数，所以必须 又 所以 是齐次线性方程组 的一个非零解.这与矩阵 的非奇异性矛盾.

这就证明了 . 同理可证得 . 所以 　　4、总结：实二次型都与唯一的典范形式（1）等价. 在（1）中，正平方项的个数 p 叫做所给二次型的惯性指标. 正项的个数p与负项的个数 r – p 的差s = p – (r – p) = 2p – r 叫做所给的二次型的符号差. 注意：一个实二次型的秩，惯性指标和符号都是唯一确定的.

证 设 是实数域上两个n元二次型. 令 分别是它们的矩阵. 那么由定理9.2.2，存在实可逆矩阵P，使得 如果 等价，那么 合同. 于是存在实可逆矩阵Q 使得 . 取 ，那么

因此 都与同一个典范形式等价，所以它们有相同的秩和符号差. 　　反过来，如果 有相同的秩 r 和符号差s , 那么它们也有相同的惯性指标 . 因此 都与矩阵

证 给定 . 令 合同. 由此推出 合同，从而 等价. 6、推论 ：实数域 R 上一切n元二次型可以分成 合同. 由此推出 合同，从而 等价. 6、推论 ：实数域 R 上一切n元二次型可以分成 类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价. 证 给定 . 令

由定理9. 2. 4，R上每一n元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价 由定理9.2.4，R上每一n元二次型恰与一个以 为矩阵的典范形式等价. 当 r 取定后，p 可以取0，1，… ，r ；而 r 又可以取0，1，…，n 中任何一个数. 因此这样的 共有 个. 对于每一个 ，就有一个典范形式

与它相当. 把与同一个典范形式等价的二次型放在一类，于是 R 上的一切 n 元二次型恰可以分成 类，属于同一类的二次彼此等价，属于不同类的二次互不等价. 7、例 ：a 满足什么条件时，二次型 的惯性指标是0，符号差是－2 ？写出其典范形。

解 实二次型 的矩阵为 经过合同变换可化为标准形 所以当 或 时，二次型的惯性指标是0，符号差是－2，其典范形为

三、小结 基本概念： 1、n元复二次型 的规范形 这里， ＝秩( f ). 2、 n元实二次型 的规范形 这里， ＝秩( f )，p 称为 f 的正惯性指数； 称为 f 的负惯性指数；　　　称为 符号差.

基本结论 定理、任意一个复系数二次型，经过一适当的 非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的. 即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵 推论、两个复对称矩阵A、B合同

定理、任意一个实二次型，经过一适当的非退化 线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的. 即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵 其中 　的个数等于矩阵Ａ的秩.

推论、两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是 且二次型　　　与　　　　的 正惯性指数相等.

9.3 正定二次型 学习目标： 1．掌握正定二次型、正定矩阵、顺序主子式、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型、不定二次型的概念。 2．掌握实二次型 正定的判 定定理。

一、正定二次型与正定矩阵 1．基本概念 i）正定二次型 实二次型 称为正定的，如果对于 任意一组不全为零的实数 都有 ii）正定矩阵 实对称矩阵 称为正定的，如果二次型

2、例：下列实二次型是否为正定的二次型： 1） 2） 3）

例： 若 ， 都是 阶正定矩阵， 证明： 是正定矩阵。 只需证明 正定。 由 ， 都是正定矩阵，知 ， 正定， 所以对于任意一组不全为 零的实数 ， 有 从而

实二次型 是正定的当且仅当 . 证明：若 正定，则对任意一组不全为零的实数 ，都有 . 分别选取 为 ，则有 . 若 .则对任意一组不全为零的实数 ，都有 所以 是正定的。

非退化实线性替换保持实二次型的正定性不变. 设实二次型 (1) 经过非退化实线性替换 (2) 变成二次型 (3) 则 是正定的 是正定的。

证明： 若 是正定的。对于任意一 组不全为零的实数 ，令 由于 是可逆实矩阵，故 也是一组不全为零的实数，从而 因为二次型（3）也可以经非退化实线性替换 变到二次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时，（1）也正定.

