第 5 章 離散機率分配

本章內容 5.1 隨機變數 5.2 建立離散機率分配 5.3 期望值與變異數 5.4 二元分配、共變異數 及財務投資組合 5.1 隨機變數 5.2 建立離散機率分配 5.3 期望值與變異數 5.4 二元分配、共變異數 及財務投資組合 5.5 二項機率分配 5.6 卜瓦松機率分配 5.7 超幾何機率分配 .10 .20 .30 .40 0 1 2 3 4 第5章 離散機率分配 第179 - 213頁

5.1 隨機變數 隨機變數(random variable)是實驗結果的數值描述。 5.1 隨機變數 隨機變數(random variable)是實驗結果的數值描述。 隨機變數的可能數值若是有限個數值或一個無限的數列，如0, 1, 2, ...，則稱為離散隨機變數(discrete random variable)。 可指派成一區間或數個區間內的任何數值到一隨機變數，此隨機變數稱為連續隨機變數(continuous random variable)。 第5章 離散機率分配 第181頁

離散隨機變數實例 將會計師資格考試視為一個實驗，該考試分為四個項目。令離散隨機變數 x＝已通過的會計師資格考試項目的數目，則此隨機變數的可能數值為 0、1、2、3 或 4。 將汽車到達收費站視為一個實驗，令隨機變數 x＝1天內到達收費站的車輛數，則 x 的可能值為 0, 1, 2, ...，因此 x 為一離散隨機變數，它可能是無窮數列中的任一個值。 第5章 離散機率分配 第181頁

連續隨機變數實例 某保險公司正在觀察保戶的來電情況，令 x＝兩通來電的時間間隔，則此一隨機變數的範圍為 x ≥ 0。事實上，x 的可能值有無限多個，如1.26分、2.751分、4.3333分等。 長達90哩的某段公路，緊急救護站位於公路一端，我們定義一隨機變數 x ＝ 公路上發生意外事件的位置，則 x 為一連續隨機變數，其值的範圍為 0 ≤ x ≤ 90。 第5章 離散機率分配 第181-182頁

表 5.1 離散隨機變數的例子 表 5.2 連續隨機變數的例子 第5章 離散機率分配 第182頁 表5.1 & 表5.2

評註 決定隨機變數為離散或連續隨機變數的一種方法是，以一線段代表隨機變數的可能範圍，將隨機變數的可能值視為線段上的點，在線上選擇兩個表示隨機變數值的點，如果兩點間的所有點都是隨機變數的可能值，則該隨機變數為連續變數。 第5章 離散機率分配 第182頁

5.2 建立離散機率分配 隨機變數的機率分配(probability distribution)描述不同隨機變數值的機率分配狀況。 5.2 建立離散機率分配 隨機變數的機率分配(probability distribution)描述不同隨機變數值的機率分配狀況。 離散隨機變數 x 的機率分配是由機率函數(probability function)來定義的。 第5章 離散機率分配 第183頁

離散機率分配 機率函數記作 f(x)，機率函數讓我們知道各隨機變數值的出現機率。 離散機率函數的必要函數： f(x) > 0 第5章 離散機率分配 第183.185頁

離散機率分配實例 DiCarlo 汽車公司根據過去 300 天的銷售狀況得知，有 54 天沒有賣出任何汽車，有 117 天賣出 1 輛汽車，有 72 天賣出 2 輛，有 42 天賣出 3 輛，有 12 天賣出 4 輛，有 3 天賣出 5 輛。 表5.4所示該汽車銷售公司每天銷售汽車數的機率分配。 第5章 離散機率分配 第184頁 表5.3

離散機率分配實例 機率函數也可以用圖形的方式來表達。圖5.1中隨機變數 x的值列於橫軸，相對應的機率值列於縱軸。 第5章 離散機率分配 第185頁 圖5.1

離散型均勻機率分配 除了表格和圖形之外，離散隨機變數的機率函數 f (x) 常用公式來表達。最簡單的例子是離散型均勻機率分配(discrete uniform probability distribution)。 離散型均勻機率函數 其中 n = 隨機變數可能值的數目 f(x) = 1/n 第5章 離散機率分配 第185頁

