期望值 變異數 共變異數與相關係數 變異數與共變異數之性質 柴比雪夫不等氏 動差與動差生成函數 期望值 變異數 共變異數與相關係數 變異數與共變異數之性質 柴比雪夫不等氏 動差與動差生成函數

5.1 期望值 5.1.1 單一隨機變數之期望值 5.1.2 二元隨機變數之期望值 5.1.3 期望值之性質

在前幾章節，已經介紹了已知資料的平均數，在此章 節我們將介紹未知資料值的平均數，在此稱之為「期 望值」。 5.1.1 單一隨機變數之期望值(1/4) 在前幾章節，已經介紹了已知資料的平均數，在此章 節我們將介紹未知資料值的平均數，在此稱之為「期 望值」。 (一)隨機變數之期望值 若 為隨機變數X 之機率(密度)函數，則隨機變數X 的平均值或期望值以 或 表示，定義如下： (1) 若X 為離散型： (2) 若X 為連續型： 參見例5.1

5.1.1 單一隨機變數之期望值(2/4) 例題 5.1 已知一離散型隨機變數X 之機率分配如下，試求X 之期望值μ。 【解】 因為 X f(x)=P(X=x) 10000 0.3 30000 0.2 50000 0.4 70000 0.1 合計 1.0

5.1.1 單一隨機變數之期望值(3/4) (二)隨機變數函數之期望值 令 為隨機變數X 之機率(密度)函數，則 X 之函 數 的期望值定義如下： (1)若 X 為離散型： (2)若 X 為連續型： 參見例5.4

5.1.1 單一隨機變數之期望值(4/4) 例題 5.4 令X 表投擲一個硬幣二次，出現正面的次數，且 （式中 表示當投擲兩次正面，則可獲利100元，而投擲兩 次均反面，則損失100元，若僅投擲一個正面則沒有輸贏)，試 求 之期望值 。 【解】 因為隨機變數X 的機率分配如下： 所以 之期望值為 x 1 2 合計 f(x) 1/4 1/2

5.1.2 二元隨機變數之期望值(1/6) (一)二元隨機變數之期望值 (1)若 為離散型，則 (2)若 為連續型，則

5.1.2 二元隨機變數之期望值(2/6) (二)二元隨機變數函數之期望值 (1)若 為離散型，則 (2)若 為連續型，則 參見例5.5 (1)若 為離散型，則 (2)若 為連續型，則 參見例5.5 參見例5.6

5.1.2 二元隨機變數之期望值(3/6) 例題 5.5 下表為民眾對市政府滿意程度之機率分配：(X 表年齡層，Y 表滿意分數：最低分1分；最高分5分) 試求：(1) (2) X Y 1 2 3 4 5 總和 0(表小於30歲) 0.05 0.15 0.2 0.1 0.5 1(表大於、小於30歲) 0.35 0.4

5.1.2 二元隨機變數之期望值(4/6) 承上頁 【解】 (1) 因此民眾對市政府之平均滿意分數為3.45，即民眾對 市政府之平均滿意程度為介於普通與滿意之間。 (2)

5.1.2 二元隨機變數之期望值(5/6) 例題 5.6 令二元隨機變數 之聯合機率密度函數 試求：(1) 及 (2) 【解】 (1)

5.1.2 二元隨機變數之期望值(6/6) 承上頁 (2)

5.1.3 期望值之性質(1/2) 定理5-1 若X 為一隨機變數，且a、b為常數，則 推理5-2 若b為一常數，則 E(b)＝b。 定理5-3 令q1(X)、q2(X)為隨機變數X之函數，則

5.1.3 期望值之性質(2/2) 定理5-4 令 為二元隨機變數，q1(X,Y)、q2(X,Y)為 隨機變數 之函數，則 隨機變數 之函數，則 推理5-5 若 (X、Y) 為一二元隨機變數，則 定理5-6 若X、Y 為獨立之隨機變數，則

5.2 變異數 5.3 共變異數與相關係數 5.3.1 二元隨機變數之變異數 5.3.2 共變異數與相關係數

5.2 變異數(1/4) (一)隨機變數之變異數 令 X 為一隨機變數且μ為其平均數，則 X 的變異數以 或 表示，其定義如下： 由上述定義，我們可得以下結果： (1)若 X 為離散型：令 為其所有變量，且 為 其機率函數，則 (2)若 X 為連續型：令 為其機率密度函數，則 定理5-7 之計算公式 參見例5.9 參見例5.10

5.2 變異數(2/4) 例題 5.9 假設一隨機變數X 的機率分配如下： 試求 及 【解】 x 1 2 3 f(x) 0.3 0.4

5.2 變異數(3/4) 例題 5.10 若隨機變數X 的機率密度函數 ，試求 及 【解】 (1) (2)

5.2 變異數(4/4) (二)隨機變數之標準差 令X 為一隨機變數且 為其變異數，則 X 的標準差定義為

5.3.1 二元隨機變數之變異數(1/4) 若 為一二元隨機變數，則 (1)若 為離散型，則 (2)若 為連續型，則 參見例5.12 若 為一二元隨機變數，則 (1)若 為離散型，則 (2)若 為連續型，則 參見例5.12 參見例5.13

5.3.1 二元隨機變數之變異數(2/4) 例題 5.12 承例5.5，求隨機變數 Y 之變異數 及標準差 【解】 因為 且 因此變異數與標準差分別為

5.3.1 二元隨機變數之變異數(3/4) 例題 5.13 承例5.6，若 之聯合機率密度函數為 求隨機變數 X 、 Y 之變數 及 。 承例5.6，若 之聯合機率密度函數為 求隨機變數 X 、 Y 之變數 及 。 【解】 (1)由例5.6得知 且

