像上面兩個二元一次方程式x＋y＝70 和x＋2y＝115，雖然各自有解，但是當聯立在一起時，我們要找的就是同時能讓兩個方程式等號成立的x、y 值，此時的x 與y 就是這兩個方程式的一組共同解，也就是聯立方程式的解。 但是，要如何求出二元一次聯立方程式的解呢？讓我們先以二元一次方程式x＋y＝70 為例來說明。

x 2 1 3 … y 4

8 1 2 2

將x＝2，y＝1代入得 所以x＝2，y＝1不是 的解。 將x＝2，y＝－1代入得 所以x＝2，y＝－1是 的解。 將x＝1，y＝－2代入得 所以x＝1，y＝－2不是 的解。

太棒了！原來找二元一次聯立方程式的解這麼簡單，只要找到合適的數值代入判斷就行了。 妳真的這麼想嗎？那我們不妨用這個方法試一次，但是妳從x＝1 開始找，而我從y＝1開始，同意吧！ 太棒了！原來找二元一次聯立方程式的解這麼簡單，只要找到合適的數值代入判斷就行了。

解仍是x＝－2，y＝4，因為聯立方程式的解是共同解，不論代入哪個式子，結果應該都一樣。

由①式代入②式得 由①式代入②式得 2(－2y) ＋y＝9， y＋2y＝6，3y＝6，y=2 －3y＝9，y=－3 再代回①式得x＝2 ………... ① …….... ② 由①式代入②式得 2(－2y) ＋y＝9， －3y＝9，y=－3 再代回①式得x＝6 …………... ① …….... ② 由①式代入②式得 y＋2y＝6，3y＝6，y=2 再代回①式得x＝2

像例題4、例題5 這種解聯立方程式的方法，稱為代入消去法。 其它的聯立方程式，若能像例題4 或例題5 恰好可以用x＝…或y＝…直接代入方程式求解，就仿照其解題步驟求解，但若不是這樣，此時可以先整理方 程式，將其中一個方程式寫成x＝…或y＝…，再以代入消去法求聯立方程式的解，接下來就用例題6 來說明這個求解的過程。

…………... ① ………...... ② 由①式得x＝6－y 代入②式 即(6－y )＋2y＝8，y＝2 再代回①式得x＝4 …………... ① ………...... ② 由①式得x＝5－3y 代入②式 即2(5－3y)＋y＝5， 10－6y＋y ＝5， －5y＝－5，y＝1 再代回①式得x＝2

前面幾個例題中，算出x 和y 的值以後，都會把這兩個值代入聯立方程式中驗算，但如果小心計算，也可以把驗算省略。下面的例題，我們就把驗算省略了。

將原聯立方程式整理可得 將原聯立方程式整理可得 由①式得x＝41－6y 代入②式 由①式得y＝145－2x 代入②式 123－18y＋4y＝39，14y＝84 故y＝6再代回①式得x＝5 ① ② 將原聯立方程式整理可得 由①式得y＝145－2x 代入②式 即5x ＋2(145－2x)＝340， 5x＋290－4x＝340，x＝50 再代回①式得y＝45 ① ②

喂！阿光，這幅小型拼圖和上回在量販店看到的一樣耶！你記不記得那時1 幅多少錢？ 嗯……單價不大記得了，倒是記得拼圖分大、中、小三種型號。我買2 幅中型、2 幅小型，共花掉600 元。 喂！阿光，這幅小型拼圖和上回在量販店看到的一樣耶！你記不記得那時1 幅多少錢？

被你這麼一講，我也想起來了，當時我是買2幅中型、5 幅小型，也花掉900 元。可是你還是沒回答我的問題呀！ 哎唷！資料這麼齊全， 妳就自己算算看吧！

所以一幅小型拼圖的售價為100 元，又因為2 幅中型、2 幅小型拼圖共600 元， 即量販店的中、小型拼圖，每幅售價各為200 元及100 元。

像例題8 這種將兩個式子以相減或相加，消去聯立方程式其中一個未知數的方法，稱為加減消去法。 解 觀察聯立方程式，若將①式等號左邊的式子與②式等號左邊的式子相加，可消去未知數y，寫成①＋② 即　　3x＋5y＝4 ＋) 2x－5y＝11 —————— 5x ＝15 x ＝3 將x＝3 代入①式，得3×3＋5y＝4 5y＝4－9 5y＝－5 y＝－1 所以x＝3，y＝－1 是原聯立方程式的解 像例題8 這種將兩個式子以相減或相加，消去聯立方程式其中一個未知數的方法，稱為加減消去法。

夜市中有撈魚和用飛鏢射氣球的遊戲，小翰玩了四次撈魚和五次射氣球的遊戲，付給老闆160 元；小敏玩了二次撈魚和二次射氣球的遊戲，付給老闆70 元。那麼你知道這兩種遊戲玩一次的費用各是多少元嗎？ 解 仿照前面圖示的經驗來解題： 設撈一次魚的費用是x元，射一次氣球的費用是y元

所以撈一次魚的費用是15元，射一次氣球的費用是20元。

解 觀察聯立方程式，發現第①式中有－2y，第②式中有4y 因此將第①式乘以2，即①×2，可得10x－4y＝－8……③ —————— 13x ＝0 x ＝0 將x＝0 代入②式中，可得3×0＋4y＝8 4y＝8－0 y＝2 所以x＝0，y＝2 是原聯立方程式的解

1. 二元一次聯立方程式：將兩個二元一次方程式並列，來表示題目中的數量關係。 2. 若有一組x、y 值，能使得聯立方程式中兩個方程式的等號都成立，則這一組x、y 值就是此聯立方程式的解。 3. 代入消去法：解聯立方程式時，將一個未知數以另一個未知數表示，使其中一個方程式變成一元一次方程式，就可以利用一元一次方程式求解的方法，分別求出兩個未知數的值。

4. 加減消去法：解聯立方程式的過程中，將兩個式子相加或相減，以消去聯立方程式中的一個未知數，再利用一元一次方程式分別求出兩個未知數的解的方法。 5. 使用加減消去法解題時，有時須將兩個方程式分別乘以某個數，以便在相加或相減時能消去一個未知數。