離散型均勻機率分配實例 以投擲骰子的實驗為例，定義隨機變數 x 為投擲一骰子之後出現的點數。因此，n＝6 代表可能出現 6 種隨機變數值，x ＝1, 2, 3, 4, 5, 6，可定義此隨機變數的機率函數為： f(x)＝1 / 6　　　x＝1, 2, 3, 4, 5, 6 以下為隨機變數 x 的可能值及其對應的機率。 x f (x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 第5章 離散機率分配 第185-186頁

5.3 期望值與變異數 以隨機變數的期望值(expected value)或平均數來衡量隨機變數的中央位置 5.3 期望值與變異數 以隨機變數的期望值(expected value)或平均數來衡量隨機變數的中央位置 變異數(variance)表示一組資料的分散程度。 標準差(standard deviation)定義為變異數的正平方根，記作  。 E(x) =  = xf(x) Var(x) =  2 = (x – )2f(x) 第5章 離散機率分配 第188頁

期望值與變異數實例 以5.2節 DiCarlo汽車銷售公司為例，我們來看看汽車銷售數量的期望值是如何計算出來的。 第5章 離散機率分配 第189頁 表5.5

期望值與變異數實例 表5.5中 xf(x)欄的加總是 1.50 輛。因此可知，雖然每個營業日的汽車銷售量可能是 0、1、2、3、4 或 5 輛，但長期而言， DiCarlo汽車公司可以預期每天平均銷售 1.50 輛車。假設該公司每月營業30天，則可預期每月平均銷售量為 30 (1.50)＝45輛。 表 5.6 是DiCarlo汽車公司日銷售量之機率分配的變異數計算過程。由該表可知其變異數為 1.25。 第5章 離散機率分配 第188頁

期望值與變異數實例 第5章 離散機率分配 第189頁

5.4 二元分配、共變異數及 財務投資組合 二項實驗(binomial experiment)具有以下四個特性。 5.4 二元分配、共變異數及 財務投資組合 二項實驗(binomial experiment)具有以下四個特性。 由 n 個相同的試驗 (trials) 所構成的實驗。 每一試驗有兩種可能的結果，我們常以成功 (success) 和失敗(failure) 稱之。 成功的機率為 p，失敗的機率為1－p。每一試驗 的成功和失敗機率皆維持不變。 每一試驗皆獨立。 第5章 離散機率分配 第195頁

二元實證離散機率分配實例 位於紐約州薩拉托加的 DiCarlo 汽車銷售商的每日銷售汽車數建立了經驗離散分配。DiCarlo 汽車在紐約州幾內瓦有另一個經銷商。 表5.7 是過去 300 天內兩個經銷商的銷售汽車數的資料。 第5章 離散機率分配 第192頁

二元實證離散機率分配實例 假設我們考慮的二元實驗是觀察 DiCarlo 汽車的日常營運並記錄汽車銷售數。 我們定義 x＝幾內瓦經銷商的銷售汽車數及 y＝薩拉托加經銷商的銷售汽車數。我們可將表 5.7 內的所有次數除以觀察天數 (300) 來建立兩個經銷商的汽車銷售數的二元實證離散機率分配。表 5.8 即顯示此二元離散機率分配。 第5章 離散機率分配 第192頁

二元實證離散機率分配實例 第5章 離散機率分配 第192頁

二元實證離散機率分配實例 假設我們想瞭解 DiCarlo 汽車的兩個經銷商的總銷售數的機率分配，以及總銷售數的期望值與變異數。我們可以定義 DiCarlo 汽車的總銷售數是 s＝x＋y。 表 5.9 依據期望值及變異數的計算過程列出所有的 s＝x＋y 的機率分配。期望值是 E(s)＝2.6433，變異數是 Var(s)＝2.3895。 第5章 離散機率分配 第192頁

二元實證離散機率分配實例 第5章 離散機率分配 第193頁 表5.9

二元實證離散機率分配實例 在表5.10計算E(x)及Var(x) 第5章 離散機率分配 第193頁 表5.10

二元實證離散機率分配實例 我們來計算 DiCarlo 汽車的兩個經銷商的每日銷售量間的相關係數。 現在我們可以計算兩個隨機變數的線性相關的量數─相關係數。 第5章 離散機率分配 第194頁