5.3.1 二元隨機變數之變異數(4/4) 承上頁 (2)同理， ，且

5.3.2 共變異數與相關係數(1/6) (一)共變異數 二元隨機變數 之共變異數，以 或 表示，定義如下： 定理 5-8 二元隨機變數 之共變異數，以 或 表示，定義如下： 定理 5-8 推理 5-9 若X、Y為獨立之隨機變數，則 參見例5.14

5.3.2 共變異數與相關係數(2/6) 例題 5.14 承例5.5，求二元隨機變數X、Y 之共變異數 【解】 由例5.5得知，

5.3.2 共變異數與相關係數(3/6) (二)共變異數之意義 若 為一二元隨機變數， 當 ，則表示隨機變數X、Y 具有正的線性相關。 若 為一二元隨機變數， 當 ，則表示隨機變數X、Y 具有正的線性相關。 當 ，則表示隨機變數X、Y 具有負的線性相關。 當 ，則表示隨機變數X、Y 不具線性關係。 (三)相關係數 二元隨機變數之相關係數，以 表示，其定義如下：

5.3.2 共變異數與相關係數(4/6) (四)相關係數之意義 若 為一二元隨機變數，則 當 ，表示隨機變數X、Y 具有完美的正線性關係。 若 為一二元隨機變數，則 當 ，表示隨機變數X、Y 具有完美的正線性關係。 當 ，表示隨機變數X、Y 具有完美的負線性關係。 當 ，表示隨機變數X、Y 不具線性關係。 另外，當 愈大，則X、Y的線性關係程度愈大。 參見例5.17

5.3.2 共變異數與相關係數(5/6) 例題 5.17 若 、 表兩種產品之銷售量，其聯合機率分配如下： 若 、 表兩種產品之銷售量，其聯合機率分配如下： 求 X、Y 之相關係數 及其代表之意義。 x y f(x, y) 1 3 0.3 2 5 0.4 7

5.3.2 共變異數與相關係數(6/6) 承上頁 【解】 因為 所以， 因此， 即 具有完美的正線性相關，此結果顯示、兩種產品有密切 即 具有完美的正線性相關，此結果顯示、兩種產品有密切 之相關性。而觀察兩者之圖形，我們可以 來表示其關係。

5.4 變異數與共變異數之性質 5.5 柴比雪夫不等式 5.6 動差與動差生成函數 5.4 變異數與共變異數之性質 5.5 柴比雪夫不等式 5.6 動差與動差生成函數

5.4 變異數與共變異數之性質(1/2) 定理5-10 若 X 為一隨機變數且 a、b 為常數，則 定理5-11 若 X 為一隨機變數且 b 為常數，則 (1) (2) 定理5-12 若 (X,Y) 為一二元隨機變數且a、b為常數，則

5.4 變異數與共變異數之性質(2/2) 推理5-13 若 (X,Y) 為一二元隨機變數，則 推理5-14 若X、Y 為獨立之隨機變數，則

5.5 柴比雪夫不等式(1/2) 它顯示了任何一組資料至少有 比例個觀測值 落在距離平均數 k 個標準差之內。 它顯示了任何一組資料至少有 比例個觀測值 落在距離平均數 k 個標準差之內。 定理5-17 若隨機變數 X 之平均數為 ，變異數為 且 ，則 參見例5.19

5.5 柴比雪夫不等式(2/2) 例題 5.19 若隨機變數 X 之平均數 ，變異數 (1)請以柴比雪夫不等式估計 (2)請以柴比雪夫不等式估計 【解】 (1)由柴比雪夫不等式得知， 因此 至少為24∕25。 (2)因為 因此 至多為1∕4。

5.6 動差與動差生成函數(1/9) (一)r 階動差 若 為隨機變數X 之機率(密度)函數，則隨機變數 X 的 r 階動差為

5.6 動差與動差生成函數(2/9) (二)動差生成函數 若 為隨機變數 X 之機率(密度)函數，則隨機變數 X 的動差生成函數為 ，一般以 表之，其定義 如下： (1)若 X 為離散型： (2)若 X 為連續型： 參見例5.20

5.6 動差與動差生成函數(3/9) 例題 5.20 已知一離散型隨機變數 X 之機率函數如下： 試求隨機變數 X 之動差生成函數 【解】

5.6 動差與動差生成函數(4/9) 定理5-18 若隨機變數X之動差生成函數為 ，則 定理5-19 唯一性 參見例5.22 定理5-19 唯一性 已知隨機變數 X、Y之動差生成函數分別為 及 ，若對所有 t， ，則隨機變 數X、Y 有相同之機率分配。 參見例5.22 參見例5.24

5.6 動差與動差生成函數(5/9) 例題 5.22 承例5.20，試求 及 【解】由例5.20可知 因此 另外，因為 所以

5.6 動差與動差生成函數(6/9) 例題 5.24 已知一離散型隨機變數 X 之動差生成函數 ，請說明其機率函數為 【解】 假設隨機變數Y之機率函數為 則 ，根據定理5-19，隨機變數X 之機率函數為

5.6 動差與動差生成函數(7/9) 定理5-20 若隨機變數X之動差生成函數為 ，且a 為常數，則 (1) (2) 定理5-21 如果隨機變數 彼此獨立且其動差生成函數依 序為 。令 ，則 參見例5.26

5.6 動差與動差生成函數(8/9) 例題 5.26 已知離散型隨機變數X、Y彼此獨立且其機率函數分別為， 試問 之機率函數為何﹖

5.6 動差與動差生成函數(9/9) 承上頁 【解】 由例5.24可知 、 ，因為 X、 Y 彼此獨立，由定理5-21得知 之動差生成函數為 彼此獨立，由定理5-21得知 之動差生成函數為 假設一隨機變數W之機率函數為 則 所以Z之機率函數為