二、正定二次型的判别 1．判别定理1： 实二次型 是正定的 它的正惯性指数等于 . 实二次型 是正定的 它的规范形为 。 实二次型 是正定的 它的正惯性指数等于 . 实二次型 是正定的 它的规范形为 。 一个实对称矩阵是正定的 它与单位矩阵合同. 例： 正定矩阵的行列式大于零. 逆命题不成立。 反例： 的行列式大于零，但它对应的二次型 不是正定的。

练习： 若 是 阶实矩阵，则满足（ ）时， 是正定矩阵。 提示： 2．矩阵的顺序主子式： 称为矩阵 的顺序主子式. 矩阵 的第 个顺序主子式为

称为矩阵 的顺序主子式. 3．判别定理2：实二次型 是正定的 矩阵 的顺序主子式全大于零.

4、例： 判定二次型 是否正定. 的矩阵为 ，它的顺序主子 式 所以， 正定。

练习： 若 是正定矩阵，则下列结论错误的是（ ）。 A． ， B. 非退化， C. 的元素全是正实数， D. 的主对角上元素全为正。 练习 ：设 易知 都是正定矩阵，但 不是正定矩阵。

三、小结 基本概念： 1、正定二 次型； 正定矩阵； 2、顺序主子式、主子式 基本结论： 1、非退化线性替换保持实二次型的正定 性不变.

2、实二次型 正定 负定. 3、实二次型 f (x1,x2,…,xn)＝X´AX 正定 A 与单位矩阵 E 合同，即存在可逆矩阵C，使 A＝C´C A 的各级顺序主子式全大于零 f 的正惯性指数 p 等于 n 4、实对称矩阵 A 正定

9.4 主轴问题 学习目标 1．掌握变量的正交变换 2．掌握将实二次型通过变量的正交变换化为 只含平方项的二次型

一、变量的正交变换 　　我们已经看到, 实数域上一个二次型 可以经过变量的非奇异变换 化为二次型

　　1、定义: 将n元实二次型通过变量的正交变换化为只含平方项的二次型问题, 这个问题称为二次型的主轴问题. 注：(1)这里所说的变量的正交变换指的是这个变换的矩阵是正交矩阵. 　　(2)由于正交矩阵是非奇异的, 所以变量的正交变换是非奇异的. 　　(3)即：给一个实对称矩阵A, 要寻求一个正交矩阵U, 使得 是对角形式,

2、定理： 设 是实数域上一个二次型, 那么总可以通过变量的正交变换 化为 这里U是一个正交矩阵,而 是二次型 的全部特征根.

证 是一个n 阶实对称矩阵.由定理8.4.3 和 8.4.6,存在一个正交矩阵U , 使得 这里 是A的全部特征根.这也就相当于说以A为矩阵的二次型可以通过变量的正交变换化为标准形式 □

二、实对称矩阵的相似对角形 1、推论: 设 是实数域上一个n元二次型, 是它的矩阵. 1、推论: 设 是实数域上一个n元二次型, 是它的矩阵. (i) 二次型 的秩等于A 的不等于零的特征根的个数, 而符号差等于A 的正特征根个数与负特征根个数的差. (ii) 二次型 是正交的必要且只要A的所有特征根都是正数.

2. 例: 已知实二次型 (1) 用正交线性变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交线性变换； (2) 求出的秩、惯性指标与符号差. 解 （1） 的矩阵为 求 f 的全部特征根：因为

故的全部特征根为 （二重）， 。 对特征根 ，解齐次线性方程组 得一基础解系：

对特征根 ，解齐次线性方程组 得一基础解系： 对 正交化、单位化得：

以 为列作一个正交矩阵

则 于是 经过正交线性变换 ，化为标准形 （2） 由（1） 的秩为2，惯性指标 ，符号差 .