二元實證離散機率分配實例 0.1295 的相關係數表示代表 DiCarlo 汽車的兩個經銷商的每日銷售量的兩個隨機變數間存有弱的正線性關係。 第5章 離散機率分配 第194頁

5.4 二項機率分配 二項實驗(binomial experiment)具有以下四個特性。 5.4 二項機率分配 二項實驗(binomial experiment)具有以下四個特性。 由 n 個相同的試驗 (trials) 所構成的實驗。 每一試驗有兩種可能的結果，我們常以成功 (success) 和失敗(failure) 稱之。 成功的機率為 p，失敗的機率為1－p。每一試驗 的成功和失敗機率皆維持不變。 每一試驗皆獨立。 第5章 離散機率分配 第199頁

二項實驗實例 圖 5.2 表示一個包含 8 個試驗的二項實驗的可能結果之一。此圖顯示的是成功 5 次、失敗 3 次的情形。 第5章 離散機率分配 第200頁 圖5.2

二項實驗實例 在二項實驗中，我們有興趣的是 n 次試驗中成功的次數。令 x 代表成功的次數， x 的可能值為 0, 1, 2, 3, ... , n。由於 x 的可能值為有限個，因此 x 為一離散隨機變數。此隨機變數的機率分配稱為二項機率分配 (binomial probability distribution)。 第5章 離散機率分配 第200頁

二項實驗實例 例如丟擲一枚硬幣 5 次，觀察總共出現幾次正面 此實驗包含五個相同的試驗，每一試驗為丟擲一枚硬 幣。 每一試驗有兩個可能的結果：正面或反面。我們可以 定義正面表示成功，反面表示失敗。 對每個試驗而言，出現正面的機率是 p＝ 0.5，出現 反面的機率也是 1－p＝0.5。 每一試驗或丟擲皆彼此獨立，因為每一試驗彼此互不 影響。 因此，滿足二項實驗的特性。而我們有興趣的隨機變數 x＝5 次試驗中正面出現的次數，在本例中，x 的可能值為 0、1、2、3、4 或 5。 第5章 離散機率分配 第200頁

二項實驗實例 有一保險業務員隨機拜訪 10 個家庭，若該家庭購買保險，則視為成功事件，不購買保險則視為失敗。依據過去的經驗顯示，家庭會購買保險的機率是0.10，現在看看這是否為二項實驗。我們觀察到： 這個實驗含 10 個相同的試驗，每拜訪一個家庭視為一試 驗。 每一試驗有兩個可能的結果：家庭會購買保險或不購買 (購買保險為成功，不購買保險為失敗)。 對每一家庭而言，購買的機率可假設相同，不購買的機率 亦然。購買的機率為 p＝0.10，而不購買的機率為 1－p＝ 0.90。 每一試驗彼此隨機獨立，因為被拜訪的家庭是隨機選取的。 第5章 離散機率分配 第200頁

二項實驗實例 由於符合二項實驗的特性，故此例是二項實驗。隨機變數 x 為 10 個受訪家庭中購買保險的家庭數，所以 x 的可能值為 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。 第5章 離散機率分配 第200頁

二項實驗實例 二項實驗的第 3 個特性又稱為穩定性假設 (stationarity assumption)，很容易與第 4 個特性 (試驗的獨立性) 相混淆。我們特別說明如下：以前述的保險業務員為例，若業務員工作了一整天，由於身心相當疲憊，因此拜訪最後一個家庭時，該家庭購買保險的機率降為 0.05。此時第 3 個特性 (穩定性) 將不成立，因此這不是一個二項實驗，但此實驗仍符合第 4 個特性，因為對每一家庭而言，買不買保險是獨立的。 第5章 離散機率分配 第200頁

二項實驗實例 在應用二項實驗時，有一數學公式，稱為二項機率函數 (binomial probability function)。該函數可用來計算 n 次試驗中成功次數 x 的機率，利用第 4 章的機率觀念，我們將以一範例來說明此公式的意義。 第5章 離散機率分配 第200頁

二項實驗實例 假設有三位顧客走進馬丁服飾店，根據過去的經驗，店經理估計每位顧客購買服飾的機率是 0.30。那麼請問三人中有兩人會購買的機率是多少？ 利用樹狀圖 (見圖 5.3)，此實驗因每一顧客的決策為買與不買，所以實驗結果有八個。令 S 表成功 (購買)，F 表失敗 (不購買)，而我們有興趣的是 3 人中有兩人購買的實驗結果。接下來檢驗此實驗是否為二項實驗，看看二項實驗的四個要求條件是否皆滿足。 第5章 離散機率分配 第201 頁

圖5.3 馬丁服飾店問題的樹狀圖 第5章 離散機率分配 第202頁 圖5.3

二項實驗實例 因此，符合二項實驗的特性。 此實驗有三個相同的試驗，每一試驗為顧客進入 馬丁服飾店。 每一試驗有兩個實驗結果：顧客購買 (成功) 或顧 客不購買 (失敗)。 每一顧客購買或不購買的機率 (0.3 及 0.7) 假設皆 相同。 顧客間買與不買的決策是獨立的。 因此，符合二項實驗的特性。 第5章 離散機率分配 第201頁

二項機率分配 我們有興趣的是在 n 次試驗中所發生成功的次數。 令 n 次試驗中有 x 次成功的實驗結果次數。 第5章 離散機率分配 第201頁

二項機率分配 二項機率函數 其中： x = 成功的次數 p =任何一個試驗成功的機率 n =試驗的次數 f(x) = n 次試驗中 x 次成功的機率 第5章 離散機率分配 第203頁

二項機率分配 二項機率函數 n 次試驗中有 x 次成功 n 次試驗中恰有 x 次成功 的任一實驗結果發生的機率 的實驗結果數 第5章 離散機率分配 第203頁

二項機率分配實例 回到馬丁服飾店的問題，三位顧客的購買決策的例子。式(5.10)可用來計算三人中有兩人購買的實驗結果數，也就是 n＝3 次試驗中，出現 x＝2 次成功的實驗結果共有幾種。根據式 (5.10) 可得： 式 (5.10) 表示三個實驗結果中有兩次成功。從圖 5.3 中可看出這三個實驗結果，分別表示成 (S, S, F), (S, F, S) 及 (F, S, S)。 第5章 離散機率分配 第201頁

二項機率分配實例 利用式(5.10)可以得知三次成功（購買）的實驗結果數為： 從圖 5.3 可知，只有一個實驗結果是三個都成功，以(S, S, S)表示。 利用式(5.10)可計算 n 次試驗中，x 次成功的實驗結果數。但是如果我們想瞭解 n 次試驗中 x 次成功的機率時，則必須知道每一個實驗結果出現的機率。由於二項實驗中每一個試驗間彼此獨立，因此每一實驗結果發生的機率即為該實驗中各試驗結果出現機率的乘積。 第5章 離散機率分配 第202頁

二項機率分配實例 以本例而言，前兩位顧客購買而第 3 位顧客不購買的機率為 pp (1－p) 已知每一試驗中購買的機率為0.30，因此前兩位購買而第 3 位不購買的機率為 (0.30)(0.30)(0.70)＝(0.30)2(0.70)＝0.063 其他兩種二個成功一個失敗的實驗結果發生的機率如下所示。 第5章 離散機率分配 第202頁

二項機率分配實例 由以上可知有 2 個顧客會購買的共有三種實驗結果，它們出現的機率皆相同，皆為0.063。x 為其他值時亦有此一特點。 第5章 離散機率分配 第202-203頁

二項機率分配實例 在馬丁服飾店的例子中，我們可以計算沒有顧客購買、恰有 1 位購買、恰有 2 位購買，以及 3 位都購買的機率，計算結果彙整於表5.13，此即為購買人數的機率分配。圖 5.4 為此機率分配的圖形表示法。 第5章離散機率分配 第203頁

二項機率分配實例 第5章 離散機率分配 第204頁 表5.13

二項機率分配實例 第5章 離散機率分配 第204頁 圖5.4

二項機率分配實例 二項機率函數可以應用到任何的二項實驗中，只要符合二項實驗的特性並且知道 n、p 及 (1－p) 的值，就可以利用式 (5.12) 計算 n 次試驗中 x 次成功的機率。 如果我們將馬丁服飾店的實驗稍做變化，如 10 位顧客而非 3 位顧客，式 (5.12)的二項機率函數公式仍然適用。假定有一個 n＝10，x＝4 且 p＝0.30 的二項實驗。10 位來店顧客中恰有 4 位購買的機率是： 第5章離散機率分配 第203頁

表5.14 部分的二項機率表 第5章 離散機率分配 第205頁 表5.14

二項機率分配的期望值與變異數 期望值 E(x) =  = np 變異數 標準差 Var(x) =  2 = np(1 – p) 第5章 離散機率分配 第206頁

二項機率分配的期望值與變異數 實例 以馬丁服飾店來客數 3 人為例，我們可以利用式(5.9)計算顧客購買的期望人數為： 假設下個月馬丁服飾店的來客數為1000人，則會購買的人數期望值是μ＝np＝(1000)(0.3)＝300。因此，要增加購買人數的期望值，馬丁服飾店必須設法增加來客數和／或增加來店顧客購買的機率。 E(x) = np = 3(0.30) = 0.9 第5章 離散機率分配 第206頁

二項機率分配的期望值與變異數 實例 再以馬丁服飾店為例，若來客數為 3 人，則購買人數的變異數及標準差為： 若來客數為1000人時，則購買人數的變異數與標準差分別為 第5章 離散機率分配 第206頁

評註 附錄 B 的二項機率表中，可以查到 p 值 = 0.95。某些二項機率表，只顯示在0.50以下的 p 值，p值最大也只到0.50。當 p 值超過0.50時即無表可查。然而，此種二項分配表還是可以使用，因為n – x 個失敗的機率及等於 x 個成功的機率，所以，在p > 0.50 時，只要以失敗的機率1 – p 取代 p 值計算二項機率值即可。 第5章 離散機率分配 第206頁

評註 某些二項機率表是以累積機率的形式表示，使用此種表格時，必須採減法運算以求出 n 個試驗中，恰好成功 x 次的機率，如 f (2)＝P(x ≤ 2)－P(x ≤ 1)。我們在附錄B直接列出 f (2)的機率值，如果要計算累積機率值時，必須採加法方式加以處理，如P(x ≤ 2)＝f (0)＋f (1)＋f (2)。 第5章 離散機率分配 第206頁

5.5 卜瓦松機率分配 卜瓦松機率分配 (Poisson probability distribution)分配常用來估計某特定區間或特定空間中，發生某特定事件的次數。 x 是表示在一段時間內事件發生次數的離散隨機變數。由於發生的次數 x 並沒有上限，其可能值為無限數列( x＝0, 1, 2, ... )。 第5章 離散機率分配 第208-209頁

卜瓦松機率分配 符合卜瓦松機率分配的隨機變數 洗車場每小時車輛到達的次數 高速公路每10哩需要維修的數目；或每100哩管線 破損的數目。 第5章 離散機率分配 第208頁

卜瓦松機率分配 卜瓦松實驗的特性 任意兩個等長的區間發生特定事件的機率皆相同。 區間發生或不發生某特定事件是彼此獨立的。 第5章 離散機率分配 第208頁

卜瓦松機率分配 卜瓦松機率函數 其中 f(x) = 一區間中發生 x 次的機率 μ = 一區間中發生次數的期望值或平均數 μ = 一區間中發生次數的期望值或平均數 e = 2.71828 第5章 離散機率分配 第208頁

一個時間區間的例子 假設我們有興趣的是銀行在週間的早上，每 15 分鐘駛入免下車櫃員窗口的車輛數。假設在任何相同的時間區間中，車輛到達的機率皆相同且車輛到達與否為獨立事件。在這種情況下便可以應用卜瓦松機率分配。若根據歷史資料發現，15分鐘內車輛的平均到達數為 10 輛，則可應用下列機率函數。 隨機變數 x = 15分鐘內的來車數。 第5章 離散機率分配 第209頁

一個時間區間的例子 若管理者想要瞭解15分鐘內恰有5輛車到達的機率，則此時 x＝5 ，可得： 上述機率值是將 μ ＝10 與 x＝5 代入式(5.11)中計算而得。 第5章 離散機率分配 第209頁

一個時間區間的例子 計算每 3 分鐘 1 輛來車的機率。 由於 15分 鐘內平均來車數為 10 輛，因此每分鐘平均來車數為 10/15 ＝ 2/3 輛，而每 3 分鐘平均來車為μ＝(2/3)(3分鐘)＝2輛。因此，3分鐘內來車 x輛的機率為 欲求 3 分鐘內 1 輛來車的機率，可利用上述公式 第5章 離散機率分配 第205-206頁

表5.9 部分的卜瓦松機率表 第5章 離散機率分配 第210頁 表5.9

一個包含長度或距離區間的例子 假如我們有興趣的是某一段高速公路路段，經重新舖設路面1個月後，發現重要瑕疵的數量。假設在此路段的任何兩個區間中，發現一個瑕疵的機率皆相同，且各區間發現瑕疵與否為獨立事件。因此可以應用卜瓦松分配。 假設在重新舖設路面1個月後，每哩發現重大瑕疵的平均數目為 2 個，則在 3哩內沒有發現重大瑕疵的機率為何？因為我們有興趣的長度區間為 3 哩，因此 3 哩的平均瑕疵數為 μ ＝(2 個/哩)(3 哩)＝6 個，利用式 (5.15)，f (0)＝ 60e－6/0!＝0.0025，可得 3 哩內沒有重大瑕疵數的機率為 0.0025，表示在 3 哩內沒有重大瑕疵的可能性非常小。事實上，在 3 哩長的路段裡至少有 1 個重大瑕疵的機率為 1－0.0025＝ 0.9975。 第5章 離散機率分配 第210頁

5.6 超幾何機率分配 超幾何機率分配 (hypergeometric probability distribution)與二項機率分配關係相當密切。 兩者主要的差別有二： 超幾何分配的各試驗並不獨立。 超幾何分配成功的機率隨試驗而有不同。 第5章 離散機率分配 第212頁

超幾何機率分配 超幾何機率函數 其中 x = 成功的次數 n = 試驗的次數 f (x) = n 次試驗中 x 次成功的機率 r = 母體中成功的個數 第5章 離散機率分配 第212頁

數N－r中，選出n－x個失敗個數的可能組合 超幾何機率分配 超幾何機率函數 表示從母體總失敗個 數N－r中，選出n－x個失敗個數的可能組合 表示從母體總成功個 數 r 中，選出 x 個成功個 數的可能組合 表示從母體大小為 N 中， 選出 n 個樣本的可能組合 第5章 離散機率分配

超幾何機率分配實例 品管的例子 某家公司生產保險絲，12 個保險絲包裝成一盒。品管檢驗員隨機從一盒產品中抽出 3 個檢驗。假定該盒恰有 5 個瑕疵品，檢驗員抽出的 3 個保險絲中恰有 1 個是瑕疵品的機率為何？在此例中，n＝3 且 N＝12，每盒裡有 r＝5 個瑕疪品，要計算抽出的瑕疵品個數 x＝1 的機率，計算公式為： 第5章 離散機率分配 第212-213頁

超幾何機率分配實例 假定我們想知道至少有 1 個瑕疵品的機率。最簡單的方式是先算出沒有瑕疵品的機率，x＝0的機率是 已知沒有瑕疵品的機率 f (0)＝0.1591，可以求出至少有 1 個瑕疵品的機率是 1－0.1591＝0.8409。因此，至少發現 1 個瑕疵品的機率很高。 第5章 離散機率分配 第213頁

超幾何分配 平均數 變異數 第5章 離散機率分配 第213頁

超幾何分配實例 保險絲的例子中 n＝3，r＝5且 N＝12，所以瑕疵品的平均數及變異數是 標準差是 σ＝ 第5章 離散機率分配 第213頁

評註 以 n 個試驗的超幾何分配而言，令p＝(r / N)表示第一次試驗的成功機率。如果母體很大，式(5.18)中的(N－n)/(N－1)會接近 1，故期望值與變異數可以寫成 E(x) = np及Var(x) = np(1 – p)。這也是二項分配的期望值與變異數公式[見式(5.13)與式(5.14)]。在母體很大時，可以用 n 次試驗，每次成功機率p＝(r / N) 的二項分配來求得超幾何分配的近似值。 第5章 離散機率分配 第209頁

End of Chapter 5